Произведение тензора на вектор

Аналогично, назовем произведением вектора а на тензор Р или произведением тензора на вектор слева вектор с = аР с проекциями [c.118]

Отметим, что определение произведения тензора на вектор или вектора на тензор соответствует операции перемножения матрицы II II тензора Р на матрицу а1 аз или а вектора а. [c.118]

Проектируя обе части равенства (18) на оси координат и пользуясь известными выражениями проекций векторного произведения (1-12) и произведения тензора на вектор (И.6), получим вновь систему равенств (14). [c.40]

Производные по времени t от скалярных произведений, стоящие в правых частях этих равенств, легко вычисляются. Используя (30) и известные правила вычисления тройных скалярно-векторных произведений и произведений тензора на вектор, получим [c.48]

Е21 Е22 Е31 Ед2 Е в) Скалярное произведение тензора на вектор Е а = с, Ва= с, [c.34]

Дивергенция произведения тензора на вектор [c.470]

Определение физических компонент тензоров второго ранга несколько сложнее. В математической физике физический смысл имеют скалярные и векторные величины. Если появляются тензорные величины, то физические компоненты следует определить в терминах скалярных и векторных величин. Вектор из тензора можно получить, например, если применить операцию свертки произведения тензора на вектор. [c.13]

Определение векторного произведения. Начнем с определения векторного произведения двух векторов и далее определим векторное умножение тензора на вектор слева и справа. (Заметим, что последняя операция широко используется в механике.) Пусть ft,- —декартов базис, тогда векторным произведением двух векторов а а Ь называется вектор с = ахЬ, компоненты которого подсчитываются по закону [c.316]

Вектор с с компонентами Q з. Qзl, Q 2 носит наименование сопутствующего антисимметричному тензору Q. При помощи этого сопутствующего вектора молено доказать, что произведение антисимметричного тензора на вектор справа или слева приводит к векторному произведению, сомножителями в котором [c.122]

Произведение винтового аффинора на винт справа и слева осуществляется аналогично умножению тензора на вектор справа и слева (см. стр. 60). Совершенно аналогично осуществляется и дифференцирование винтовых аффиноров по скалярному аргументу, так как все правила дифференциального (а также и интегрального) исчисления распространяются на винтовые аффиноры. [c.78]

Произведение справа этого тензора на вектор dr приводит к вектору da [c.840]

Если их произведения справа на вектор а определяют один и тот же вектор 6, то этим они представляют различные записи одной и той же инвариантной величины — тензора Р второго ранга [c.874]

Аналогичный вопрос приходилось уже решать в начале 7 предыдущей главы. Скаляр и вектор зависели пе голько от положения точки в пространстве, где они вычислялись, но и от направления дифференцирования. Эти величины не представляли скалярного и векторного полей, но выражались простыми формулами (10) и (23) как произведения орта на вектор градиента скалярного поля или дифференциальный тензор векторного поля. Последние две величины были уже однозначными функциями и образовывали соответственно векторное и тензорное поля. Докажем, что и напряжения можно выразить как произведения орта п нормали площадки и некоторого тензора, представляющего однозначную функцию точек пространства. [c.86]

Девять величин е е,,у,. .. являются постоянными среды и составляют тензор диэлектрической проницаемости-, следовательно, вектор В равен произведению этого тензора на вектор Е. [c.614]

Единичный тензор Е. Это—тензор, произведение которого на вектор а справа или слева равно этому вектору а [c.427]

Существенное упрощение, вносимое предположением о симметричности тензора, состоит в том, что отпадает различие между произведениями справа и слева тензора на вектор. Триэдры е/ , е совпадают—это единственный ортонормированный триэдр, и по (9.10), (9.11) [c.438]

Пример 2. Произведение двухвалентного тензора на вектор [c.17]

Свёртывание, сложение, симметричность, альтернирование, идеи, понятие, частный случай, свойства, поле, определение, компоненты, элементы, главные значения, главные оси. .. тензора. Умножение вектора. .. на тензор. Действия. .. над тензором. Скалярное произведение. .. тензоров. [c.88]

Проекции вектора, равного произведению вектора а на тензор 5 или, что в случае симметричного тензора одно и то же, тензора 5 на вектор а, на главные осп будут по определению (16) равны (по р не суммировать ) [c.128]

