О движениях в подпространствах

В этой главе на ряде конкретных примеров изучается влияние малых параметров на динамику неголономных систем. Это изучение помогает осветить вопрос об идеализации, связанной с пренебрежением малыми физическими параметрами при построении математической модели неголономной системы. Как известно, указания о допустимости той или иной идеализации могут быть получены не только из сравнения результатов теоретического рассмотрения с данными опыта, но и из сопоставления результатов двух различных теорий, одна из которых развита с использованием данной идеализации, а другая — без этой идеализации. В настоящей главе представлены довольно различные примеры, однако все они объединяются общим подходом, основанным на разделении фазового пространства на подпространства медленных и быстрых движений [ ]. В случае, когда медленные движения оказываются устойчивыми по отношению к быстрым движениям, пренебрежение рассматриваемым малым физическим параметром вполне допустимо. В противном случае роль малого параметра является существенной. [c.215]

Более точно можно определить Мт как геометрическое место тех точек допустимой области (I, i,..., Рз, рз), в которых функция (33) 394 принимает постоянное значение А, причем слово допустимой означает, что структура этой области отвечает некоторым требованиям. Например, наклонность i должна рассматриваться как угловая переменная (mod л), а еслп требуется (как и в 394), чтобы треугольник Д был невырожденным, то подпространство трех расстояний р,- должно определяться неравенствами О С pi < Pj + Pit. Фактически полное многообразие всех возможных состояний движения в задаче трех тел получим лишь в том случае, если также включим, с одной стороны, предельные случаи сизигий и коллинеарных решений, когда, АI = О С pi = Рз -f- рй для одной какой-либо системы индексов I, /, к и, с другой стороны, предельные случаи парных и одно-1 ременных столкновений, когда по крайней мере одно pi = 0. Действительно, в 498—500 мы увидим на сравнительно простом примере, насколько существенными являются столкновения для понимания топологической структуры. Конечно, лишь детальный анализ позволит решить, какова допустимая область (I, I, Pl, Рг, Рз) в случае, когда (pi, рз, рз) соответствует какому-либо из предельных случаев. [c.422]

Если все 5 корней характеристического уравнения (10.18) имеют отрицательные действительные части при любых х, у, удовлетворяющих уравнениям Р (л у) = О, то точки подпространства Р являются устойчивыми состояниями равновесия для приближенных уравнений быстрых движений (10.17) и все траектории быстрых движений вблизи подпространства Р входят при возрастании t в малую окрестность последнего. Следовательно, в этом (и только в этом) случае малые паразитные параметры, учтенные при составлении уравнений (10.15), не являются существенными, по крайней мере, для процессов, начинающихся из состояний, совместных с приближенными уравнениями <и.медленных движений (10.16) ). Таким образом, условия несущественности малых (паразитных) параметров могут быть сформулированы, например, в виде условий Раута — Гурвица [95, 99] для уравнения [c.750]

Исследуем возможности применения теорем о разделении движений в рассматриваемом случае. Оператор и = ах, тг--тД имеет в подпространстве У ,, [c.214]

X (х) и р2 (х). Рассматривая движение первой фазы в пространстве М, будем считать, что оно происходит в подпространстве Mt, а остальная часть пространства М., ее обозначим символом M Mt непроницаема для первой фазы. Аналогично рассматривается движение второй фазы оно происходит в пространстве Л1 , а подпространство М М непроницаемо для второй фазы. При таких предположениях о распределении фаз и их взаимодействии уравнение течения первой фазы в любой точке пространства М имеет вид [c.185]

О возможности приведения дифференциальных уравнений движения системы материальных точек к уравнениям вида (И. 379) шла речь в 58. Число уравнений в системе (11.379), обозначенное здесь я, равно удвоенному числу М степеней свободы системы. Систему уравнений (11.379) можно, как известно из предыдущего, рассматривать как уравнения движения изображающей точки в многомерном пространстве Можно, далее, рассмотреть систему подпространств Lp с количеством измерений р < я, вложенных в пространство [c.379]

Чтобы предсказать эволюцию системы с заданным гамильтонианом Я и заданным начальным состоянием (q ( o),p( o)), необходимо проинтегрировать уравнения движения (1.1.1) и найти фазовую траекторию q t),p t)). Для решения этой задачи важное значение имеет наличие интегралов движения i q p). Каждая траектория характеризуется некоторыми фиксированными значениями i динамических переменных i q p) которые определяют в фазовом пространстве системы подпространство r q,p i ), доступное для фазовых траекторий. Для системы из N частиц, описываемой гамильтонианом (1.1.2) с Ф (г, ) = О, важными интегралами движения являются энергия Я, число частиц полный импульс Р и полный момент импульса L. [c.13]

