Преобразование Фурье обобщенных функций

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [c.120]

Обозначим через 2 пространство функций i i(s), удовлетворяющих оценке (4.71). Это пространство является основным пространством при определении преобразования Фурье обобщенных функций. [c.120]

Преобразованием Фурье обобщенной функции fi=D называется линейный непрерывный функционал g(a) над пространством Z, действующий по правилу (g, 1]))=2л(/, ф), где ф(з)е2, ф(ж) =f- ifi(a) — обратное преобразование Фурье. [c.120]

Это следует из того, что преобразование Фурье обобщенной функции 1п т на прямой равно — я Г вне начала координат (см. [5], гл. II, 2, и гл. I, 4). [c.324]

Е. Преобразование Фурье обобщенных функций. [c.370]

Для преобразования Фурье обобщенных функций имеет место утверждение, аналогичное сформулированному выше утверждению для основных функций формулы (14.31) и (14.32) [c.370]

Свойства преобразования Фурье обобщенных функций во многом аналогичны соответствующим свойствам для обычных функций. [c.371]

Для полноты изложения рассмотрим также преобразование Лапласа, хотя в оптике его непосредственно не используют. Это преобразование определяется обобщенным экспоненциальным ядром и представляет собой распространение принципа преобразования Фурье на функции, для которых не существует фурье-образов. Если для функции f x) интеграл [c.30]

Преобразование / (q) обобщенной функции медленного роста /(х) Е 5 и обратное преобразование Фурье определяются как соответствующие функционалы на 8 [c.370]

Если обобщенная функция / является регулярной и существует преобразование Фурье / (х) порождающей ее функции /(х), то преобразование Фурье — также регулярная обобщенная функция, и она порождается функцией / (х). То есть для регулярных обобщенных функций справедливы известные таблицы преобразований Фурье обычных функций. [c.371]

Уже на примере (2-67) видно, что голоморфная функция, являющаяся преобразованием Лапласа, не обязана обладать граничным значением даже в смысле теории обобщенных функций. Но если это — преобразование Лапласа обобщенной функции умеренного роста Т, то граничным значением будет преобразование Фурье от Т. [c.90]

В тех случаях, когда функции щ, ф , fi выходят из класса функций, для которых применимы интегральные преобразования Фурье, назовем решения 1 обобщенными решениями . Например, при постоянных краевых условиях второго рода будем иметь частный случай обобщенного решения . [c.358]

В классическом смысле спектральные плотности существуют, вообще говоря, для достаточно быстро убывающих (т) и / (т). В противных случаях соответствующие преобразования Фурье понимаются в смысле обобщенных функций (см. 4.10). [c.116]

Формулу (4.12) мы получили при условии 9i и 9, - (—оо + оо). Если же функция 9, удовлетворяет неравенству (2.7), то к уравнению (4.1) нельзя применить обычное преобразование Фурье. В этом случае с помощью преобразования Фурье для обобщенной функции можно получить те же результаты [2], [c.52]

Как преобразование Фурье от единичной щели, так и ряды Фурье для решетки пространственно определены через и в одном случае непрерывно, а в другом дискретно. Следовательно, оба представления могут быть описаны как существующие в пространстве Фурье или частотном пространстве, как показано в разд. 3.4.1 в связи с дифракционной решеткой. Это очень полезное обобщение интерпретации дифракции, и оно является верным для любой апертурной функции. [c.68]

Для установления природы преобразования Фурье для члена решетки регулярная структура, образующая решетку, представляется последовательностью маркеров с идентичными апертурами-в данном случае щелями. Для такого маркера мы используем так называемую Ь-функ-цию, математическое представление (как функция она не имеет реального математического смысла), определяемое, как предельная форма прямоугольной функции (рис. 42, а), у которой площадь (выбирается обычно равной единице) сохраняется постоянной, ширина стремится к нулю, в то время как высота уходит в бесконечность. Таким образом, 5-функция равна нулю всюду, за исключением одной характерной точки, где она бесконечна. В некоторых случаях она описывается как (единичная) импульсная функция. (Ни одна из известных обычных функций не ведет себя подобным образом, и потому ее относят к обобщенным функциям обычно она характеризуется своими интегральными свойствами.) [c.69]

Функция (обобщенная функция) / ( ) называется фурье-образом f t), или ее спектральной функцией. Существует, обратное преобразование Фурье, которое каждой спектральной функции ставит в соответствие фурье-оригинал по закону [c.325]

После фотографической обработки пленки, полученной в плоскости преобразования Фурье системы, приведенной на рис. 10, до коэффициента контрастности 0,5, она помещается в фурье-анализа-тор, на выходе которого наблюдается улучшенное изображение. Данный метод был обобщен таким образом, чтобы можно было исследовать объекты, не имеющие центра симметрии для этого был разработан машинный алгоритм, который позволяет вычислить относительную фазу автокорреляционной функции [10]. [c.94]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. ОПЕРАЦИИ СВЕРТКИ И КОРРЕЛЯЦИИ. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ, ИЛИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [c.194]

И выполняя с помощью плоских волп (1.2.37) преобразование Фурье по отношению к относительным координатам х . В результате мы приходим к Д/ -частичной функции Вигнера, которая является естественным обобщением функции (1.2.29) [c.32]

Замечание 6.2.2. В случае необходимости вычисления функции q xi) — решения исходного уравнения (6.2.1) — использовать непосредственно представление (6.2.28) нельзя, так как в окончательных выражениях, после применения к (6.2.28) обратного преобразования Фурье, будет присутствовать обобщенная функция. [c.121]

