Приближения Хартри и Хартри — Фока

ПРИБЛИЖЕНИЯ ХАРТРИ И ХАРТРИ —ФОКА [c.94]

Приближения Хартри и Хартри — Фока рассматривались первоначально на основе вариационного принципа Шредингера в квантовой механике [2]. Изложим здесь этот подход в той степени, в какой это необходимо для воспроизведения результатов, полученных в предыдущем разделе. [c.99]

Обсудим теперь более детально физический смысл приближений Хартри и Хартри—Фока. Для этой цели полезно ввести некоторые корреляционные функции. [c.101]

Обратимся теперь к вычислению функции S(k) и (г) в рамках приближений Хартри и Хартри—Фока. [c.104]

Функции Блоха фк(1 ) являются системой одночастичных функций для электронов, которые применимы к кристаллу с фиксированными в положениях равновесия ионами. Эти функции можно определить в приближении Хартри или приближении Хартри—Фока, в которые включены эффекты обмена электронами. Здесь используется еще более простое приближение и предполагается, что плотность валентных электронов однородна и эффективный потенциал F(r), в котором движутся электроны, таков, что заряд ионов в положении равновесия скомпенсирован однородным отрицательным зарядом. Если w(r—Rj)—потенциал иона в состоянии равновесия R , то [c.758]

Многоэлектронные волновые функции ф и фу возьмем в приближении Хартри или Хартри — Фока, т. е. в виде анти-симметризованного произведения одноэлектронных волновых функций [c.36]

Этот аргумент не справедлив, когда мы учитываем взаимодействие электронов, В этом легко убедиться уже из приближения Хартри —Фока. Электрон Хартри —Фока, как следует из результатов 11, имеет среднюю кинетическую энергию, пропорциональную k F, и среднюю обменную энергию, пропорциональную — кр (если обменный интеграл сам положителен). Энергия основного состояния при скомпенсированных спинах тогда будет N ак р — Ькр). Если мы теперь направим все спины параллельно друг другу, то электронные состояния будут заключаться в сфере двойного объема в Л-пространстве. Энергия такого ферромагнитного состояния будет N а2 1 к], — Ь2 1 кр). Эта энергия лежит ниже энергии состояния со скомпенсированными спинами, если кр меньше чем 0,44Ь/а. Для электронного газа с малой плотностью (малый радиус сферы Ферми), следовательно, будет выгодным ферромагнитное состояние. [c.158]

Весьма поучительно воспользоваться еще одним методом определения волновой функции основного состояния и элементарных возбуждений в приближении Хартри—Фока. Этот метод состоит в решении уравнений движения для операторов, определяющих одночастичные элементарные возбуждения в системе [10—14] ). Здесь пользуются только представлением вторичного квантования. Волновая функция основного состояния 4 0 считается известной и ищутся операторы (обозначим их, скажем, через Ок и Ок), которые создают или уничтожают элементарное возбуждение с импульсом йк. Эти операторы, [c.107]

Заметим, что приближение Хартри — Фока по сравнению с приближением Хартри дает существенное улучшение, так как металл здесь оказывается устойчивым. Тем не менее численные значения Енг весьма далеки от экспериментальных. Дело в том, что в приближении Хартри—Фока не принимается во внимание взаимное отталкивание электронов с антипараллельными спинами. Ясно, однако, что это отталкивание заставит электроны держаться подальше друг от друга и тем самым приведет к дальнейшему понижению энергии системы. [c.112]

Если второй (обменный) член не учитывается, то соответствующее приближение называют приближением среднего поля или приближением Хартри. С помощью формулы (6.3.31) легко проверить, что в приближении Хартри-Фока Е (1,1 ) = О и, следовательно, правая часть в (6.3.81) равна нулю. При этом само кинетическое уравнение совпадает с квантовым уравнением Власова, которое рассматривалось в главе 4 первого тома. [c.55]

К сожалению, в общем случае найти точное решение уравнений (6.3.91) и (6.3.92) не удается. Если, однако, компоненты массового оператора вычисляются в приближении Хартри-Фока, то Е = О и 2) ( i 2) Тогда интегральные члены в правых [c.57]

Взяв двухчастичную функцию Грина в приближении Хартри-Фока (6.3.82), найти явные выражения для компонент Е (1,1 ) и Е (1,1 ) массового оператора. Убедиться, что в этом приближении Е (1,1 ) = 0. [c.89]

Обменное взаимодействие электронов и электронные корреляции можно принять во внимание, если пользоваться приближением Хартри—Фока с учетом корреляции при этом, однако, учитывается не взаимодействие индивидуальных электронов, а взаимодействие, размазанное по объему. [c.66]

