Замечания о специальных уравнениях

Специальное замечание следует сделать о компонентах единичного тензора 1. Согласно уравнениям (1-3.17) — (1-3.20), эти компоненты представляют собой скалярные произведения векторов естественного и дуального к нему базисов. [c.26]

Замечание 8.1.2. Уравнения Лагранжа второго рода могут быть справедливыми не только для голономных систем. Например, уравнения Чаплыгина имеют форму уравнений Лагранжа, в которых реакции, введенные в соответствии с принципом освобождения от не-голономных связей, оказываются гироскопическими и имеют специальную форму. Однако техника получения уравнений Чаплыгина не поддается лагранжеву формализму и оказывается более сложной ( 7.3). [c.544]

Из (12) видно, что перемеш ения щ и находятся из соответствую-ш их уравнений, в то время как для определения угловой скорости ф не хватает информации относительно Мх и Щ. Эти величины можно найти, если на вход схемы дифференцирования, набранной на АВМ, подать соответственно величины щ и Uj, а с выхода схем снять искомые производные. Операция дифференцирования на АВМ является нежелательной из-за меньшей точности в сравнении с другими операциями и невозможности получения значений производных в начальных точках. Кроме того, реализация этой операции на АВМ требует специального схемного соединения нескольких различных по своему служебному предназначению блоков (вместо одного блока при интегрировании). Поэтому в математическом описании больших и сложных процессов из-за аппаратурных ограничений (не считая сделанных выше замечаний) лучше не предусматривать дифференцирование на АВМ. [c.12]

Замечания 1. Характер поведения как общего, так и специального решений качественно одинаков, но закономерности более отчетливо проявляются при рассмотрении последнего. Уравнение (7-37) показывает, что для заданных Pg,i и Ps величина Рсд равномерно снижается с ростом jV-g, достигая значения Ps только при бесконечно большом Ng- Следовательно, состояние в объеме жидкой фазы все больше приближается к 5-состоянию, по мере того как возрастает число единиц переноса. Однако в установке конечных размеров равновесие никогда не достигается. Разность Ро—Ps на выходе из канала уменьшается до величины т. е, до 0,3679 выходного значения этой величины в установке с одной единицей переноса. [c.295]

Заметим также, что определение (х при помощи уравнения (1-1) не указывает на возможность появления напряжения в результате чистой деформации расширения при нулевом сдвиге. В случае сжимаемых жидкостей некоторые эксперименты указывают на возможность такого явления, которое в случае изотропных жидкостей требует введения второго коэффициента вязкости. Этот эффект, однако, имеет второстепенное значение, и в настоящей книге изложение будет вестись на основе данного выше определения, если не будут сделаны специальные замечания. [c.19]

Замечание 2. Формула Ламберта (12) остается в силе при любом расположении точек Р и Р на орбите спутника, но для правильного выбора чисел Я и Яз среди корней уравнений (16) и (17) требуется провести в каждом случае специальное исследование. [c.128]

Замечание 5. В работе [17] на основе рассмотренной интегрируемой задачи получены интегрируемые случаи для специальных систем связанных твердых тел. Однако эти системы не являются принципиально новыми динамическими проблемами, так как их динамика сводится к уравнениям (4.12). [c.215]

Замечание 1. Изложенный метод решения дифференциальных уравнений для элементов Лагранжа (4.8.06) получил в специальной литературе название метода Лагранжа вычисления вековых возмущений , хотя, как видно из общего решения (4.8.08), элементы Лагранжа изменяются периодическим образом. Это объясняется тем, что в уравнениях для элементов сохранена лишь вековая часть возмущающей функции с точностью до вторых степеней малых величин. [c.426]

ЗАМЕЧАНИЕ 3 Для левой части уравнений (2) используют иногда специальное название гамильтоновой производной и пишут [c.17]

Замечания о специальных уравнениях. Уравнение второго порядка класса Фукса с тремя особыми точками на сфере называется уравнением Римана. Его коэффициенты однозначно определяются особыми точками и корнями определяющих уравнений, соответствующих этим точкам. Уравнения второго порядка с большим числом особых точек и уравнения более высокого порядка этим свойством не обладают. Уравнение Римана с особыми точками 0 1 оо — это гипергео-метрическое уравнение Гаусса [c.133]