Замечание 6.3.3. Выражение (6.3.33) непригодно для непосредственного восстановления функции q xi, Х2) — решения исходного интегрального уравнения (6.3.1), так как после применения обратного преобразования Фурье в окончательных выражениях будет присутствовать обобщенная функция. В этом случае надо либо изменить класс функций, из которого берется r(zi, Х2) (Lp (fl), р > 1), либо использовать отличное от (6.3.32) представление функции rk xi, Х2) таким образом [11], чтобы в окончательных выражениях для q x, Х2) функция r(xi), Х2) находилась лишь под знаком оператора. [c.126]

Формулы (57), (58) являются обобщением преобразования Фурье — Бесселя (46), (47) на функции п-ого порядка / , причем эти интегралы дают взаимно-обратное преобразование коэффициентов сумм (48), (49). Следовательно, можно найти и преобразование произвольных функций р(г,г )) или выражаемых такими суммами. [c.124]

Для понимания дальнейшего текста необходимо знакомство с основами (или, лучше сказать, с элементами) функционального анализа. Для справок можно использовать некоторые параграфы из глав I—V книги [2], глав I, П1 книги [8] или глав III—V и VII—IX книги [9]. Предполагается, что читателю известно понятие обобщенной функции. Необходимые сведения об обобщенных функциях и их преобразованиях Фурье можно найти в нескольких параграфах из глав I, II книги [5] или главы [c.296]

Доказательство. Функция /Г на плоскости имеет преобразование Фурье 2я Г в смысле обобщенных функций (см. [5], гл. П, 3). Отсюда нужный результат получается заменой переменных. [c.323]

Таким образом, преобразование Фурье существует для любой обобщенной функции /(х) Е S. [c.371]

Для (ПО Стоя1Н ного 1начального распределения потенциала (11-2-5) и (11-2-6) представляют обобщенные решения системы (11-2-1) и (11-2-2), так как, очевидно, для данных функций преобразование Фурье неприменимо. После простых преобразований получим [c.501]

Классический метод решения задач теплопроводности заключается в нахождении решения в виде ряда частных решений дифференциального уравнения и некоторых граничных условий, причем коэффициенты ряда определяются из теории рядов Фурье или аналогичных им рядов. Этот метод вполне пригоден для задач с ограниченными областями. Однако при рассмотрении неограниченных областей соответствующий метод с использованием интегралов Фурье следует считать чисто формальным вследствие трудностей, связанных со сходимостью. (Весьма важные функции, например единица, не имеют преобразования Фурье.) Тем не менее эта формальная теория действительно дает правильные результаты, которые могут быть проверены а posteriori ее можно сделать строгой путем обобщения [1] теории преобразования Фурье на комплексную плоскость. Кроме того, все чаще используется не интеграл Фурье, а эквивалентный метод преобразования Фурье <см. 3 гл. И). [c.445]

Если исключить краевые задачи и проблемы нелинейной оптики, в основе которых лежит электромагнитная теория, а также исследования по физике излучения, где используется квантовая теория и статистическая физика, то можно сказать, что главные разделы радиооптики базируются на операционном методе решения задач с помощью преобразования Фурье. Метод преобразования Фурье применяли уже Релей и Майкельсон на рубеже нашего века. Однако только современная теория распределений, или обобщенных функций, основанная на трудах Л. Шварца (1950—1951 гг.), может рассматриваться как универсальный инструмент, пригодный не только для анализа более или менее классических задач в теории образования изображения и в теории связи, но и для синтеза новых устройств и систем. Матричная формулировка образования изображения с помощью линз и зеркал существенно упростила математи еские методы расчета линз, особенно при использовании электронной вычислительной машины. Оптические аналоговые корреляторы и вычислительные устройства, созданные на основе новых математических обобщений, начинают дополнять превосходящие их нередко по сложности электронные вычислительные машины. В гл. 5 на нескольких примерах показано, как, пользуясь оптическими методами, можно осуществлять операции умножения и [c.16]

Вместо вычисления преобразования Фурье от sgn Х и i , которое требует использования теории обобщенных функций, заметим, что соотношения (7.70) — (7.72) выполняются для являющейся частным решением уравнения (7.1) (при Xl 0). Следовательно, преобразования Фурье для давления, скорости, температуры, тензора напряжений и теплового потока связаны следующими соотношениями — onst) [c.249]

Однако для класификации дорожных условий или для их оценки удобнее использовать обобщенную характеристику микропрофиля — спектральную плотность дисперсий или так называемый энергетический спектр. Спектральная плотность 5н дисперсий строится в функции линейной ( путевой ) частоты К = 2л/5 з—длина неровности), которая связана с корреляционной функцией взаимным преобразованием Фурье [c.21]

Наша физическая интерпретация обобщенной теоремы Ван Циттерта — Цернике состоит в следующем. Так как функция fi(A ,ATi) имеет более резкую зависимость в плоскости (А , Ат]), чем функция /( , т]) в плоскости ( , т]), коэффициент % х,у) будет плавной функцией в плоскости х, у), тогда как интеграл будет резким в плоскости Ах, Ау) в силу соотношений между обратными ширинами пар преобразований Фурье [5.17]. Интегральный множитель мы интерпретируем как представляющий корреляционные свойства света в зависимости от расстояний между двумя исследуемыми точками xi,y i и х2, г/2), тогда как множитель % х,у) описывает плавное изменение средней интенсивности в плоскости х,у). Точно так же как и в случае некогерентного света, площадь когерентности наблюдаемой волны определяется размером источника, но в дополнение к этому площадь когерентности источника влияет на распределение средней интенсивности в плоскости х,у). [c.212]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...