Расчеты работы [6.37] методом смешивания конфигураций позволяют описать с хорошей точностью энергии и ширины автоионизационных состояний атома магния и угловые распределения испущенных электронов. Расчеты использовали базисную систему состояний, построенных в приближении Хартри-Фока с замороженным остовом. Исследовались эффекты, возникающие из-за многоэлектронного взаимодействия. Расчеты показали, что в многофотонных спектрах имеются резонансные максимумы из-за резонансов с промежуточными связанными состояниями. Такие спектры качественно отличаются от спектра однофотонной ионизации. [c.159]

Рассмотрим теперь снова динамический и статический форм-факторы в приближении Хартри—Фока. Используя соотношение (3.116) и условие положительности частот со (р, к), можем написать [c.182]

Следующее приближение для е(кш) носит целый ряд названий (приближение хаотических фаз, приближение независимых пар, приближение самосогласованного поля, нестационарное приближение Хартри—Фока и т. д.). Названий имеется почти столько же, сколько есть способов вывести окончательный результат. Мы будем пользоваться термином приближение хаотических фаз (RPA). Обсудим сначала конечный результат, а затем кратко наметим один из многих возможных способов его вывода. Расчет в рамках RPA дает [c.184]

Пренебрежем сначала членом электрон-электронного взаимодействия в выражении (3.157) и посмотрим, как рассматриваемый метод уравнений движения приведет нас к приближению Хартри — Фока. Непосредственно вычисляя в гамильтониане (3,157) коммутаторы р (к, р) [c.188]

Лр=п р, и складывая со вторым членом, немедленно получаем выражение (3.163). Таким образом, мы в точности получили результат приближения Хартри — Фока. [c.190]

На фиг. 23 приведены схематические графики функции 1т[1/Е(км)] в приближении Хартри — Фока и в RPA для передач импульса, малых по сравнению с А с- [c.200]

Обратимся теперь к движению электронов, описанному в (2.7). Будем рассматривать электронный газ в поле равномерно распределенного положительного заряда (континуальная модель), т. е. в поле неподвижных положительных ионов. Трудность решения этой проблемы заключается во взаимодействии электронов друг с другом. Если бы не было этого взаимодействия, то многочастичная задача свелась бы к одночастичным задачам. Последние описывают невозмущенное движение одного электрона в поле с заданным потенциалом. Такое одноэлектронное приближение имеет настолько очевидные преимущества, что встает вопрос, нельзя ли поставленную проблему свести к одночастичной, учтя хотя бы частично электрон-электронное взаимодействие. Это и является приближением Хартри —Фока, к которому мы теперь обратимся. [c.22]

Рассмотрим теперь в рамках приближений Хартри и Хартри—Фока энергию основного состояния и элементарные возбуждения системы с гамильтонианом (3.15). При этом мы будем придерживаться точки зрения, несколько отличной от обычно встречающейся в учебниках (см., например, прекрасное изложение в книге [2]). Вместо того чтобы рассматривать указанные аппроксимации как результаты вариационного расчета, мы получим их как первые члены ряда теории возмущений для свободного электронного газа. При таком подходе главным членом в гамильтониане считается кинетическая энергия, потенциальная же энергия рассматривается как малое возмущение. Как мы увидим ниже, такой подход хорошо оправдывается в предельном случае систем с очень вы-сокой концентрацией электронов. [c.95]

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ — энергия ниж. энергетич. состояния газа улектронов ферми-газа) за вьпетом нх ср. кппетич. япергпи фср.ми-знергии) и энергии обменного взаимодействия. В обп(еи случае К. э. представляет собой разность энергии осн. состояния системы ферми-частиц и её значения, определённого в приближении Хартри — Фока (см. Хартри — Фока метод). [c.467]

В 12 мы выйдем за пределы приближения Хартри —Фока и рассмотрим полный оператор Гамильтона электронного газа при наличии в нем взаимодействия. Мы разделим кулоновское взаимодействие на близкодействующую и дальнодействующую части и найдем, что в этом приближении квазиэлектрон существенно отличается от электрона Хартри —Фока. При этом появ- [c.48]