Сделанное в конце 13.5 замечание не исключает возможности распространения с постоянной скоростью волн специального вида. Особую роль для теории играют синусоидальные волны / = = sin к х t) X onst. Здесь к = 2n/L, L — длина волны, со = = кс — круговая частота колебательного движения фиксированной точки. Ясно, что вместо синуса можно взять косинус поскольку уравнения линейны, решения можно складывать, поэтому мы будем задавать синусоидальную волну с помощью комплексного представления / = ехр гА (х — f)X onst, суперпозиция двух таких комплексных волн всегда позволит выделить действительную функцию. Обратимся теперь к уравнениям (13.4.6). Дифференцируя по Xi и суммируя, найдем [c.444]

Последнее предварительное замечание. Если не вводится никаких специальных предположений относительно распределения масс, то общие теоремы о движении системы не приводят к другим первым интегралам, кроме интегралов живых сил и момента количеств движения (относительно вертикали) на системе уравнений (34), (35) это сказывается в том, что эта система, вообще говоря, не заключает в себе никаких соотношений в конечном виде между векторами о> и и, кроме соотношений (28), (32). Хотя, с аналитической точки зрения уравнение (35) допускает очевидный интеграл = onst. [c.103]

Речь идет о вариационных задачах, которые допускают непрерывную группу (в смысле Ли) вытекающие отсюда следствия для соответствующих дифференциальных уравнений находят свое наиболее общее выражение в теоремах, которые формулируются в 1 и доказываются в последующих параграфах. Относительно этих дифференциальных уравнений, возникающих из вариационных задач, возможны высказывания, значительно более точные, нежели относительно любых допускающих группу дифференциальных уравнений, которые являются предметом исследований Ли. Итак, последующее изложение базируется на объединении методов формального вариационного исчисления с методами теории групп Ли. Для специальных групп и для вариационных задач это объединение методов не ново я упомяну Гамеля и Герглоца (Herglotz), занимавшихся специальными конечными группами, Лоренца и его учеников (например, Фоккера), Вейля и Клейна, занимавшихся специальными бесконечными группами ). Вторая статья Клейна и настоящая работа в особенности взаимно повлияли друг на друга в связи с этим я хотела бы указать на заключительные замечания в статье Клейна. [c.611]

Замечание. Отыскание частного интеграла неоднородных уравнений (23.1.7), как мы видели, сводится к построению частных интегралов неоднородного разрешающего уравнения (23.2.8). Методов решения этой задачи в настоящем разделе мы специально рассматривать ие будем. Для поверхностных нагрузок, обычно встречающихся на практике, частный интеграл строится относительно просто с помощью приближенных методов, описанных в части II. Во многих случаях частный интеграл можно строить, исходя из уравнений безмоментнон теории. В этом разделе книги всегда будет считаться, что частный интеграл точно или приближенно уже построен. [c.338]

В прошлом веке и начале нашего трактаты по гидродинамике в основном состояли из длинных выкладок с использованием элементарных и специальных функций. По образному выражению одного из современных американских гидродинамиков С. Голдстайна, за этими выкладками никак нельзя было увидеть саму воду, нельзя представить, что она мокрая. Да и сейчас пишется немало работ, содержащих сложные и пространные результаты точной теории решений дифференциальных уравнений гидродинамики, весьма далекие от действительности. На наш взгляд, практическая ценность этих работ существенно снижается простым замечанием, что сами-то уравнения гидродинамики лишь весьма приближенно отражают многие важные физические явления. Поэтому некоторые результаты так называемой точной теории по бессмысленности напоминают выкладки с огромным числом знаков над величинами, только очень грубо приближающими точные. [c.7]

Общие замечания. В наиболее общем случае не представляется возможным проинтегрировать аналитическими методами систему исходных дифференциальных уравнений аэродинамики. Строгое решение сфор.мулиро-ванной в начале предыдущего раздела задачи получается лищь для некоторых частных случаев. При небольших скоростях течения, как уже указывалось, можно рассматривать воздух как несжимаемую жидкость. Однако даже при больших скоростях течения чаще всего за основу берется решение, получаемое при рассмотрении воздуха как несжимаемой жидкости, п затем специальными методами, основанными на введении поправок или на проведении пересчетов, получают данные, близкие к данным, которые дает опыт. [c.462]

Здесь и далее, если специально не оговаривается, будет рассматриваться идеальная жидкость. Геория вихрей в идеальной жидкости, благодаря своей относителььюй простоте, позволяет решить значительное количество конкретных задач, имеющих практическую ценность. Прежде всего это замечание относится к решению важного вопроса о том, какие движения в идеа ть-ной жидкости вызываются наличием в пей областей, завихренность которых отлична от нуля. Движение идеальной жидкости описывается уравнениями Эйлера [c.28]

