Отображение на бесконечную плоскость

Отображение на бесконечную плоскость. Распространим тор (7.15) на плоскость 2 с помощью преобразования [c.181]

В дальнейшем мы почти всегда будем отображать конечные односвязные области на круг < 1, а бесконечные односвязные области — на область > 1, т. е. на бесконечную плоскость с круговым отверстием. Можно было бы ограничиться в обоих случаях отображением на круг I [ <С 1, но указанный способ несколько удобнее в практическом отношении. [c.166]

Ясно, что соотношение (15) дает отображение бесконечной плоскости с отверстием, ограниченным такой кривой, на бесконечную плоскость с круговым отверстием радиуса р. Подстановкой мы можем сделать радиус равным единице [c.175]

Решение первой основной задачи для бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием ). В этом случае мы воспользуемся отображением рассматриваемой области на область ] С] > 1, т. е. на бесконечную плоскость с круговым отверстием ). [c.303]

Можно показать, что все значения k с п > приводят к неоднозначному отображению плоскости годографа на физическую плоскость (при однократном обходе первой вторая обходится несколько раз), т. е, к неоднозначности физического течения, что, разумеется, нелепо. Значение же /г= /б дает решение, в котором не по всем направлениям в физической плоскости стремление 0 н т) к нулю означает уход на бесконечность ясно, что такое решение тоже физически непригодно. [c.627]

Пусть требуется найти комплексный потенциал потока, обтекающего со скоростью в бесконечности о = ол + oy плоскую пластину шириной 2а (рис. 128, а). Размер пластины и потока по нормали к плоскости чертежа принимаем равными единице. В соответствии с общей схемой метода конформных отображений во вспомогательной плоскости рассмотрим течение, комплексный потенциал которого известен и область которого можно конформно отобразить на область г. Таким течением является поток, обтекающий круглый цилиндр радиуса а (рис. 128, б). Действительно, функция вида [c.255]

При отыскании комплексной скорости w как функции от дело сводится к конформному отображению на полуплоскость кругового многоугольника с п вершинами. Пусть углы при вершинах, переходящих на плоскости S в точки а, Ь, с вещественной оси, суть соответственно па,. . ., л у, а угол при вершине, переходящей в бесконечно далекую точку = оо), есть я (S — fi ), причем a4-p + -- - + fi + 6 = w — 2. [c.291]

Как известно [44], всякую я-связную область S на комплексной плоскости 2 переменного, включающую бесконечно удаленную точку, можно отобразить на каноническую область, получаемую из плоскости переменной выбрасыванием п кругов. При п > 2 отображение oq (С), имеющее вид oq (Q = + со (С) [где со ( ) ограничена на бесконечности], зависит от Зп действительных параметров, шесть из которых (например, одну окружность, фиксированную точку на ней и центр еще одной окружности) можно задать произвольно (с — масштабный множитель). Следовательно, система равнопрочных контуров, если она существует, образует (Зп — 6) параметрическое семейство. Границы изменения параметров определяются из геометрических соображений. При наличии симметрии число параметров может уменьшиться. [c.72]

Отметим также работы, в которых решались задачи теории трещин для криволинейных (некруговых) областей. Метод сингулярных интегральных уравнений использовался при определении напряженного состояния около трещин в конечной криволинейной области [377, 418] или в бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием [16, 60, 95, 154]. В работах [15, 348, 403) решались задачи о трещинах в эллиптической [15, 3481 и полукруглой [403] пластинах. В случае односвязной области, когда трещины выходят на край области, широкое применение нашел метод конформного, (отображения (см. обзор в работе [160], а также [74]). При [c.155]

Пусть на комплексной плоскости 2 дана ограниченная односвязная область G с границей Г, причем дополнение замкнутой области G = G и Г есть односвязная область D, содержащая бесконечно удаленную точку 2 = оо. По теореме Римана о конформном отображении существует единственная аналитическая в области D (исключая бесконечно удаленную точку) функция = ф г) которая отображает область D конформно и однолистно на область > 1 при условиях [c.226]

Мы заключаем, таким образом, что рассмотренное отображение поворачивает в бесконечности плоскость z на [c.157]

Криволинейные координаты, связанные с конформным отображением на круговую область. В дальнейшем нам придется пользоваться конформным отображением данной области S, находящейся на плоскости Z, на область 2 плоскости представляющую собой либо круг, либо круговое кольцо, либо бесконечную плоскость с круговым отверстием начало С = мы будем брать в центре. [c.177]

Бесконечная плоскость с круговым отверстием. Применим в этом случае отображение на область ] С [ > 1, так что формула (1) остается в силе. [c.485]