Теория ЗОННОЙ модели основывается на одноэлектронном уравнении Шредингера (3.20). Последнее отличается от уравнения Хартри—Фока (З.П) тем, что в нем взаимное кулоновское и обменное взаимодействие электронного газа было усреднено. Только благодаря этому электроны перестают быть связанными. Они движутся в поле под действием некоторого общего среднего потенциала. Блоховские состояния, заданные функцией Е к), не зависят от заполнения электронами спектра состояний. Электроны в этом приближении рассматриваются как невзаимодействующие квази-частпцы, которые в заданном спектре энергий располагаются согласно статистике Ферми. Возбуждение пары электрон — дырка имеет тогда энергию, равную разности энергий между блоховским состоянием электрона в зоне проводимости и блоховским состоянием дырки в валентной зоне. Для улучшения этого приближения вспомним следующее. В приближении Хартри —фока перед усреднением, которое приводит к уравнению (3.20) зонной модели, существует разница между энергией взаимодействия одного возбужденного электрона при взаимодействии со всеми электронами в основном состоянии (проблема (Л + 1)-го электрона) и энергией при взаимодействии с N — 1 электронами в с( ре Ферми или соответственно в валентной зоне (Л -электронная проблема). Эта разница как раз и есть взаимодействие электрон —дырка в картине квазичастиц зонной модели. [c.180]

Легко понять, почему х больше, чем х - Дело в том, что обменная энергия благоприятствует поляриза ции спинов, в то время как кинетическая энергия стремится эту поляризацию нарушить (внешнее поле, естественно, тоже способствует упорядочению спинов). Следовательно, учет обменных эффектов (в случае системы отталкивающихся частиц) приводит к увеличению х -Более того, учет обменной энергии в приближении Хартри — Фока приводит к предсказанию ферромагне" тизма электронного газа умеренной плотности (г = 5,5). Чтобы убедиться в этом, сравним энергии двух состоя- ний свободного электронного газа — с одинаковым чис-> лом спинов, направленных вверх и вниз (немагнитное состояние), и с одинаковой ориентацией всех спинов (ферромагнитное состояние). В силу принципа Паули в ферромагнитном случае энергия Ферми будет выше, чем в неферромагнитном — на упорядочение спинов требуется затратить определенную энергию. С другой стороны, мы получаем выигрыш в обменной энергии так как в ферромагнитном случае все электроны (а не половина [c.116]

Приближение Хартри — Фока — Рутана во мн, случаях даёт большие погрешности (напр,, отрицат. значение энергии связи для F , неправильную симметрию для осн. электронного состояния молекулы С , неправильный знак для дипольного момента СО приводит к неправильной последовательности ионизированных состояний молекул Ь з, Nj и т. д.). Для устранения недостатков этого метода учитьшают энергии корреляции электронов, что позволяет определить отклонение идеализированной одпоэлектронпой модели от реальной. [c.310]

Рис. 2. Уеловна ероятн оеть распределения (М—I) электронов вокруг находящегося в точке. / == О Электр,шта с заданным спином характеризующая элЕктрон электронное взаимодействие в системе Л/ электронов, а — в приближении Хартри, в котором все электроны считаются независимыми и р г) не зависит от г. б— В принижении — Фока, в кот ом мшгоэлектронная вол-

В работе [5.56] представлена детальная расчетная процедура для нерезонансной многофотониой ионизации двухвалентного атома, используя один канал в непрерывном спектре и многоконфигурационные волновые функции для начального и всех промежуточных состояний. Базисная система конструировалась из почти полного набора одночастичных состояний в приближении Хартри-Фока с замороженным остовом. Недавно развит метод численного решения двухэлектронного уравнения Шредингера с зависимостью от времени, включая двухкратную ионизацию (см. гл. УШ, разд. 8.3.3). [c.135]

Вся совокупность этих данных дает возможность развить классическую нестационарную теорию возмущений высших порядков (см. раздел 2.2) для описания переходов двух электронов по спектру двухэлектронных состояний, приводящих к образованию двухзарядного иона. Наиболее сложной задачей при осуществлении этой программы является конструирование двухэлектронных волновых функций, оптимально описываю щих двухэлектронные состояния, локализованные в различных интер валах спектра атома и однозарядного иона. При решении этой задачи, как правило, используются две противоположные модели. Для описания двухэлектронных состояний, имеющих относительно небольшую энергию возбуждения, обычно используется приближение Хартри-Фока [8.3] и модель независимых электронов с учетом слабого межэлектронного взаимодействия по теории возмущений [8.19] или при предположении об отсутствии взаимодействия. Для высоковозбужденных (ридберговских) [c.220]

Как и в теории элементарных частиц, квантовополевые методы в сильной степени упростили и автоматизировали расчеты эффектов высшего порядка в динамических, статистических и кинетических задачах, относящихся к системам многих частиц. В старой теории многих тел практиковался целый ряд приближенных методов (методы Хартри-Фока, Дебая-Хюккеля и многих др.), каждый из которых обосновывался по-своему и имел недостаточно ясную область применимости. Теперь эти методы получили единую основу и приобрели смысл различных приближений к точным полевым уравне- [c.174]

