Разложение по сферическим функциям

Это уравнение можно решить стандартным способом с помощью разложения по сферическим функциям (полиномам Лежандра) > [c.89]

Это соотношение дает возможность сразу написать разложение по сферическим функциям для уравнения (1.33) [c.554]

Если же на форму тела и распределение масс внутри него не накладывается никаких ограничений, кроме тех, которые были Сделаны в начале этого параграфа, интеграл, (1.1.1) можно вычислить только при помощи ряда. Наиболее распространенным в настоящее время разложением для потенциала является разложение по сферическим функциям. Применение сферических функций, как мы увидим в 1.5, позволяет получить довольно простую и удобную для практических приложений аналитическую формулу для потенциала. [c.13]

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СФЕРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ [c.185]

И решение задачи требует разложения по сферическим функциям. Вследствие симметрии сферические функции приводятся к функциям Лежандра ( а), так что мы можем положить [c.263]

Из разложения по сферическим функциям мы можем [c.271]

Будем искать решение ( 111.92) в виде разложения по сферическим функциям [c.279]

Разложение потенциала течения несжимаемой жидкости в ряд по сферическим функциям 168—172 [c.565]

Из формулы (8,36), полагая равными нулю все постоянные кроме Коо, получим выражение для члена нулевого порядка в разложении потенциала скоростей по сферическим функциям [c.217]

П1.1 вводит в теорию притяжения по Ньютону. Лля силового поля тяготения определяется потенциал в случае двух и п притягивающих материальных точек. Рассматривается случай, когда имеется притягивающее тело в виде шара со сферическим распределением плотности и соответственно находится потенциал создаваемого поля тяготения. Изучается также методика разложения потенциала в ряд по сферическим функциям (многочленам Лежандра) для тела произвольной формы. При решении задачи о силе тяжести на поверхности [c.393]

Рассеянную волну также можно записать в форме суперпозиции сферических волн, исходящих из начала координат, представив потенциал рассеянной волны г)) (г, 0, /) в виде разложения в ряд по сферическим функциям [61] [c.163]

В случае необходимости можно получить полное разложение потенциала и скорости в окрестности бесконечно удаленной точки в виде ряда по сферическим функциям (см. [45], стр. 143). [c.64]

Это следует из приводимой в курсах анализа общей формулы, дающей разложение произвольной функции /(О, 9), заданной на сфере, в ряд по сферическим функциям [c.334]

Мы получили разложение в ряд по сферическим функциям нормальной нагрузки, принимающей постоянное значение Од на части поверхности сферы и обращающейся в нуль на остальной поверхности. При достаточно малом е нагрузка на элементарной площадке [c.359]

Разложение по сферическим гармоническим функциям [c.644]

Разлагая (0, ф) в ряд по сферическим функциям и приравнивая соответствующие по индексу члены разложения в правой части уравнения (6.2), находим коэффициенты [c.129]

Для получения фурье-компонент можно воспользоваться разложением плоской волны по сферическим функциям (см. [118]) [c.263]

Разложение потенциала в ряд по сферическим функциям [c.19]

Представление потенциала притяжения Земли в виде ряда по сферическим функциям стало классическим. В силу простоты сферических функций оно очень удобно для аналитических и численных исследований движения искусственных спутников. Однако, как уже отмечалось, такое разложение обладает одним существенным недостатком, а именно медленной сходимостью, вследствие чего при точных исследованиях движения близких [c.43]

Компоненты вектора Ф можно найти из выражения для потенциала магнитного поля W, который подобно потенциалу гравитационного поля может быть разложен в ряд ПО сферическим функциям, так что [c.329]

Перейдем теперь к разложению функции, заданной на поверхности сферы Q единичного радиуса, в ряд по сферическим функциям. [c.183]

Разложение силовой функции произвольного притягивающего тела по сферическим функциям [c.206]

Третьим видом наиболее легко возбуждаемых колебаний явля-К1ТСП колебания формы поверх1ЮСТи ядра относительно некоторой равновесной формы. Поверхностные колебания имеют сравнительно невысокую частоту. Пусть поверхность ядра (с резкой границей) в полярных координатах определяется функцией R (0, ф), которую представим в виде разложения по сферическим функциям У (А, р.) [c.195]

При вычислении излучения энергии для секториального излучателя 2-го порядка следует учесть, что коэффициент в разложении по сферическим функциям равен и22/З (см.фор- мулу (8,34)) где 0 , — ампли- о туда скорости в пучности сек- ториальной зоны, т. е. на эква- [c.235]

Эти граничные условия имеют смысл в предположении, что амплитуда колебаний поверхности сферы очень мала и можно считать Го = onst. Аналогично формулам (9,3) и (9,4) при рассеянии плоской волны с амплитудой р , падающей по направ лению отрицательной оси х на сферу, расположенную в начале координат, получим выражения для давления и скорости в падающей и рассеянной волнах в форме ряда, разложенного по сферическим функциям [c.273]

В 1965 г. Г. Н. Дубошин получил разложение потенциала объемного тела в ряд по функциям Ламе [16]. В последнее время Л. А. Савров нашел формулы, связывающие коэффициенты разложения по функциям Ламе с коэффициентами разложения по сферическим функциям [17]. [c.44]

