Асимптотические формулы для точных решений

Асимптотические формулы для точных решений [c.184]

В математическом решении, из которого затем получены асимптотические формулы для напряжений, граничные условия относились не к деформированной поверхности разреза, а к исходной на оси х. Кроме того, у конца треш,ины в результате деформации возникают значительные изменения углов наклона свободных поверхностей, т. е. деформации соизмеримы с единицей. Для точной постановки задачи теории упругости требуется учет больших деформаций и соблюдение граничных условий на текуш,ей поверхности разреза, т. е. на той, которая получается при деформации тела внешними нагрузками. При этом задача становится нелинейной и довольно сложной. Образую-ш,ийся в конце разреза малый, но конечный радиус кривизны возрастает с ростом величины внешних нагрузок и обеспечивает ограниченные (хотя и большие) напряжения (см. здесь гл. 4). Наконец, имитация треш,ины тонким математическим разрезом или тонким эллиптическим вырезом также вносит различие в напряженное со- [c.103]

При выводе формулы (1.4.1), по существу, используется метод асимптотического разложения вероятностей состояний сложных систем по степеням малого параметра [36, 37]. Основная трудность применения этого метода состоит в необходимости оценить остаточный член. Ее удается избежать, вычисляя двустороннюю оценку точного решения. Для [c.13]

Рассмотрена задача о движении полубесконечной плоской нагретой пластины сквозь твердую среду с образованием слоя расплава у поверхности пластины. Решение о течении расплава получено в приближении теории тонкого слоя с учетом инерционных членов в уравнении движения и диссипативного слагаемого в уравнения теплопроводности. Описана процедура нахождения точного автомодельного решения задачи и развит асимптотический метод, позволяющий приближенно представить результаты решения в виде простых формул. Для пластины конечной длины получены простые оценочные выражения для длины жидкой полости за пластиной. [c.169]

Возвратимся к формулам (117). Они представляют приближенные решения, полученные из точных решений (115) для а,, и т путем замены в последних под знаком интеграла функций Бесселя их асимптотическими выражениями. Что формулы (117) действительны только для значений г, не слишком близк X к нулю, мы уже на это указывали. Посмотрим, дают ли формулы (117) правильные решения при г—а, другими словами, совпадают ли формулы (115) и (117) при г—а. Так [c.203]

Отдельно, как важный частный случай задачи о конусе, рассматривается контактная задача о вдавливании кольцевого штампа в полупространство, для которой известно точное решение [7]. Тем не менее следует отметить, что полученные простые асимптотические формулы на наш взгляд более предпочтительны, чем громоздкое точное решение. [c.196]

Решение задачи для локально невязкой области 22 не может дать равномерно точного первого приближения для решения задачи при Де оо. Во-первых, локально невязкое решение не удовлетворяет граничному условию прилипания на теле. Это требует введения вязкого подслоя 32 (см. рис. 3.9), в масштабах которого главные вязкие члены имеют порядок инерционных. Слой 32 рассмотрен ниже. Во-вторых, из найденных асимптотических формул (3.56) и (3.57) следует, что при 522 в нижней части области 22, управляющей , как было показано, распределением давления при 522 +СЮ, для которой на таких расстояниях Ф22 главные вязкие члены также становятся порядка инерционных. (Ситуация аналогична той, которая рассмотрена в 3.2 для течений разрежения.) Таким образом, возникает необходимость рассмотреть области 2 и 3 с продольным масштабом 5 (так как 522 = /е) и возмущениями давления Ар 1/2 рассмотренных ранее [c.93]

В настоящем параграфе рассматриваются точно интегрируемые динамические системы, которые возникают из двумерных типа (111.2,8) при определенных ограничениях на зависимость искомых функций от своих аргументов, например, = = о(г++ г = ), и описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений (111.2.13). Их решения в классической области, как уже отмечалось ранее, могут быть получены из общих решений соответствующих двумерных систем путем подходящего выбора асимптотических функций, приводящего в окончательном выражении к правильной зависимости от одной (временной) переменной. Именно таким образом были получены явные формулы для решений одномерной обобщенной цепочки Тода (IV. 1.49). (В квантовой области ситуация существенно изменяется, поскольку коммутационные соотношения в одномерном и двумерном случаях разные.) [c.181]