Бесконечная плоскость с эллиптическим отверстием. В этом случае мы могли бы воспользоваться, как и в случае первой и второй основных задач, отображением на область С I > Однако вычисления несколько упрощаются, если произвести отображение на круг С < 1 [c.487]

Будем рассматривать задачу о напряжениях в бесконечной плоскости, ослабленной отверстием в форме прямолинейного многоугольника. Отобразим данную область посредством интеграла Кристофеля — Шварца на единичный круг вспомогательной плоскости и представим отображение в виде разложения в ряд по степеням С- Удержав в этом ряду конечное число первых его членов, мы получим приближенное отображение, переводящее окружность в близкую к исходному контуру кривую, при помощи рациональной функции вида [c.585]

Из последнего параграфа было видно, что затруднения при отыскании решения, связанные с методом функции напряжений, облегчаются вследствие использования комплексного потенциала и соответствующего конформного преобразования однако наибольшее преимущество от использования комплексного потенциала получено благодаря методам, развитым Мусхелишвили ), позволяющим определять потенциалы непосредственно по граничным условиям. Эти методы применимы к телу, занимающему в плоскости Z односвязную область, конечную или бесконечную, которую можно отобразить с помощью конформного преобразования на круг или полуплоскость исследование многосвязных областей значительно сложнее и обсуждаться здесь не будет. Области, отображенные на круг или на полуплоскость, можно исследовать двумя методами первый основан на использовании обычных интегралов Коши, второй основан на более тонких свойствах интегралов Коши. Второй метод наиболее при- [c.104]

К простейшим основным областям, на которые производится конформное отображение в теории упругости, относятся, например, единичный круг, полуплоскость, бесконечная плоскость с круговым отверстием, а также кольцевая область или полоса. Существенно при этом, что в основной области нет нулей производной / ( ), так как в противном случае, как уже упоминалось, отображение в этих точках перестает быть конформным и соответствующие решения будут обладать особенностями. [c.221]

Общее решение, которое содержит только что указанный случай как частный, было получено Н. И. Мусхелишвили. Речь идет об эллиптическом отверстии в бесконечной пластине, нагруженной на части границы постоянным давлением р (рис. 8.34), причем напряжения на бесконечности должны затухать. При этом комплексные функции напряжений можно записать в несколько более удобной форме, если осуществить конформное отображение внешней области эллипса на внешность единичного круга в плоскости Пусть 2(0 = Л (С + сД), где Лис имеют те же значения, что и раньше. Тогда комплексные функции напряжений будут равны [c.251]

Изложенные в 30—34 решения задач для бесконечной плоскости с эллиптическим или круговым вырезом (пустым или заполненным) являются точными. Они получаются очень просто — методом Н. И. Мусхелишвили, основанном на применении конформного отображения и степенных рядов. Не менее просто получаются решения, если вместо степенных рядов использовать аппарат интегралов типа Коши (см. [21], гл. VI, 37). [c.200]

Если вырез в бесконечной плоскости не является эллиптическим или круговым, то одновременное отображение областей 5 и на внешность единичного круга при непременном соблюдении указанного условия аффинного [c.201]

Мы не доказываем здесь критерия Гурвица. Алгебраическое доказательство сравниУельио сложно (см., например, Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 11-е изд., стереотип. — М. Наука, 1975, и Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.—3-е изд., исправл. —М. Наука, 1967, где критериям Рауса и Гурвица посвящена специальная глава). Значительно проще доказательство, основанное на редукции, которая, не переводя корней характеристического уравнения через мнимую ось, удаляет один из них в бесконечность слева от мнимой осп. Тякое доказательство сравнительно несложно, но проведение его требует знания деталей характера отображений мнимой оси плоскости корней на пространство коэффициентов характеристического уравнения (см. Айзерман М. А. Теория автоматического регулирования.—М. Наука, 1966, с. 171-173), [c.222]

Дальнейшие примеры. Приложение к некоторым другим граничным задачам. 1. Изложенный в 84—87 метод решения применим, в частности, ко всем односвязным областям, конформные отображения которых на круг указаны в качестве примеров в 48. Из числа этих примеров случай бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием подробно рассмотрен нами в 82, 83. Случай конечной области, ограниченной улиткой Паскаля, рассмотрен в 63, где мы применили метод разложения в ряды применение метода 84 гораздо быстрее приводит к цели. Мы предоставляем читателю решение основных задач для этого случая только что указанным способом. Случай бесконечной плоскости с гипотрохоидальным отверстием ( 48, п. 4) подробно изучен при помощи метода 84 Г. С. Шапиро [1] в применении к некоторым практически важным задачам (см. еще в следующем параграфе о работах Г. Н. Савина). [c.333]

