Полупространство а) на границе заданы перемещения

Полупространство а) на границе заданы перемещения Мы будем говорить о полупространстве < О и преж 1е всего поставим вопрос, какие перемещения имеют место внутри полупространства, если перемещения на границе его (плоскости л ==0) заданы [c.88]

Полупространство а) иа границе заданы перемещения 89 [c.89]

Коэффициент А можно определить из уравнений теории упругости. В условиях плоской деформации упругого полупространства, на границе которого заданы перемещения, поле напряжений определяется из уравнений [c.34]

Если на границе упругого полупространства лгз О заданы перемещения и1 х, х2), то следует идти таким путем. Решая уравнения Лапласа (5) с граничными условиями (6), находим функции ф . Из этих функций образуем дивергенцию (величину ф lд) и подставим в правую часть уравнения (8). После интегрирования этого уравнения получаем функцию г ). Зная функции ф и -ф, можно определить поле перемещений [c.183]

Рассмотрим упругое полупространство дгз О, на границе которого Хз = О заданы перемещения. Первая краевая задача заключается в решении в области > О системы уравнений в перемещениях [c.212]

М. Д. Мартыненко [165—167] получил ряд приближенных формул для определения давления под основанием как односвязного, так и двухсвязного штампа, близкого в плане к круговому, в предположении, что заданы перемещение штампа, нормальная нагрузка вне штампа и касательные усилия на границе полупространства. При различных предположениях им получены приближенные формулы для связи между перемещением штампа и силой и моментами, приложенными к штампу, а также для осадки границы полупространства вне штампа. Для эллиптических штампов, близких в плане к круговым, получена интегральная оценка точности этих формул для произвольного основания. [c.199]

До сих пор мы исследовали напряжения и деформации упругого полупространства, к которому на участке нагружения прикладывались заданные распределения поверхностных усилий. Поскольку поверхностные усилия вне участка нагружения равны нулю, то граничные условия в этих случаях сводятся к заданию распределения усилий на всей границе полупространства. Однако в большинстве контактных задач в области контакта задаются перемещения или комбинация перемещений с поверхностными усилиями, тогда как вне области контакта поверхностные усилия равны нулю. Это так называемые смешанные краевые задачи, которые мы будем рассматривать в этом параграфе. [c.39]

Для формулировки двумерных задач для упругого полупространства, на участке границы —Ь х которого задаются перемещения, воспользуемся соотношениями (2.25). Применяя [c.40]

Рассмотрим теперь задачу для полупространства, когда на части границы 5 заданы касательные напряжения и нормальная компонента перемещений, а на оставшейся части — все компоненты напряжений. Посредством наложения частного решения второй основной задачи для полупространства можно перейти к случаю, когда касательные напряжения будут всюду равны нулю, а вне 5 будет обращаться в нуль и нормальная компонента напряжений. Приступим именно к постановке последней задачи, для которой [c.291]

Рассмотрим взаимодействие штампа или упругого индентора, форма контактирующей поверхности которых задана уравнением z = f r) (/(0) = 0), с упругим полупространством z < 0). Площадка контакта О имеет форму круга радиуса а. На основании потенциала Буссинеска интегральный член в уравнении (1.52), имеющий смысл упругих перемещений границы полупространства от действия номинального давления р г) внутри круга радиуса а, можно записать в виде [121] [c.70]

Численные результаты. На рис. 1, 2 показаны поле линий скольжения и годограф скоростей перемещений в пластической области при скольжении по границе идеально-пластического полупространства эллиптического цилиндра Я = = 2, 6 = 1 для напряжения контактного трения д = 0,1. В этом примере линейные размеры отнесены к длине малой полуоси эллипса. Дуга контакта О А задана параметрами = —0,4 и дд — —0,65, которым соответствует угол ад — 0,287 в точке А. Ось эллипса наклонена к границе полупространства под углом = = 0,869. Центр эллипса находится с точке ж = —0,852, = 1,658. Длина границы контакта и толщина пластического слоя полупространства равны 1с — = 0,331 и /г = 0,12 соответственно. Силы и момент, действующие на цилиндр, равны N = 0,672, Г = 0,134, М = 0,716. Угол наклона свободной поверхности в точке А равен 3 = 0,462. Увеличение угла контакта ад приводит к увеличению угла (3 и уменьшению угла ф. При ф = О получаем предельное значение ад, при котором устанавливается стационарное пластическое течение полупространства при скольжении эллиптического цилиндра. Нормальное давление на границе контакта изменяется от 1,687 в точке А до 2,460 в точке О. [c.588]

