Уравнения Фока

Уравнения Фока, основанные на представлении функции ф в виде определителей (7), учитывают спиновые взаимодействия в том смысле, что для этой функции берется значение, удовлетворяющее принципу Паули и требованию, чтобы имелся результирующий спиновый момент также оказывается учтенной обменная [c.205]

Таким образом, абстрактно теоретическая обратимость сочетается с практической необратимостью макроскопических процессов, если речь идет о сколько-нибудь существенных отклонениях от термодинамического равновесия. Эта практическая необратимость макроскопических процессов проявляется в отсутствии симметрии по отношению к отражению во времени (замена / на —/) некоторых кинетических уравнений, например, уравнения Больцмана. Указанное свойство следует уже из того факта, что уравнение Больцмана описывает процессы, идущие только с возрастанием энтропии, но не с ее убыванием. Можно показать, что таким же свойством обладает и уравнение Фок-кера - Планка. Тем более это относится к уравнениям газовой динамики, при выводе которых используются феноменологические (необратимые) законы диффузии, теплопроводности, вязкости. Так, например, из уравнения диффузии [c.546]

Уравнение Фоккера—Планка (11.123) содержит и полевые, и атомные переменные. Вместе с тем из полуклассического подхода нам известно, что в случае лазера на пороге генерации атомные переменные можно исключить. Оказывается, что и из уравнения Фок кера—Планка вблизи порога атомные переменные легко исключить Это можно сделать двумя способами либо непосредственно в урав нении Фоккера—Планка, либо с помощью уравнения Ланжевена Выбор того или иного способа определяется отчасти личным вку сом, отчасти соображениями удобства. Кружной путь через урав нение Ланжевена на самом деле проще, так что мы выбираем его Как показано в классической статистической физике, уравнение Фоккера—Планка (11.123) совершенно эквивалентно следующей системе уравнений Ланжевена [c.313]

Уравнения (51.4), которые мы будем в дальнейшем называть уравнениями Фока , обладают многими свойствами симметрии, не присущими уравнениям Хартри. Ес.аи выражение [c.260]

Мы используем результаты расчётов атомов для изучения двух вопросов во-первых, точности определения энергетических состояний данного атома с п электронами по отношению к низшему энергетическому состоянию этого атома с л — 1 электронами и, во-вторых, ошибки в абсолютной энергии всего атома. Первая из этих двух величин даёт грубую оценку сравнительной точности уравнений Фока и Хартри, а вторая указывает на абсолютную ошибку и даёт нам энергию корреляции. В настоящее время абсолютная энергия полностью исследована в теоретическом отношении для гелия и ещё лишь для бериллия и углерода. [c.262]

Разность значений полной энергии бериллия, определённой из уравнения Фока и наблюдённой, составляет около 0,19 единицы Ридберга или около 2,56 еУ для Ве++ разность составляет 0,07 единицы Ридберга или 0,9 еУ. Для того чтобы оценить энергию корреляции [c.263]

В случае же точного решения уравнений Фока разность энергий в последнем столбце таблицы можио было бы считать энергией корреляции электрона, удаляемого для получения основного состояния. В нашем случае эти значения лишь приблизительно равны энергиям корреляции. Следует заметить, что энергия корреляции больше для возбуждённых состояний, в частности для тех, у которых кратность и момент количества движения малы. Зависимость от кратности связана, повидимому, с тем, что на состояниях малой кратности меньше сказывается принцип Паули, и действие случайных корреляций меньше, чем в других случаях, поэтому существенны другие корреляции, ие связанные с принципом Паули. [c.266]

Типы решений уравнений Фока для многоатомных систем. [c.267]

Ещё не было показано, всегда ли существуют оба типа решений и являются ли они единственными решениями уравнений Фока. Но мы покажем, что оба типа решений могут существовать. [c.267]

Рассмотрим уравнения Фока в виде [c.267]

Легко заметить, что решеиия молекулярного типа существуют всегда, потому что из уравнений Фока, написанных в виде (51.11), следует, что все атомы равноправны, если b одинаково в окрестности всех атомов. Поэтому, если за начальную совокупность функций взять функции молекулярного типа, то все последующие решеиия, в том числе и самосогласованное, будут того же типа. [c.268]

Прежде чем покончить с этим вопросом, рассмотрим связь параметров энергии в уравнениях Фока для метода Блоха и метода Гайтлера-Лондона в случае их эквивалентности. Для схемы Блоха уравнения можио взять в виде [c.320]

Метод ячеек. Практический путь решения уравнений Фока заключается в замене их достаточно точными уравнениями, допускающими разделение переменных. Метод Хартри в применении к свободным атомам (ср. гл. VI) является хорошим примером такого решения. Уравнения Хартри не разделяются в случае электронных конфигураций, содержащих неполностью заполненные р- или -оболочки. Однако, если отбросить несферическую часть- кулоновского потенциала р- или -электронов, уравнения разделяются и могут быть решены методами, применяемыми в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ошибка, которая делается при пренебрежении несферическими членами, лежит в пределах ошибки метода Хартри и может быть исправлена методом возмущений. [c.346]

Таким образом, уравнение Фока для ф (г, — г (л)) будет [c.355]

Другое решение для плотности распределения интенсивности лазера, работающего выще или ниже порога, было найдено Рискеном [4.14], который рещал нелинейное уравнение Фок-кера — Планка, вычисляя непосредственно плотность распределения. В результате для плотности распределения было получено выражение [c.143]

Параболическое волновое уравнение Фока — Леонтовича [c.75]