Полный дифференциал da вектора а можно представить как произведение тензора D на вектор dr справа или D на вектор dr слева [c.336]

Обратим внимание на некоторое сходство структуры выражения (147) с мощностью силы F [равенство (9)], приложенной к точке, движущейся со скоростью v. В последнем случае мощность равна скалярному произведению F-v вектора силы на вектор скорости, в случае же сплошной среды плотность мощности внутренних сил равна также скалярному произведению тензора напряжений на тензор скоростей деформаций ( 78). [c.254]

Диада является специальным классом тензоров с компонентами А В], (1, I = 1,2, 3), образованном с помощью векторов А и В. Произведение Т А тензора Т на вектор А определяется как вектор, компоненты которого (Т А) = ХТ г.-Л,. Поэтому (V = [c.452]

Скалярное произведение тензора Т на вектор а справа. Пусть тензор Т определен тремя векторами xj, х, х относительно координатных векторов Xi, Хз, Хд равенствами (2), которые представим с учетом краткого обозначения (3) его элементов [c.60]

Скалярное произведение тензора Т на вектор а слева. Чтобы перемножить скалярно слева тензор Т, определяемый векторами (10), на вектор а, представленный равенством (11), необходимо перемножить каждую проекцию вектора а последовательно на [c.60]

Найдем теперь тотальное произведение тензора согласно уравнению (36) на радиус-вектор г = 1X1 + /Хз + кХ . В результате получаем [c.176]

Отсюда с учетом формул (53) и (71) К = Jw, где произведение тензора инерции (54) на вектор угловой скорости w понимается как результат матричного умножения. В технических обозначениях (55) и (56) это соотношение имеет вид [c.50]

В левых частях этих равенств стоят произведения тензоров на векторы, т. е. векторы. Умножим обе части этих равенстн скалярно на и Найдем [c.126]

Здесь использованы уравнение равновесия в объеме (5.3.1), преобразование поверхностного интеграла в объемный, известная формула дивергенции произведения тензора на вектор (II. 3.10), а также переставимость операций V и 6. [c.679]

Предметом рассмотрения в механике и математической физике являются инвариантные величины они не зависят от выбора координатного базиса и определяются собственными свойствами изучаем010 объекта. Инварианты могут быть скалярами (энергия, работа, масса, температура), векторами (скорость, ускорение, сила), тензорами (тензор инерции в точке тела, тензоры деформаций и напряжений в сплошной среде), а также их функциями—диадное, скалярное и векторное произведения векторов, произведение тензора на вектор и т. д. [c.787]

Правая часть равенства (5.12) называется девятичленной формой диадного произведения, так как она содержит девять коэффициентов. Очевидно, таким путем можно свести к девятичленной форме и любую диаду. Так как коэффициенты девятичленного представления диады являются однородными квадратичными функциями составляющих векторов, то, очевидно, они будут преобразовываться так же, как составляющие тензора второго ранга [см. уравнение (5.10)]. И обратно, из каждого тензора второго ранга можно образовать диаду, для чего достаточно использовать составляющие тензора в качестве соответствующих коэффициентов девятичленной формы. Таким образом, имеется полная формальная аналогия между диадой и тензором второго ранга. Кроме того, они эквивалентны и в отноще-нии действия, производимого ими на вектор, ибо мы знаем, что скалярное произведение диады на вектор есть опять некоторый вектор. Поэтому оператор / можно записать таким образом, что будет ясно видна его диадная форма. Для этого мы введем единичную диаду 1 [c.169]

Скалярное произведение тензора второго ранга aij на вектор b=biet можно записать так [c.18]

Найденный нами вектор с компонентами j называется дополнением к бивектору с компонентами Он совпадает с векторным произведением ахЬ. Эти понятия можно обобщить на пространство произвольного количества измерений, а также перейти от бивекторов к поливекторам. При этом выясняется, что векторное произведение существует как вектор лишь в трехмерном пространстве. Чтобы выяснить еще некоторые существенные свойства тензоров, рассмотрим применение косоугольных декартовых координат. [c.49]

Обозначается диада при помощи рядом поетаилепных векторов аЬ без каких-либо знаков между ними. Диаду можно рассматривать как третью операцию умножепич вектора на вектор — диадное произведение двух векторов, приводящее, в отличие от скалярного и векторного произведений, к тензору. [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...