О. в. меняет его влияние. Так, в системе фррми-частиц О. в. увеличивает среднее расстояние между частицами и потому уменьшает роль силового взаимодействия. По этой причине, напр., роль кулоновского отталкивания электронов в атоме оказывается уменьшенной но сравнению с тем, что было бы, если бы можно было пренебречь тождественностью электронов. Такие вторичные эффекты О. в., к-рые обычно и называют просто обменными, явным образом выступают прежде всего, когда систему рассматривают в приближении независимых частиц, в частности в приближении Хартри — Фока, Так, волновая ф-ция системы двух частиц 1 и 2, занимающих (нри пренебрежении корреляцией их взаимных движении) состояния и V с волновыми ф-циями частиц г[3 (г , г) и ( 2 ДЛЯ двух ферми-частиц с одинаковыми спинами и их проекциями должна быть построена в виде [c.455]

САМОСОГЛАСОВАННОЕ ПОЛЕ — усредненное определенным образом взаимодействие частиц, широко применяемое в квантовой механике для приближенного расчета и описания состояний системы частиц. Понятие С. п. было введено Д. Хартри (1). Наг1гее) на основании нолуклассич. соображений (еще до создания квантовой механики). Идея метода была использована в квантовой механике В. А. Фоком, обосновавшим и разработавшим общий приближенный метод расчета для многочастичных систем т. п. метод С. н. с обменом сж. Хартри — Фока метод). [c.464]

Различие RPA и приближения Хартри—Фока легче всего уяснить себе, вернувшись назад к формулам (3.105а) и (3.1056). Первую из них мы запишем в виде 1. Апе (р(кш)) П [c.184]

В рамках RPA так же, как и в приближении Хартри — Фока, имеется непрерывный спектр возбуждения пар, простирающийся от нуля до энергии h kva+u k l2m. Однако вид этого спектра, найденный в рамках RPA, весьма отличается от хартри-фоковского благодаря наличию экранирующего множителя 1е(к, ш о) . Как легко усмотреть из явных выражений для ei и ej, при больших длинах волн этот множитель уменьшает вклад пар в k lkpT раз. Новой чертой спектра, найденного в RPA, является, конечно, наличие плазменной ветви. При k k именно плазменная ветвь доминирует в спектре энергетических потерь. По-видимому, легче всего [c.199]

Фиг. 27. Схематический вид спектра флуктуаций плотности электронного газа в непереходном металле, вычисленного в приближении Хартри —Фока и в приближении хаотических фаз (по Нозьеру и Пайнсу [21]).

Трудности, возникающие при решении уравиений Хартри, возникают и для уравиений Фока, так как обычно решение 1юлучают каким-либо методом последовательных приближений, например, методом самосогласованного поля Хартри. В применении к уравнениям Фока этот метод сложнее, так как обменные члены вводят много усложнений. [c.261]

Простейшей нетривиальной задачей, к которой применимы методы Хартри и Фока-Слэйтера, является задача о нормальном состоянии гелия, рассмотренная нами в 48. В этом случае уравнения Хартри и Фока совпадают, так как спины электронов антипараллельны, так что обменные члены обращаются в нуль. Г1олная энергия атома, определяемая i) в этом приближении, оказывается иа 0,076 единицы Ридберга больше экспериментально наблюдённого значения в 5,810 единицы Ридберга. Это указывает на то, что корреляция электронов сказывается в поправке в 0,45 eV на электрон. Впредь мы будем называть такую разность энергии, определяющую ошибку в значении, определённом из одиоэлектроиного приближения, энергией корреляции) . Значение этого члена ясно из предыдущих параграфов. [c.261]

Мы рассмотрим, далее, уравнення Хартри и Фока в приближении Блоха. Поскольку замкнутые оболочки не накладываются, мы можем написать функции Блоха в внде [c.352]

Таким образом, энергия сцепления кристаллов в приближении Хартри или Фока может быть выражена в параметрах энергии, входящих в уравнения, и в кулоновских и обменных интегралах. При вычислении этих величин возникаю г весьма значительные практические трудности, поэтому существенные результаты получены только для тех случаев, к которым применимы простые приближённые методы, подобные изложенным в предыдущей главе. Можно отметить тенденцию ко взаимной компенсации ошибок, вносимых применением одноэлектронных методов к расчётам как атомарного, так и кристаллического состояний. Значения энергии сцепления могут получиться больше или меньше истинных в зависимости от того, будет ли корреляционная ошибка для атомарного состояния больше или меньше, чем для кристаллического. [c.366]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...