Число независимых условий равновесия

Задачи, в которых число неизвестных не больше числа независимых условий равновесия для данной системы сил, приложенных к твердому телу, называют статически определенными. Для любой плоской системы сил, приложенных к твердому телу, в статически определенной задаче число неизвестных не должно быть больше трех, а для плоских систем параллельных и сходящихся сил — не больше двух. [c.51]

Следовательно, для любой плоской системы сил из условий равновесия можно найти не более трех неизвестных, а для плоских систем параллельных и сходящихся сил — не более двух неизвестных. Если в какой-либо задаче число неизвестных окажется больше числа независимых условий равновесия, то такую задачу нельзя решить методами статики без рассмотрения прежде всего деформаций тела, т. е. без отказа от основной гипотезы статики об абсолютно твердом теле. [c.52]

Число независимых условий равновесия [c.134]

Для каждого случая расположения сил достаточным является вполне определенное число условий равновесия, и потому для каждого из них можно написать только определенное число независимых уравнений равновесия. Это важно помнить, так как при числе неизвестных, превышающем то число независимых уравнений, которое возможно составить для данного случая расположения сил, задача становится статически неопределенной. [c.135]

Определим теперь число взаимно независимых условий равновесия и посмотрим, какой результат можно отсюда извлечь. При заданном Т свободная энергия каждой фазы — однородная функция первого порядка от величины v, тгц, шг,. .. Если Тир постоянны, то термодинамический потенциал представляет собой также однородную функцию первого измерения от величин тщ, m2,. .. В самом деле, если нам задана некоторая фаза, то мы можем себе представить другую фазу с теми же р и Т, но V, nil, m2,. . , и С второй фазы в п раз больше тех же [c.134]

Однако условие равновесия гетерогенной системы зависит также от ее строения — числа фаз и числа компонентов. Это устанавливает связи между параметрами равновесия, причем некоторые параметры остаются свободными, т. е. могут принимать произвольные значения без изменения строения системы (число фаз). Эта связь между параметрами равновесия и строением системы выражается правилом фаз Дж. В. Гиббса и Д. П. Коновалова, пришедшего к тому же выводу, независимо от работ Гиббса [c.278]

Анализ условий равновесия (8 ) при возможных частных расположениях сил (см. конец 4) составляет предмет геометрической (или элементарной) статики. Эти условия позволяют выяснить, находится ли тело в равновесии под действием заданной совокупности сил, либо, наоборот, предполагая равновесие, найти несколько неизвестных скалярных величин (например, проекций сил, координат точек их приложения и т. д.), если число таких неизвестных величин не превышает числа независимых равенств [c.360]

Для решения статически неопределимых задач, помимо применения метода сечений и, следовательно, использования уравнений равновесия, известных из статики, приходится составлять дополнительные уравнения, основанные на рассмотрении условий и характера деформации системы. Эти уравнения называют у равнениями перемещений. Их количество зависит от того, насколько число неизвестных усилий больше числа независимых уравнений статики или, как говорят, от степени статической неопределимости системы. Здесь [c.233]

Для решения статически неопределимых задач помимо применения метода сечений и, следовательно, использования уравнений равновесия, известных из статики, приходится составлять дополнительные уравнения, основанные на рассмотрении условий и характера деформации системы. Эти уравнения называют уравнениями перемещений. Их количество зависит от того, насколько число неизвестных усилий больше числа независимых уравнений статики или, как говорят, от степени статической неопределимости системы. Здесь ограничимся рассмотрением систем, в которых число неизвестных лишь на единицу больше числа уравнений статики (один раз статически неопределимые системы). Методику их расчета рассмотрим на примерах, [c.208]

Нужно заметить, что те из соотношений (1) или (2), в которые будут входить проекции сил реакций связей, называют уравнениями равновесия, а те из них, в которые проекции сил реакций связей не будут входить, называют условиями равновесия. Если тело несвободно, то число условий равновесия будет равно числу степеней свободы тела, т. е. числу независимых перемещений, которые может иметь это тело. [c.54]

Правило фаз Гиббса. Полученные условия равновесия гетерогенной системы позволяют определить количество фаз (состоящих из нескольких компонентов), способных одновременно находиться в равновесии, или число независимых переменных гетерогенной системы, которые можно изменять, не нарушая ее равновесия. Эта задача была решена Гиббсом, поэтому полученный им результат называется правилом фаз Гиббса. [c.203]