Пространственные течения в работе [27] рассчитаны лишь с помощью асимптотических формул (2.101), которые дают качественное представление о геометрии сопла и распределении параметров, однако, возможность использования этого решения для количественного описания течения является проблематичной, хотя, как показывают сравнения точных и приближенных решений, геомет- [c.94]

Классическая трудность задачи о конденсаторе состоит в том, чтобы найти асимптотическое разложение для емкости при малом расстоянии между дисками или, что то же самое, при очень большом радиусе и фиксированном расстоянии. Однако, каким бы большим ни был радиус, граничный эффект всегда существует и влияет на распределение заряда вдали от краев. В рассматриваемом пределе вблизи края возникает задача электростатики на плоскости, которая была точно решена Максвеллом методом конформных преобразований. Сшивка решений вдали и вблизи края ведет к формуле Кирхгоффа для емкости [c.83]

Возможность использования асимптотических решений, базирующихся на формулах (1-10) и (1-11), для расчетов излучательной способности сажистых частиц в интересующей нас области спектра теплового излучения пламени тесно связана с размером образующихся в пламени сажистых частиц, точнее с величиной и областью изменения параметра дифракции р. [c.133]

В отличие от формул (26) и (27) формулу (281 нельзя использовать для сращивания точного (численного) и асимптотического решений (кривые и/, и2]. Для этой цели достаточную точность дает аппроксимационная формула, полученная на основе некоторых численных результатов [c.30]

Формула (3.54) дает точное значение 5ц только для однородных ЛП, но допускает трак ювку как асимптотического (высокочастотного) приближения и для НЛП, поскольку с ростом частоты характеристики НЛП приближаются к таковым для однородной ЛП. С развитием вычислительной техники и методов численного решения обратных задач (задач оптимизации) формула [c.103]

Формулы (3.44) и (3.45) были получены для случая плоской дефоррлации в случае плоского напряженного состояния нужно взять в них Стг = О и заменить v на v/(l+v). Эти формулы можно получить также из решения частных задач, разлагая решение по г в малой окрестности края щели и ограничиваясь наибольшим членом разложения. Слова в малой окрестности края означают физически, что г считается малым по сравнению с характерным линейным размером тела, например, длиной трещины или расстоянием ее конца от свободной границы. Именно таким способом — из точного решения различных частных задач—были найдены асимптотические формулы (3.44) —(3.46) [c.75]

Как следует из рис. 4.27, в некотором диапазоне безразмерных частот напряжение Ow больше напряжения в статическом случае. При со = 0,4 (avv)max = 4,106, что на 10,8% больше статического значения, равного 3,720. С ростом со концентрация напряжений уменьшается. Если в выражении для Ow устремить со к нулю и юспользоваться асимптотическим представлением цилиндрических функций малого аргумента, получим формулу, совпадающую с разложением по 8 точного решения статической задачи. Сходимость последовательных приближений (а ) max иллюстрируется результата-ми, приведенными в табл. 4.2 для 8=0,2 0 = л/2. [c.99]

В работе Ю. А. Антипова [10] получено точное решение осесимметричной задачи о вдавливании плоского кольцевого штампа в упругое однородное полупространство. 1У1етод решения основан на сведении интегрального уравнения с ядром Вебера-Сонина, которому эквивалентна задача [27], к уравнению типа свертки на отрезке, а затем к векторной задаче Римана с треугольным матричным коэффициентом специального вида, точное решение которой построено последовательным применением метода факторизации и асимптотического метода. Решение задачи выписано в виде двойного ряда, для коэффициентов которого получены явные формулы. [c.138]

В работах, о которых говорилось в этом разделе, основное внимание уделяется асимптотическому анализу. Другими словами, для исследования используется следующая схема. Решение исходной задачи сначала, путем довольно громоздких вычислений, представляется в виде кратного интеграла (который почему-то именуется точным решением), и затем строится его асимптотическое представление при V О, которое иногда может быть выражено в виде явных формул. Но если выяснение особенностей течения при V 1 и есть главная цель исследования, то естественным образом возникает следующий вопрос не проще ли сначайса провести асимптотическую обработку исходной задачи Это позволит сразу же качественно ее упростить. Для таких упрощенных задач удается иногда построить решение даже в явном виде. Разумеется, результат в обоих случаях будет один и тот же. Но во втором случае всю основную вычислительную работу мы будем вести уже с объектом значительно более простой природы, что позволит избежать большого количества ненужных вычислений. Современная техника исследования уравнений, содержащих малые параметры, дает возможность не только эффективно реализовать процесс построения асимптотики, но и провести анализ и доказать асимптотический характер подобных формул. Один пример подобных доказательств дан П, С. Краснощековым. По-видимому, впервые такая точка зрения была высказана Н, Н. Моисеевым (1961). В основе метода, который был предложен в этой работе, лежали следующие простые соображения. [c.71]