Функция Мельникова Одна из теорий хаотического движения сосредоточивает внимание на седловых точках отображений Пуанкаре, порождаемых непрерывными потоками в фазовом пространстве. Вблизи таких точек имеются подпространства, по которым траектории сходятся к седловой точке (устойчивые многообразия), и подпространства, по которым траектории расходятся от седловой точки (неустойчивые многообразия). Функция Мельникова задает меру расстояния между такими устойчивыми и неустойчивыми многообразиями. Теория, о которой идет речь, считает, что хаос возникает, когда устойчивое и неустойчивое многообразия пересекаются или когда функция Мельникова имеет простой нуль. [Функция названа в честь советского математика (около 1962 г.).] [c.275]

Система (21) вырождена имеет линейный интеграл движения Zg. На подпространстве Zg = 0 система (21) эквивалентна (8). Утверждение о приводимости невырожденной СГТ в R с группой автоморфизмов / (1)х i/ (1) к виду [c.244]

Областью быстрых> движений является также и область, лежащая вне малой О ([X 1п)-окрестности подпространства Р, так как в области вне [c.747]

Таким образом, уравнения упрощенной модели (10.16), составленные при пренебрежении паразитными параметрами, здесь заведомо не пригодны для описания поведения системы. Эти уравнения (10.16) могут отображать законы движения системы (конечно, приближенно при достаточно малых л) только в пределах малой О ( л)-окрестности и -мерного подпространства F, где F (л", j ) =s О ( л) и где, следовательно, скорости изменения состояния системы (т. е. и л , и у) остаются конечными при сколь угодно малых л (при л 0). [c.748]

Если для точки М Р все 5 корней этого уравнения имеют отрицательные действительные части, то Л/е /. Если же для всех точек М подпространства Р х,у) = О все 5 корней уравнения (13.6) имеют отрицательные вещественные части, то все точки подпространства /суть устойчивые состояния равновесия для приближенных уравнений (13.4) быстрых движений и в этом случае малый параметр Ц несуществен (но только в этом случае). Таким образом, условия несущественности малого параметра можно сформулировать в терминах линейной теории устойчивости, например в виде условий Гурвица для уравнения (13.6). [c.251]

В состояниях, в которьк момент сил пружин (-Лф) уравновешен или почти уравновешен моментом Л/силы трения, колодка имеет сравнительно небольшие ускорения (О, несмотря на малость I. Другими словами, при I -Лф I I Л/(Г2 - со) I совершаются медленные движения. Подпространство / таково [c.253]

В системах с периодическим внешним воздействием, таких, как странный аттрактор Дуффинга—Уэды (3.2.25) или странный аттрактор в задаче о движении в потенциале с двумя ямами (3.3.6), время, или фаза ф = становится естественной переменной в фазовом пространстве. В большинстве случаев эта временная переменная лежит в том подпространстве, которое содержит аттрактор, и время можно рассматривать как одну нз составляющих размерности аттрактора. В случае нелинейного осциллятора второго порядка с периодической вынуждающей силой отображение Пуанкаре, состоящее нз периодической выборки временных точек, порождает некоторое распределение точек на плоскости. Для вычис- [c.233]

В общем случае задача о движении N материальных точек может рассматриваться как задача о движении одной материальной точки, перемещающейся вдоль некоторой траектории в ЗЛ -мерном пространстве. Это пространство называется пространством конфигураций. Говорят, что связи ограничивают движение подпространством соответственно меньшегочисла измерений. Эту терминологию можно использовать при любой обобщенной системе координат. [c.20]

Фазовое пространство Ф системы плоскостями i J = г ) разбивается на три подпространства ( < —Ч о) к Фз (11 разбиение которых на траектории симметрично относительно начала координат. Отрезок w = 2 = О, if s ь г )о является отрезком состояния равновесия. На каждой плоскости ф = if,, существует пластинка скользящих движений, определяемая соотношениями I if = = Ф(1, О < L (и, г) sign 1)1 В. Изображающая точка, двигаясь в плоскости if = фо, может попасть либо на ребро Г (L (и, z) = S, и > Л + В), с которого уходит в подпространство либо на ребро Г (L (и, z) = О, и 0), с которого уходит в подпространство Фз- [c.184]