При решении плоской задачи часто бывает полезно предварительно отобразить конформно заданную область, заполненную упругой средой, на некоторую другую область плоскости вспомогательной переменной В случае конечной одпосвязпой области 5 , ограниченной замкнутым контуром, обычно прибегают к отображению на круг единичного радиуса, в случае конечной двухсвязной области — на круговое концентрическое кольцо, в случае полубесконечной области с границей, уходящей в бесконечность в обе стороны,— на полуплоскость и т. д. [c.46]

Как известно, существует единственное решение Ф( ) для комплексного потенциала безотрывного обтекания профиля несжимаемой жидкостью с заданной скоростью на бесконечности, удовлетворяющее условию Жуковского-Чаплыгина. Аналитическая во внешности профиля G функция w z) = d /dz осуществляет отображение на многолистную, в общем случае, область D. Ввиду гладкости профиля (кроме задней кромки, в которой, по условию Жуковского-Чаплыгина w < оо, область D ограничена. Проекция ее границы L на плоскость W, выражающая зависимость F w, a.Tgw) = О, является замкнутой кривой с точками самопересечения или самоприкосновения, так как на профиле существуют две критические точки 01,2, в которых W = 0. В исключительном случае они могут совпадать, однако это, как и случай Г = О (Г — циркуляция), не будет приниматься во внимание. [c.147]

Квазиконформность отображения в плоскость 1пр, /5. Граничные условия на бесконечности [c.180]

Имеет смысл рассматривать отображения Пуанкаре и глобально, выделяя на фазовой плоскости области, для которых отображение Пуанкаре определено. Они называются областями возможных движений (ОВД). Обычно они определяются из существования решения для уравнения энергии Ж р, q) = Е, р, q) е q = до = onst (в нашем случае р, q) = = L,G,l,g),до = до)- Если уровень энергии является компактным, то справедлива теорема Пуанкаре о возвращении и точка снова пересечет выбранную плоскость, причем бесконечно много раз. Очевидно, что на границе ОВД траектория касается секущей плоскости, т. е. происходит потеря трансверсальности пересечения. Глобальные отображения Пуанкаре еще плохо изучены. [c.56]

В Другой работе Г. П. Черепанов [361] указал метод отыскания точного аналитического решения широкого класса смешанных задач теории упругости для пластинки, границы которой состоят из прямых, перпендикулярных оси X, и любых отрезков этой же оси. Задача решена с помощью конформного отображения заданной области на- каноническую. В качестве примера автор рассмотрел такую область —оо<х<оо, —оо<у<0 - а<х<а, а<у<<х>. При этом происходит сжатие на бесконечности, грани полосы лг= а жестко подкреплены без трения упругим телом, а на отрезках действительной оси .х 1>а отсутствуют напряжения. Другой пример состоит в контактяой задаче для плоскости с вынутой полосой, на дно которой давит симметричный штамп. Этот класс решений является обобщением известного класса решений, указанного Вестергардом еще в 1939 г. Представления Вестергарда относятся к бесконечным телам, граница которых расположена вдоль одной и той же прямой, иа которой, кроме того, касательное напряжение должно обращаться в нуль. [c.20]

Очевидно, эффект связи будет представлен, если ввести по лругую сторону плоскости фиктивные начальные смещения и силы, образующие в соединении с действительно существующими на первой стороне систему, строго симметричную относительно пло-скости. Каковы бы ни были начальные значения ср и ср, принадлежащие любой точке на первой стороне, то же самое должно быть приписано ее изображению, и равным образом, какая бы функция времени Ф ни существовала в первой точке, такую же точно функцию времени следует представить себе в другой. При этих условиях ясно, что ср для всего последующего времени будет симметрично относительно плоскости, и поэтому нормальная скорость равна нулю. Но тогда очевидно, что в движении на первой стороне ничего не изменится, если плоскость будет удалена и жидкость будет простираться неограниченно во всех направлениях,— если, конечно, положить, что условия на второй стороне являются точным отображением условий на первой стороне. Если иметь это в виду, то общее решение задачи для жидкости, ограниченной бесконечной плоскостью, содержится в формулах (8) 273, [c.112]

Для случая 1/2 < ц < 1, т.е. когда граница имеет острую кромку, приведенное выше решение дает бесконечно большую скорость Н1 острие клина. Чтобы избежать такого парадокса, необходимо выбрать несколько иное течение в z-плоскости, состоящее из движения точечно го вихря в полуплоскости при наличии дополнительного равномерного внешнего потока. Выбирая скорость этого потока такой, чтобы при отображении на плоскость в вершине она обращалась в нуль ( именно здесь, по нашему мнению, лежат истоки условия Жуковскиго — Кутта Чаплыгина на острой кромке ), после некоторых преобразований получаем уравнение траектории [c.167]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...