Если на границе полупространства г—О заданы упругие перемещения, как функции текущих координат х, у в виде [c.185]

В последующие годы развитие методов, основанных на использовании общих уравнений теории упругости и, в частности, функций Папковича — Нейбера, позволило свести многие общие смешанные задачи упругого равновесия полупространства к некоторым классам смешанных задач теории потенциала. При этом в качестве основной из таких задач целесообразно выделить тот случай, когда на всей границе полупространства заданы касательные напряжения, в некоторой конечной области 6" граничной плоскости 2 = 0 известно нормальное перемещение щ = f (х, у), а вне 6 (в области 3 ) задано нормальное напряжение сг = о (х, у). Так, для контактной задачи без трения и пригрузок имеем о = О, а функция / определяется формой основания штампа. Существенно, что смешанные задачи указанного класса в конечном счете могут быть сведены к нахождению одной гармонической функции, заданной в /5", причем в области 8 известна ее нормальная производная. Советскими учеными были разработаны эффективные методы подхода к подобным задачам теории потенциала, позволившие, в частности, дать точные решения некоторых контактных и сходных смешанных задач. Основными из этих методов являются следующие применение сфероидальных и эллипсоидальных координат (А. И. Лурье) построение и использование функции Грина (Л. А. Галин М. Я. Леонов, 1953) метод интегральных уравнений (И. Я. Штаерман В. И. Моссаковский, 1953) использование тороидальных координат и интегральных преобразований (Я. С. Уфлянд, 1956, 1967) метод комплексных потенциалов (Н. А. Ростовцев, 1953, 1957). Мы здесь специально не выделяем метод парных интегральных уравнений, успешно развитый Я. Н. Снеддоном ), поскольку его эффективность существенно проявляется при решении более сложных смешанных задач, о которых речь пойдет ниже. [c.34]

Наряду с контактными задачами, рассмотренные выше смешанные задачи теории потенциала для полупространства могут быть трактованы как задачи о деформации неограниченного упругого тела, ослабленного плоской щелью, занимающей область S (или S ). Действительно, в случае загружения берегов щели, симметричного относительно ее плоскости, достаточно рассмотреть полупространство, на границе которого в области S (или S ) заданы напряжения, а вне ее отсутствуют касательные напряжения и нормальное перемещение. В случае антисимметричного загружения даже для круговой щели возникают некоторые дополнительные трудности, разрешенные в работах В. И. Моссаковского (1955) и Я. С. Уфлянда (1967), причем в последней работе эта задача рассмотрена как частный случай общей смешанной задачи, когда на всей границе полупространства задано нормальное напряжение, в области S (S ) известно касательное смещение, а в области S (S) заданы касательные [c.35]

А. И. Кузнецовым (1962) на основе идей, развитых в работах И. X. Арутюняна (1959), решена задача о вдавливании жесткого штампа в полупространство, находящееся в условиях нелинейной ползучести, характеризующейся физическим уравнением, аналогичным (3.14), или при степенном упрочнении материала. Построению решения рассматриваемой задачи предшествовали рассмотрение задачи о равновесии полупространства с учетом ползучести материала при действии сосредоточенной силы Р t), вывод формул для определения перемещений границы этого полупространства, находящегося в условиях установившейся ползучести, при действии распределенного давления р (ж, у, t) и, наконец, решение зада- [c.200]

Начало координат выберем где-либо на границе оси Ох и Оу направим в граничной плоскости, а ось Ог нормально к ней по внешней нормали. Тогда интересующую нас задачу можно формулировать так требуется найти напряжения и перемещения в любой точке полупространства (т. е. для любых х, у м г < 0), если на границе г = О заданы напряжения от нагрузки Х , как функ- [c.267]