А) Прежде всего возможно, что все траектории быстрых движений идут (при возрастании t) внутрь некоторой малой окрестности подпространства F. Тогда изображающая точка, помещенная в начальный момент времени внутрь этой окрестности, будет в дальнейшем двигаться в ее пределах, т. е. вблизи и -мерного подпространства F, поскольку нет траекторий, выходящих из этой окрестности. При этом движение изображающей точки будет сравнительно медленным (с ограниченными при л—>- -0 скоростями л и у) и будет подчиняться (с некоторой степенью точности, но тем точнее, чем меньше л) уравнениям (10.16) [119, 42] эти движения изображающей точкп, для которых хну остаются ограниченными в течение конечных (не стремящихся к нулю) интервалов времени при л —- - О, будем называть ниже ради краткости медленными , а малую 0([л)-окрестность подпространства F, в которой они имеют место, областью медленных движений (в противоположность области быстрых движений). Таким образом, паразитные параметры, учтенные при составлении полных уравнений (10.15), в этом случае не явля- [c.748]

Свойство эргодичности зависит от того, на каком подпростран стве оно определено. Так, автономная гамильтонова система не может быть эргодической во всем фазовом пространстве из-за точного сохранения энергии. Однако Можно говорить о ее эргодичности на энергетической поверхностй. Если существуют и другие интегралы движения, то система может быть эргодической только на подпространстве, определяемом вс ми этими интегралами. В некотором смысле эргодичность оказывается универсальным свойством, и основная задача сводится к определению подпространства, на котором она существует. [c.292]

Обозначим через Г о подпространсгво, объединяющее все элементы для О < оо. Пусть объем его равен Во- Подобно этому обозначим через Гх подпространство, объединяющее все элементы g для т < < оо. Объем его равен 2 . Так как энергия и пространственный объем, занимаемый системой, конечны, представляющие точки заключены в конечной области Г-пространства и объемы Во конечны. Согласно определению, подпространство содержится в Г . Мы можем представить себе я другим образом. Предположим, что область Г о равномерно заполнена представляющими точками. С течением времени область Г о будет превращаться в другие области, однозначно определяемые уравнениями движения. Из определения ясно, что спустя время х область Г о станет тождественной Г . Следовательно, по теореме Лнувилля [c.108]

Тогда данная система линейным преобразованием К может быть приведена к системе, аналогичной комплексному триплету (15). Действительно, можно заменить Е на усреднение интеграла Е по действию /(1)х /(1) в К . Форма о -инвариантный положительный квадратичный интеграл движения данной системы. Группа и 1)хи (I) действует в К ортогональными преобразованиями (относительно скалярного произведения, задаваемого Е ). Пространство К есть прямая сумма трех двумерных подпространств КхфКгШНз. инвариантных относительно действия У(1)х /(1) автоморфизмами данной системы и попарно ортогональных относительно скалярного произведения, задаваемого Ед. В каждом из подпространств введем комплексную координату = = + (/=1, 2, 3, о = 2(4 + г/ )), превращающую в одномерное комплексное пространство С). Действие (ф1. Фг) группы /(1)х (1) в С = 0Са0С автомор-физмами данной системы задается двумя наборами т , а). ( 1. 2. з) целых чисел Л (ф1, Фг) переводит г- , г , гд) в (е < 1ф1+"1ф2)г1, 2з). [c.243]

В каких случаях движение изображающей точки системы (10.15) (в полном л-мерном фазовом пространстве х, у) при достаточно малых значениях положительного параметра х, т. е. при достаточно малых значениях учтенных паразитных параметров, и в течение интересующих нас интервалов времени (обычно при 0< < -]-оо) будет происходить в малой окрестности подпространства Р и, следовательно, может быть удовлетворительно заменено движением изображающей точки в пределах самого подпространства Р — образа с меньщим (л ) числом измерений [c.747]

Подпространство /"=0 есть линия Х= F. Jiy—v)/k (см. рис. П.101 и П. 102). Рис. П.101 составлен для неустойчивого положения равновесия, и в этом случае существует разрывный предельный цикл AB D, а рис. П. 102 соответствует случаю устойчивого положения равновесия. Здесь предельные циклы (и автоколебания груза) невозможны. Точкой О, обозначено положение равновесия. Участки F и F отределяются по знаку произвоцн й dF/ду = -F . Для F > О получается участок F, а для < О - участок F . На рис. П.101 и П.102 участки F заштрихованы. Направление движения изображающей точки по участку F определяется по равенству х = у. [c.382]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...