Всего этих уравнений, выражающих условия равновесия гетерогенной системы, к п- ). Состояние гетерогенной системы определяется величинами р, Т п к—1 независимыми концентрациями различных компонентов в каждой фазе , т. е. 2-1-и —1) переменными. При этом система из /с и-1) уравнений (10.50) будет иметь решение, если число уравнении будет во всяком случае не больше числа переменных, т. е. к[п— ) 2 + п[к— ), откуда [c.203]

Всего этих уравнений, выражающих условия равновесия гетерогенной системы, k n— ). Состояние гетерогенной системы определяется величинами Р, Т и k—1 независимыми концентрациями различных компонентов в каждой фазе, т. е. 2 + n(k—1) переменными. При этом система из k(n— ) уравнений (8.36) имеет решение, если число уравнений во всяком случае не больше числа переменных, т. е. k n—l)< 2 + n k—l), откуда [c.140]

Система называется статически неопределимой, если внутренние усилия в ее элементах и реакции ее связей невозможно определить только из условий равновесия статики. Для расчета таких систем необходимо составлять дополнительные уравнения, выражающие условия совместности (неразрывности) деформаций элементов системы. Количество дополнительных уравнений равно степени статической неопределимости системы, то есть разности между числом неизвестных и числом независимых уравнений статики, которые можно составить для рассматриваемой системы. [c.7]

Уравнение (1.36) позволяет определить в условиях равновесия системы максимальное число существующих фаз. Исходя из того, что число степеней свободы ф не может быть отрицательным, при ф = 0 максимальное число фаз составит г = я- -2, т. е. равно числу компонентов плюс два. Например, вода представляет собой один компонент (л=1), который может одновременно находиться в трех фазах твердой, жидкой, газообразной (см. рис. 1.10, тройная точка). Если имеется одна фаза (/ = ), то число степеней свободы для одного компонента в системе (л = 1) будет равно двум и тогда независимыми переменными могут быть температура и давление, а другие параметры системы (удельный объем, энтальпия, энтропия) определяются по исходным переменным р, Т. [c.18]

Параметры системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, связаны между собой, причем число независимых параметров состояния системы всегда равно числу ее термодинамических степеней свободы. Например, состояние термодинамической системы, в которой могут изменяться температура и объем (термодеформационная система), всегда определено, если заданы только два параметра. При этом остальные параметры принимают вполне определенные значения. Таким образом, при рассматриваемых условиях связь между параметрами можно представить в виде [c.9]

Если отклонения упругой системы от исходного положения равновесия могут быть полностью описаны N независимыми параметрами (т. е. если упругая система имеет N степеней свободы), то линеаризация условий равновесия вблизи исходного положения системы приводит к системе N линейных однородных уравнений с N неизвестными. Для существования нетривиальных решений этой системы ее определитель должен быть равен нулю. Указанное условие приводит к уравнению, позволяющему найти точки бифуркации исходного положения равновесия. Если это уравнение не имеет кратных корней, то число точек бифуркации равно числу степеней свободы рассматриваемой системы. [c.24]

Вторая трудность возникает при объединении конечных элементов в единую систему. В расчете стержневых систем такое объединение производилось путем составления уравнений равновесия для узловых точек, в которых конструктивные элементы соединяются друг с другом. В сплошном теле число точек соединения между элементами бесконечно. Задаваясь распределением перемещений внутри каждого элемента, тем самым задаем и распределение напряжений во всех его точках, в том числе и в граничных. На границах раздела смежных элементов напряжения, найденные для каждого из них независимо, совпадать не будут. Следовательно, обеспечить выполнение условий равновесия на всей поверхности раздела не представляется возможным. [c.107]

Пусть /и — число стержней, а j — число узлов в ферме. Тогда, в общем случае пространственной фермы в силу того, что под действием сил, приходящихся на узел как извне, так и от усилий в тех стержнях, которые пересекаются в нем, каждый из узлов должен быть в равновесии, мы можем написать Зу условий равновесия статики. Но эти условия не все независимы, потому что внешние силы сами по себе должны образовать систему, находящуюся в равновесии. Следовательно, Зу условий связаны шестью условиями равновесия системы внешних сил. Число независимых уравнений равно Зу — 6. Оно будет как раз достаточным для определения усилий в каждом стержне, если будет выполняться равенство [c.137]