Здесь мы приняли соглашение о том, что общее направление лучей совпадает с осью z- Если пренебречь вкладом продольных составляющих в V , то в этом приближении уравнение (2.6.11) совпадает с параболическим волновым уравнением Фока — Леонтовича [c.75]

Такое положение в методе молекулярных орбпталей не является общпм и обязательным. При решении уравнения Фока [c.391]

Уравнения Фока. Результаты применения схемы Фока и Слэйтера для определения наилучших одноэлектронных функций с по- [c.258]

Трудности, возникающие при решении уравиений Хартри, возникают и для уравиений Фока, так как обычно решение 1юлучают каким-либо методом последовательных приближений, например, методом самосогласованного поля Хартри. В применении к уравнениям Фока этот метод сложнее, так как обменные члены вводят много усложнений. [c.261]

Решение уравнений Фока нас интересует значительно больше, так как оии дают более точные результаты, чем уравнения Хартри. Решения одного или обоих этих уравнений удалось получить для ряда атомов, перечисленных в конце этого параграфа. Из иих принципиальный интерес имеют решения для бериллия и углерода, полученные соответственно Д. Р. Хартри и В. Хартри в) и Торрансом, так как для этих атомов известны абсолютные значения энергии связи. [c.262]

Легко показать ), что если атомная конфигурация содержит лить заполненные оболочки, то уравнения Фока имеют самосогласующееся решение, для которого [c.262]

Рис. 122. Сравнение квадратов функций 2 для бериллия, полученных решением уравнений Хартри и Фока. Сплошная кривая изображает решение уравнения Фока пунктирные кривые изображают ортогоиализо-ваниое и иеортогонализованное решеиия уравнений Хартри.

В многоатомных системах широко применяются два независимых типа ) решений уравнений Фока тип Гайтлера-Лондона, или атомарный, и тип Хунда-Л улликена-Блоха, или молекулярный. В модели Гайтлера-Лондона предполагается, что [c.267]

Авторы, именем которых названы эти типы рещеиий, в действительности ие пользовались им в связи с уравнениями Фока, а просто применяли одно- [c.267]

Волновые функции молекулярного типа, в частности волновые функции состояния с наименьшей энергией с малым числом узлов, 6o.iee плавны, чем волновые функции атомарного типа. Поэтому мы можем ожидать, что в случае применения молекулярных функций средняя кние-гическая энергия будет обычно меньше. Это преимущество модели Хуи-да-Мулликена-Блоха компенсируется тем, что в ней для уменьшения энергии отталкивания электронов используются случайные корреляции, вводимые принципом Паули. Наоборот, в схеме Гайтлера-Лондона эта энергия уменьшается за счёт того, что электроны находятся у различных атомов. Расчёт молекулы водорода, который мы рассмотрим в следующей главе, показывает, что в этом случае преимущества и недостатки обоих методов почти одинаковы. Между прочим, энергия сил связи, получаемая по обеим схемам, содержит огиибку в 0,5 eV иа электрон это указывает иа то, что решеиия уравнений Фока далеко не точны. [c.268]

Следовательно, приведённые результаты дают нижний предел точности, которую люжно ожидать, применяя метод Фока-Хартри к модели Хунда-Мулликена. На основе этих результатов трудно сказать, в какой степени точное решение уравнений Фока исправит вычисленное значение энергии. Более точное решение типа Хунда-Муллнкена будет обсуждаться в части б). [c.274]

Здесь ф] и фг — одноэлектронные функции, которые в методе Гайтле-ра-Лондоиа имеют центры в различных ядрах. Уравнение Фока для ф, будет [c.276]

Еслн ( , и фз равны, как это имеет место в методе Хунда-Мулликена, то пространственная часть полной волновой функции сводится к ф(г,)ф(Гз). В этом случае уравнение Фока для ф(г) имеет вил [c.276]

Метод Гайтлера-Лондона был применён для вычисления энергии взаимодействия между заполненными оболочками. Для удобства одноэлектронные функции, использованные в этом вычислении, составлены не на основании решений уравнений Фока, а на основании приближённых функций атомарного типа. Мы разберём здесь подробно несколько примеров. [c.280]

Связь между зонной структурой асимметрией кристалла. Так как понятие зонной структуры основано на частном типе одноэлектронного приближення, то желательно выявить те свойства уравнений Фока-Хартри, которые приводят в этом случае к существованию зон. Ответ на этот вопрос сравнительно прост зонная структура характерна для любого уравнения, определяющего собственные значения, в котором оператор остаётся инвариантным относительно основных трансляций решётки. Таким образом, собственные значения Е любого уравнения вида [c.292]

Теорема Купмэнса. Докажем выведенную Купмэнсом ) теорему о том, что параметр е, в уравнениях Фока для твёрдого тела [c.330]

Введение. В настоящей главе вкратце рассматривается один из наиболее важных методов получения приближённых решений урав-яения Шрёдингера для твёрдых тел. Это рассмотрение дополняет главу VI, поскольку одноэлектронные методы представляют основу метода, излагаемого ниже. Исходным пунктом этого метода является замена уравнений Фока, которые обычно не допускают разделения переменных, уравнениями для центральных сил, которые допускают такое разделение. Полученные таким путём точные одноэлектронные функции применяются для вычисления кулоновской и обменной энергий. На основании этих вычислений делается попытка оценки эффекта корреляции и корреляционной энергии. Оценки влияния корреляции в общем случае несколько громоздки, однако они были получены для нескольких частных случаев, которые приведены в конце этой главц. [c.346]

Мы займёмся этнм выражением для важного случая, когда V выражается через решения уравнений Фока или Хартри. [c.364]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...