Замечание. Если при построении изопериметрических оценок в дополнение к технике симметризаций использовать предварительное исследование поведения решения и, в частности, его линий уровня, то можно получить более сильные оценки, чем традиционные (см. [149] и цитированную там литературу). На этом пути получены оценки решений эллиптических и параболических краевых задач в произвольных областях через решения специально подобранных модельных задач в шаровой области того же объема. Поскольку решения исходной и модельной задач определены в разных областях, производится поточечное сравнение решения симметризованной модельной задачи с симметризованным решением исходной задачи. В последнее время Е.И. Шифрин применительно к краевым задачам для псевдодифференциальных уравнений, возникающим в теории трещин, развил технику, приводящую к оценкам, аналогичным полученным в [149] в краевых задачах для дифференциальных уравнений. [c.212]

Мы не будем обсуждать методов решения системы уравнений (11) с соответствующими начальными и краевыми условиями. С этими методами читатель может ознакомиться по любому достаточно полному курсу теории упругости или по монографиям, специально посвященным эластокинетике. Однако представляется целесообразным дать несколько замечаний от- [c.82]

Вводные замечания. Задача трех или большего числа тел считается по справедливости одной из самых знаменитых проблем в математике. Тем не менее, до недавнего времени весь интерес в этой проблеме был направлен на формальную сторону вопроса и в частности на формальное решение посредством рядов. Пуанкаре был первым, получившим блестящие качественные результаты, касающиеся в особенности специального предельного случая так называемой ограниченной проблемы трех тел , рассмотренной впервые Хиллом. Что касается общей проблемы, то главные результаты, полученные Пуанкаре, следующие во-первых, он установил существование различных типов периодических движений методом аналитического продолжения во-вторых, он показал, что в силу самой структуры дифференциальных уравнений проблемы тригономстричсскис ряды могут быть полезными, и, наконец, в-третьих, он указал на пригодность этих рядов, как асимптотических. Все эти результаты остаются справедливыми не только для проблемы трех тел, но и для всякой гамильтоновой системы. К несчастью, в его исследованиях всегда имеется вспомогательный параметр //, причем при /X = О система будет специального интегрируемого типа. Таким образом, возникающие трудности (по крайней мере, отчасти) более зависят от особой природы интегрируемого предельного случая (когда два из трех тел имеют массу 0), чем присущи самой проблеме. [c.259]

Замечание. Как в аксиоме баланса сил, так и в формулировке принципа виртуальной работы требования гладкости, налагаемые на поле Г Q" S , весьма умеренные достаточно, чтобы все интегралы имели смысл. Напротив, необходимы существенные дополнительные предположения о гладкости, чтобы написать уравнения равновесия и придать смысл величине div" Г". Эти уравнения используются только как средство перехода от аксиомы баланса сил к принципу виртуальной работы, и потому естественно возникает вопрос, нельзя ли при этом переходе вовсе обойтись без уравнений равновесия и соответствующим образом понизить требования гладкости. Исследования в этом направлении проведены в работе Antman Osborn [1979], где показано, что принцип виртуальной работы может быть выведен непосредственно из аксиомы баланса сил. Подход Антмана и Осборна основан на выявлении своего рода эквивалентности между справедливостью аксиомы баланса сил для всех подобластей Л" и выполнением принципа виртуальной работы для всех отображений O-" . Такая эквивалентность устанавливается с помощью соответствия между специальными классами подобластей (кубами и их образами при изоморфизмах, липшицевых в обе стороны) и специальными классами вариаций (по существу, кусочно-линейными функциями). Метод доказательства в общем тот же, что и при выводе формул Грина в теории интегрирования. В [c.104]

Большая часть предыдущей главы была посвящена выводу основных уравнений теории. Изучим теперь уравнения модуляций и их решения более подробно и подчеркнем существенное различие между линейной и нелинейной теориями. В этой главе мы рассмотрим основной случай одномерных волн в однородной среде и для простоты предположим, что псевдочастоты и псевдоволновые числа не возникают. В качестве типичных примеров будем здесь использовать нелинейное уравнение Клейна — Гордона и задачи, приведенные в 14.1. Более специальные приложения к нелинейной оптике и волнам на воде составят содержание следующей главы. Обобщения на большее число измерений, неоднородную среду и системы высших порядков будут кратко изложены в виде дополнительных замечаний. [c.492]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...