Основными элементами лазера являются активная среда, источник накачки, возбуждающий вещество активной среды, и резонатор. В обычных условиях отдельные возбужденные атомы вещества переходят на более низкие энергетические уровни спонтанно, т. е. независимо друг от друга. Целью возбуждения активной среды в лазере является такое распределение атомов по возбужденным уровням, при котором между двумя выбранными уровнями достигается инверсия. Состояние с инверсной населенностью отличается от равновесного тем, что на верхнем уровне скапливается существенно больше частиц, чем это диктуется условием равновесия. В результате число переходов с излучением фотонов между данными уровнями оказывается больше числа переходов с поглощением. Такое селективное возбуждение верхних уровней и обеспечивается источником накачки. [c.672]

Как указывалось выше, параметрами, однозначно определяющими состояние системы, являются ее состав, температура и давление. Если имеется система из к компонентов в ф фазах, то для определения в целом состава каждой фазы необходимо знать массу к—1 компонента в каждой фазе (сумма массовых долей всех компонентов равна 1, поэтому один компонент не будет являться независимым переменным). Следовательно, в отношении состава каждая фаза обладает к—1 переменными. При наличии ф фаз имеют ф(к—1) переменных. Кроме того, исходя, из условия равновесия, температура и давление во всех фазах должны быть одинаковыми. Значит, общее число переменных, определяющих состояние системы, будет равно ф(к—1)-+-2. Необходимо также определить, все ли они будут независимыми. [c.40]

Установленные для различных случаев расположения сил уравнения равновесия позволяют составить для каждого случая только определенное число независимых уравнений, налагающих соответствующие условия на систему находящихся в равновесии сил. [c.102]

Пример простейитей статически неопределимой задачи приведен па рис. 44, I де представлепа балка заданной длины, закрепленная па концах с помотцью двух неподвижных цилиндрических шарниров Ап В. На балку действуют активные силы F и F. Известны также и точки приложения этих сил. Так как для цилиндрического шарнира имеются две неизвестные, например составляющие силы реакции по осям координат, го число неизвестных будет четыре, а независимых условий равновесия можно составить только три. [c.54]

Следовательно, при исследовании равновесия системы сочлененных тел уравнения равновесия составляются как для нерасчлененной системы, так и для какой-либо ее части и отдельного тела системы. При этом число независимых уравнений равновесия, которое можно составить для системы п сочлененных тел, зависит от типа действующей на систему нагрузки при действии произвольной пространственной системы сил число независимых уравнений равновесия равно п, при действии плоской системы сил Зл. Если число этих уравнений равно числу неизвестных (реакций внешних и внутренних связей, неизвестных внешних сил и геометрических параметров), то все неизвестные определяются из условий равновесия и задача, а также рассматринаемая в ней конструкция, будет статически определимой. В противном случае задача является статически неопределимой. [c.261]

Озможных линейно независимых полей деформаций в конструкции, а значит, и число линейно независимых полей смещений ее точек (число степеней свободы деформируемой конструкции). Таким образом, размерность т равна числу обобщенных перемещений, с помощью которых может быть определено любое деформированное состояние конструкции. А отсюда следует (согласно принципу возможных перемещений [41 1), что число независимых уравнений равновесия для нее также равно т. Так, например, рассмотренная выше простейшая система (см. рис. 7.1) имеет п = 2 (число стержней), k = 1 (степень статической неопределимости), откуда т = 2 — 1 = 1. Это означает, что деформация определяется одним обобщенным перемещением — поворотом жесткого бруса соответственно для определения усилий в стержнях имеется лишь одно уравнение равновесия —сумма моментов вокруг жестко закрепленной точки бруса. В другой, несколько более сложной ферме (рис. 7.4) имеем /г = 9, /г = 2, /п = 9 —2 = 7. Соответственно — семь обобщенных перемещений (по две проекции для перемещений каждого из незакрепленных узлов и одна для узла, направление возможного перемещения которого определено), столько же независимых внешних нагрузок (вариантов нагружения) и независимых условий равновесия. [c.150]

Число независимых перемещений, которые может иметь тело, называется числом степеней свободы тела. Свободное твердое тело, кроме трех поступательных перемещений, параллельных осям координат, может иметь еще три вращения вокруг тех же осей следовательно, оно имеет шесть независимых перемещений. Чтобы тело не двигалось поступательно параллельно какой-нибудь оси. необходимо, чтобы сумма проекций всех сил на эту ось равнялась нулю, а чтобы тело не вращалось около какой-ь ибудь оси. необходимо, чтобы сумма моментов всех сил относительно этой оси равнялась нулю. При равновесии тела действующие на него силы должны удовлетворять таким условиям, чтобы они не могли сообщить телу допускаемых связями движений поэтому число условий равновесия тела равно числу его степеней свободы. [c.255]