Отражение и преломление плоских волн на плоскости раздела тесно связано с действием движущейся нагрузки. Чтобы пояснить это и установить причины появления некоторых особенностей при отражении и преломлении, рассмотрим вначале отражение продольной волны от границы полупространства, на которой задано отсутствие нормальных перемещений (оу = 0) и касательных напряжений ( хг = 0). Пусть на указанную границу падает плоская волна (ве- [c.187]

Вследствие симметрии на продолжении трещины ( = О, г > /) равны нулю нормальные перемещения Ыг и касательные напряжения 02 Таким образом, достаточно рассмотреть, например, лишь верхнее полупространство, на границе которого заданы [c.58]

Решение обобщенной плоской задачи о динамике плоской трещины в линейно-упругом теле, так же как и в статике, можно представить суперпозицией решений трех основных задач (см. задачи I, П, III). Каждая из таких задач является смешанной на части границы полупространства задана одна из компонент перемещения, на остальной части - соответствующая компонента напряжения (еще одна компонента напряжения задана на всей границе)-см. условия (2.1.10)- [c.194]

Наконец, отметим еще работу Сривастава и Прем Нарайна [355]. Здесь рассматриваются задачи о кручении полупространства с полусферическим углублением, когда на плоской границе на внутреннем кольце задается перемещение, а вне этого кольца касательное напряжение и полусферы, когда на сферической поверхности перемещение отсутствует. Кручение осуществляется поворотом жесткого штампа, сцепленного с полусферой в центральной части плоской границы. Эти задачи решаются в сферической системе координат. Решения задач сводятся вначале к парным уравнениям, а затем к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. [c.246]

Формулы (11.1.5) представляют перемещения в упругом теле через четыре гармонические функции. Однако в общем случае в граничных условиях фигурируют комбинации этих функций, и воспользоваться известными решениями задач теории гармонических функций, как правило, не удается. Однако в некоторых случаях задача теории упругости сводится к той или иной задаче для уравнения Лапласа таким образом, удается построить эффективные решения. Одной из таких задач служит задача об упругом полупространстве. Пусть упругая среда занимает область пространства а з [О, °°), плоскость а з = О является границей, на которой заданы те или иные условия. Здесь мы ограничимся изучением наиболее простого случая, когда на граничной плоскости равны нулю касательные напряжения Оаз (а = 1, 2). В этом случае, как будет показано, все перемещения и напряжения выражаются через одну гармоническую функцию. Условимся сохранять индексные обозначения только для осей Xi и Х2, ось Хз, будем обозначать как ось z. Как уже было прппято ранее, [c.368]

Так как диаметр перешейка трещины d D, то при изгибе цилиндра перешеек будет полностью находиться в зоне растяжег ния (см. рис. 14). В этом случае величина б упругого перемещения перешейка трещины (см. рис. 14, отрезок ОС ) относительно плоскости ее поверхностей считается достаточно малой, так что направление результирующей силы До практически перпендикулярно к поверхности трещины. Поэтому распределение напряжений в перешейке трещины будет такое же, как если бы такой перешеек вытягивать силой Rg из упругого полупространства. Упругая задача для этого случая состоит в определении напряженного состояния в полупространстве z > О, на границе которого z = О заданы такие смешанные условия [c.62]

Для штампа конечных размеров Л. М. Флитманом [46] решена плоская задача о колебаниях полупространства для граничных условий типа (3) (заданы вертикальные смещения на отрезке ж I). Решение строится как суперпозиция решений для полубесконечных штампов, для которых получено интегральное уравнение в свертках. Аналогичная задача для акустической среды рассмотрена в работе Л. 1VI. Флитмана [45] с использованием запаздывающих потенциалов. В. А. Свекло [34] для этой задачи с помощью метода функционально инвариантных решений построил интегральное уравнение, связывающее перемещения и напряжения на границе полуплоскости. Найдены асимптотические представления для подынтегральных функций. [c.371]

Упругая среда занимает полупространство жз = а > О и находится в однородном, вообще говоря, напряженном состоянии О, а = О задаются новые напряжения на границе или скорости точек границы v, или компоненты тензора градиентов перемещения Ui = и (те компоненты, которые в одномерных задачах могут изменяться). Мы примем последнюю формулировку задачи как наиболее удобную при наличии результатов Главы 3 и Главы 4. [c.241]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...