Основной особенностью этого второго подхода является использование взаимной связи между угловым моментом и передаваемым импульсом (или, лучше сказать, углом рассеяния). Эти переменные являются, очевидно, сопряженными и их можно для наглядности сравнить с обычными координатой и импульсом частицы. Как известно, волновая функция представляет в импульсном пространстве преобразование Фурье от координатной волновой функции и наоборот. Далее из анализа хорошо известен также тот факт, что особенности функции определяют асимптотическое поведение ее преобразования Фурье. Из взаимообратимого характера преобразования Фурье непосредственно следует, что сингулярности последнего в свою очередь опред ляют асимптотическое поведение исходной функции. Качественно можно сказать, что сингулярность в преобразовании Фурье (асимптотическое поведение) представляет асимптотическое поведение (сингулярность). Аналогичная интерпретация оказывается возможной также в случае угловых переменных с тем только отличием, что в этом случае мы имеем дело с разложением по сферическим функциям и тесно связанным с ним преоб- [c.19]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

При баллистических расчетах движе1шя PH и КА o6HqHO принимают, что Земля имеет форму эллипсоида пратения. При этом потенциал силы притяжения записывают, ограничиваясь тремя членами разложения по сферическим функциям геоцентрической широты [c.57]

Голей [1] при создании системы токовых шиммов исходил из возможности описания неоднородного поля в зазоре магнита скалярным потенциалом. Описанные в работе шиммы соответствуют первым членам ряда разложения скалярного потенциала по сферическим функциям. Из ортогональности сферических функций следует независимость токовых регулировок при настройке спектрометра, Однако шиммы Голея имеют сложную фор- [c.206]

Очень похожее решение задачи о движении двух близко расположенных сфер дал Вакия [33]. В качестве системы координат он выбирал ту же систему, что и на рис. 6.2.1, так что результат выражается в виде, подобном полученному выше при решении двух задач о движении сфер вдоль и перпендикулярно их линии центров. Применяемый им метод решения несколько отличен от использованного здесь. Хотя также применяется разложение по сферическим гармоникам, гармоники для второй сферы выражаются непосредственно в координатах, связанных с центром первой сферы, после чего из граничных условий на первой сфере а получается одна система соотношений, связывающих определяющие коэффициенты. Таким же образом по граничным условиям на сфере Ъ получается другая система соотношений. Исключая из этих двух систем одну совокупность констант, можно получить бесконечную систему уравнений для другой совокупности констант, определяющих соответствующие гармонические функции. Эту бесконечную систему уравнений Вакия решает методом последовательных приближений, и поэтому расчетная часть у него такая же, как и здесь. Полученные им результаты согласуются с результатами Факсена для двух сфер, движущихся одна за другой, а также с приведенными выше данными для движения сфер как вдоль линии центров, так и в перпендикулярном направлении. [c.307]

Существенного успеха по сравнению с тем, что было достигнуто геометрическими методами, впервые добился Лежандр в мемуаре Исследования о прйтяжении однородных эллипсоидов , представленном Парижской академии в 1785 г. несомненно, работа была закончена на год или два года раньше. Лежандр справедливо указывает, что хотя Лагранж рассмотрел задачу о притяжении во всей общности, но фактически провести интегрирование ему удалось только в тех случа ях, которые были уже исследованы Маклоре-ном. Лежандр доказывает новую важную теорему если известна сила притяжения телом вращения любой внешней точки на продолжении оси тела, то она известна для любого положения внешней точки. Это позволяет ему обобщить теорему Маклорена о софокусных эллипсоидах вращения (обобщение теоремы на случаи трехосных софокусных эллипсоидов позже удалось Лапласу). Лежандр впервые вводит в этом мемуаре разложение в ряд по полиномам, названным его именем (по сферическим функциям), и здесь же впервые появляется силовая (или потенциальная) функция, но с указанием, что эта идея принадлежит Лапласу. По оценке Тодхантера, ни один мемуар в истории рассматриваемого вопроса не может соперничать с этим мемуаром Лежандра. В течение сорока лет средства анализа, даже в руках Даламбера, Лагранжа и Лапласа, не продвинули теорию притяжения эллипсоидов дальше того рубежа, на который вышла геометрия Маклорена.... Лежандр обобщил главный результат этой геометрии... Введение и применение круговых функций начинает новую эру в математической физике. [c.152]

Лля небесных тел более сложной формы, чем шар, используют разложение потенциала в ряд по сферическим функциям. Поместим декартову систему координат Oxyz в центре масс тела М с объемом У, произвольной формы и непрерывной функцией плотности р(ж, у, z). [c.397]

Опуская несущественный комплексный множитель ехр (i a/), этот потенциал можно представить разложением ехр (ikr os 0 ) в ряд по сферическим функциям [61] ф = = + 1) X [c.163]

Это дает формулу, представляющую собой разложение Слин( ) по сферическим функциям [c.323]

Вероятности оптических переходов между уровнями РЗ-ионов определяются главным образом взаимодействием 4/-электронов с полем лигандов. Поскольку энергия этого взаимодействия мала по сравнению с другими видами взаимодействий (кулоновым и спин-орбитальным), его можно рассматривать как возмущение. Первым шагом при этом является вычисление электрического потенциала V, создаваемого окружающими РЗ-ион ионами решетки в месте расположения данного иона. В приближении внутрикристалличе-ского поля, когда ионы решетки рассматриваются как точечные заряды, этот электрический потенциал определяется уравнением Лапласа АУ=0 и может быть представлен в виде разложения в ряд по сферическим функциям [c.21]

По своему содер канию книга разделена на 10 глав. Первая глава имеет в известной степени вводный характер. В ней приводятся основные сведения из теории потенциала, выводится разложение потенциала притяжения Земли по сферическим функциям, даются различные формы записи геопотенциала, используемые на практике. Здесь же вводится понятие о промежуточном гравитационном поле Земли. [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...