Полученные условия фазового равиовсспя позволяют сформулировать правило фаз Гиббса. Оно определяет то максимальное количество переменных, которое может быть задано произвольно при описании многокомпонентной многофазной системы. Это число переменных, называемое числом степеней свободы и обозначаемое f, может быть найдено из следующих соображений. Если рассматривать все т фаз системы вначале независимо друг от друга, то для однозначного задания их свойств потребуется 2 + ni(n—1) переменных. Здесь 2 — это одинаковые во всей системе параметры р и Т, а (п—1)—число независимых (концентраций при числе компонент, равном п (гл. 8). Но не все эти переменные в действительности независимы. В условиях фазового равновесия они связаны равенствами (9-8). Нетрудно Видеть, что условия (9-8) накладывают на исходные переменные п(т—1) дополнительных связей [но числу равенств, содержащихся в (9-8)]. Тогда действительно независимымн останутся f переменных, где [c.161]

Общие условия равновесия в многокомпонентных системах были сформулированы в гл. 9. Разумеется, сложности расчета термодинамических свойств таких систем с увеличением числа компонент нарастают. Поэтому в данной главе будут рассмотрены лишь двухкомло-нентные (бинарные) системы. Если в бинарной системе равновесно сосущест(вуют две фазы, то в соответствии с правилом фаз Гиб бса такая система имеет две степени свободы. Это означает, что из четырех величин (р, Т, х(2)), характеризующих состояние тайкой системы, лишь две являются независимыми, остальные две являются их функциями. Обычно, чтобы не иметь дело с функциями двух переменных, одну из независимых величин задают и считают постоянной и отыскивают овяЗ И между зависимыми переменными и одной независимой. В соответствии с этим при анализе равновесия жидкость — пар в бинарной системе наибольший интерес представляет нахождение следующих зависимостей [c.185]

Число независимых параметров состояния устанавливается теоремой Дюгема равновесное состояние закрытой системы, исходные массы которой известны, определяется двумя независимыми переменными вне зависимости от числа фаз в системе, числа компонентов и числа химических равновесий. Все другие свойства могут быть выражены через них и являются зависимыми пере-ременньши. Но при этом ни теорема Дюгема, ни приведенный выше вывод системы уравнений (17.26) — (17.30) не указывают на предпочтительность задания значений того или иного параметра равновесия перед остальными. Их выбор обусловлен только удобством описания условий равновесия системы с окружающей средой. [c.167]

Найдем число степеней свободы или, что то же самое число независимых параметров многокомпонентной многофазной системы в условиях равновесия. Для определеняя химического состава системы достаточно /г(р — 1) условБй, поскольку для химического состава каждой фазы г выполнено условие [c.88]

PaBHOBe Tie системы при данных внешних условиях (т. е. внешних параметрах) обусловлено внутренними факторами, а следовательно, однозначно характеризуется теми из внутренних параметров, которые не зависят от размеров системы, т. е. интенсивными внутренними параметрами. Параметры, выбранные в качестве определяю-Ш.ИХ состояние равновесия системы, называют независимыми-, все другие термодинамические параметры или вообще любые свойства системы в равновесном состоянии могут быть выражены через эти независимые параметры и являются поэтому зависимыми, т. е. функциями независимых параметров. Число независимых параметров, определяющих равновесное состояние, различно для разных систем. [c.11]

При определении сил взаимодействия звеньев машин используют уравнения статики. В качестве неизвестных сил могут быть любые силы, рассмотренные в 1 гл. 5, в том числе и силы инерции, которые вызьшают соответствующие динамические реакции связей звеньев. Все необходимые силы могут быть определены по уравнениям статики равновесия сил и пар сил, если количество искомых величин соответствует количеству независимых уравнений равновесия сил. Заметим, что в общем случае для системы сил, действующих на звено, могут быть составлены шесть уравнений равновесия проекций сил на оси координат. При наличии и звеньев можно составить 6п уравнений равновесия сил. Установим условия статической определенности сил, действующих в различных механизмах. Из 1 гл. 2 известно, что каждая кинематическая пара определяется количеством простейших связей, которое соответствует классу кинематической пары. Это означает, что количество сил реакций взаимодействия звеньев кинематической пары, подлежащих определению, соответствует классу пары. Если в составе механизма имеются п подвижных звеньев и р (г = 1, 2,. .., 5) кинематических пар 1—5-го классов, то общее количество искомых проекций сил взаимодействия звеньев на оси координат составит [c.87]