В работе Г. М. Бам-Зеликовича, А. И. Бунимовича и М. П. Михайловой 1949), помимо доказательства эквивалентности задачи об обтекании тонкого тела с большой сверхзвуковой скоростью и задачи о нестационарном движении газа в пространстве, число измерений которого на единицу меньше, и обоснования соответствующего закона подобия, было произведено подробное сравнение результатов приближенной теории с точными формулами для клина и с результатами численного решения задачи об обтекании круглого конуса. При этом расчеты для конуса сравнивались с найденным Л. И. Седовым 1945) решением задачи о расширении цилиндрического поршня в покоящемся газе. Таким образом была установлена область возможного использования приближенной теории. На рис. 12 показано сравнение точных расчетов для конуса со значениями, полученными согласно асимптотической теории пунктир штрих-пунктирная кривая — результат линейной теории). [c.185]

Принцип локализации входит в неявном виде в асимптотические формулы Дебая, полученные в 1908 г., потому что, как мы увидим ниже, члены с определенным значением п дают асимптотические выражения, содержащие коэффициенты отражения Френеля для определенного угла падения. Понятно, что сам Дебай не останавливается на объяснении этого соответствия между слагаемыми и более или менее локализованными лучами. Однако после развития квантовой механики такой подход стал очень заманчивым, так как он показывает полную аналогию с эффектами, известными в квантовой механике. Волновое уравнение для электрона, сталкивающегося с центром возмущения, — это уравнение Шредингера. Решение имеет вид ряда с целыми значениями квантового числа момента количества движения I. Длина волны де Бройля равна К=к1ть, где т — масса, V — скорость и /г —постоянная Планка. Если считать, что электрон локализован и проходит на расстоянии (I от центра, то момент количества движения //г/2я должен быть равен тьй. Это дает /=й/2я. В действительности точной локализации не наблюдается, но среднее значение (1 равно 1 + - ) 1/2л. Смысл этой [c.243]

Более подходящим для экспериментальной проверки представляется асимптотическое поведение корреляционных функций при I — ( оо, которое, как мы видели, при достаточно общих условиях описывается сравнительно простой формулой. Особенно следует выделить формулы (15.46), (15.47) и (15.53), (15.54), соответствующие случаю общей регулярной в нуле спектральной плотности (и одновременно описывающие точные решения уравнений (15.35), (15.36). отвечающие очень мелкомасштабной начальной турбулентности с конечными инвариантами Корсина и Лойцянского). Естественно прежде всего попытаться сопоставить именно эти формулы с экспериментальными данными, относящимися к большим значениям Ь (ср. работы Миллионщикова (1939а). Лойцянского (1939) и Корсина (19516), в которых предсказывалось, что в конце процесса вырождения должны выполняться указанные формулы). [c.146]

Асимптотическая проверка показывает, что фюрмула (6-49) при Кп < I переходит в континуальное ypaiBHenne (6-40). (Чтобы не останавливаться в дальнейшем на этом вопросе, отметим, что все полученные в этой работе соотношения для скользящего потока асимптотически точно переходят в континуальные уравнения и это вполне закономерно, так как они построены на их основе. Однако далеко не все решения, полученные другими авторами [Л. 36, 77, 104] из дифференциальных уравнений, дают такой же результат, на что будет указано ниже). При. Кп > 1 формула (6-49) принимает вид [c.212]

Вследствие локального характера асимптотического течения из уравнений, записанных в безразмерных переменных, можно исключить все параметры Ке, М, температурный фактор. Таким образом, полученное универсальное решение описывает все течения, а формулы перехода к физическим переменным устанавливают закон подобия для этих течений. Второе приближение показывает, что для более точного описания необходимо учитывать перепад давления в поперечном направлении 118]. Таким образом, все приближенные подходы, основанные на использовании уравнений пограничного слоя (например, описанные Чженом интегральные методы), не могут в принципе дать более точные ре 1уль-таты, чем теория первого приближения. [c.243]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...