Вообще, какова бы ни была система сил, равновесие которой определяется, и каким бы образом ни были связаны друг с другом точки приложения этих сил, всегда можно свести переменные, определяющие положения этих точек в пространстве, к небольшому числу независимых переменных для этого следует с помощью условных уравнений, заданных природой системы, исключить столько переменных, сколько имеется условий, т. е. выразить все переменные, которых имеется по три на каждую точку, при помощи небольшого числа их или при помощи других переменных, которые, не будучи уже подчинены каким-либо условиям, остаются независимыми и неопределенными. Таким образом равновесие должно иметь место по отношению к каждому из этлх независимых переменных ), так как последние дают место такому же числу различных изменений в положении системы. [c.63]

В основе Г. п. ф. лежит предположение, что каждой фазе соответствует свой термодинамический потенциал (напр., энергия Гиббса) как ф-ция независимых термо-динамич. параметров. Фазу можно определить как однородную совокупность масс, термодинамич, свойства к-рых одинаково связаны с параметрами состояния, Г. п. ф. есть следствие условий термодинамич. равновесия многокомпонентных многофазных систем, т. к. число независимых термодинамич. переменных в равновесии не должно превышать числа ур-ний для них. Макс. число сосуществующих фаз достигается, когда число переменных равно числу ур-ний, определяющих термо-дииамич. равновесие. Г. п. ф. задаёт число независимых переменных, к-рые можно изменить, не нарушая равновесия, т. е. число термодинамич, степеней свободы системы /= +2—гЭгО. Число / наз. числом степеней свободы или вариантностью термодинамич. системы. При f=0 система наз. ин(нон)вариантной, при f=l — моно(уни)вариаптной, при /==2 — ди(би)ва-риантной, при — поливариантной. Г. п, ф, справедливо, если фазы однородны во всём объёме и имеют достаточно большие размеры, так что можно пренебречь поверхностными явлениями, и если каждый компонент может беспрепятственно проходить через поверхности раздела фаз, т. с. отсутствуют полупроницаемые перегородки. Цифра 2 в Г, п. ф. связана с существованием 2 переменных (темн-ры и давления), одинаковых для всех фаз. Если на систему действуют внеш. силы (напр., электрич. или маги, поле), то число степеней свободы возрастает па число независимых внеш. сил. При рассмотрении фазового равновесия в системах с дисперсной жидкой фазой необходимо учитывать силы поверхностного натяжения. В этом случае число степеней свободы возрастает па единицу и Г. п. ф. выражается соотношением л+3—гЭгО. [c.451]

Если в системе ие происходит хим. превращений, то число независимых компонентов равно числу простых веществ, из к-рых состоит смесь. Если в системе возможны хим. взаимодействия, то условия равновесия включают, помимо обычных условий равновесия фаз, ур-ния хим. реакций. Число дополнит, условигг равно числу независимых реакций, протекающих в системе. Ур-ние баланса хим. реакции налагает ограничения на изменение параметров состояния, сокращая на единицу число независимых переменных. Если в системе, состоя-1цей из и веществ и г фаз, протекает /с независимых реакций, то число независимо изменяющихся параметров состояния равно f=n—к—r-f-2. [c.451]

Число базисных функций т при расчете континуальной кон> струкции обычно не определяется условиями задачи, а назначается как один из параметров расчетной модели конструкции. Если при размерности пространства L, равной 6я, задать таким же и число базисных (линейно независимых) функций, это будет означать, что все пространство совместно (разрешены любые векторы ё). Но при этом устраняется возможность существования самоуравновешенных напряжений модель конструкции статически определима. Она непригодна даже при большом числе п. Например, моделируя з адачу об изгибе бруса с помощью статически определимой фермы (рис. 7.11, толщина линии пропорциональна усилию в стержне), получим абсолютно неверную модель усилия в стержнях, определяемые только условиями равновесия, могут быть самыми различными в зависимости от типа фермы. Статически неопределимая конструкция дает в этом случае уже вполне адекватную модель (рис. 7.11, е). [c.162]

РеЫение. Неизвестных усилий пяtь. Применив метод сечений (рис. 2.69, б) и рассмотрев условия равновесия узлов (шарниров) Л и В, получим, что для каждого из них можно составить два уравнения статики, т. е. всего четыре уравнения и, следовательно, число неизвестных на единицу превышает число независимых уравнений статики — система один раз статически неопределима. [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...