Преобразование Лапласа обобщенных функций

Преобразования Лапласа обобщенных функций с носителем Б полупространстве обладают свойствами ограниченности более сильными, чем (2-72). Хотя это можно доказать для труб общего вида, особенно изящное доказательство получается для i"я, так что мы сосредоточим свое внимание на этом случае. [c.88]

Г и удовлетворяющая неравенству (2-78) для любого т е Г и для некоторого полинома Р-п, то F есть преобразование Лапласа обобщенной функции с носителем в Г. [c.88]

Обратно, предположим, что функция F голоморфна в R4n — г = S п. и ограничена по (2-78). Тогда она наверняка удовлетворяет (2-72) и, значит, является преобразованием Лапласа обобщенной функции Т 3) такой, что е-р- Т е S p для всех т) е Г. Остается показать, что носитель Т лежит внутри Г. [c.89]

Уже на примере (2-67) видно, что голоморфная функция, являющаяся преобразованием Лапласа, не обязана обладать граничным значением даже в смысле теории обобщенных функций. Но если это — преобразование Лапласа обобщенной функции умеренного роста Т, то граничным значением будет преобразование Фурье от Т. [c.90]

В предыдущем разделе мы видели, что преобразование Лапласа обобщенной функции умеренного роста, исчезающей вне конуса, есть граничное значение функции, голоморфной в некоторой трубе. В настоящем разделе мы рассмотрим функцию или некое множество функций, голоморфных в этой трубе и обладающих определенным законом преобразования относительно SL 2, С) или, что сводится к тому же, относительно специальной группы Лоренца L Мы покажем, что эти функции с необходимостью голоморфны в более широкой области, в так называемой расширенной трубе, и удовлетворяют некоему закону преобразования относительно собственной комплексной группы Лоренца LA ). [c.93]

Для решения поставленной задачи используется метод интегрального, преобразования Лапласа. С этой целью была введена теорема интегрального пре-. образования от обобщенной функции. Пусть функция от оператора Лапласа имеет вид [c.285]

Это чрезвычайно жесткое условие сильно затрудняет использование интегральной теоремы Фурье в этой форме для практических приложений. Результаты для более широкого класса функций можно получить при использовании обобщенных интегралов Фурье [7] или преобразования Лапласа, причем последнее удобнее всего применять в целом ряде задач, связанных с теплопроводностью. [c.62]

Для полноты изложения рассмотрим также преобразование Лапласа, хотя в оптике его непосредственно не используют. Это преобразование определяется обобщенным экспоненциальным ядром и представляет собой распространение принципа преобразования Фурье на функции, для которых не существует фурье-образов. Если для функции f x) интеграл [c.30]

Как и ранее, применяя интегральное преобразование Лапласа, получаем решение для изображений в виде отношения обобщенных полиномов. От изображений к действительным функциям переходим посредством теоремы разложения. Окончательно получаем для первого слоя (покрытия) [c.297]

При решении конкретных задач использована теория интегральных преобразований Лапласа, Фурье, Ханкеля [38, 39, 101], теория обобщенных и специальных функций, а при численной реализации — современные ЭВМ. [c.9]

На основании использования формул Бернулли, преобразований Лапласа и данных теории автоматического регулирования между переходной функцией б t) и обобщенной вещественной частотной характеристикой Я ( ) существует соотношение (при > 0) [c.214]

Д) Здесь не рассматривается теория преобразования Лапласа от так называемых обобщенных функций [25а, 20а], примером которых является известная В-функция Дирака [c.552]

При анализе эволюционной задачи удобно использовать преобразование Лапласа или Фурье по времени, если, конечно, коэффициенты уравнений не являются функциями времени. В результате получается обыкновенное дифференциальное уравнение с правой частью, дополненное граничными условиями. Решение такого уравнения можно получить методом функции Грина, Однако применение этого метода нуждается в дополнительном исследовании. Дело в том, что вид функции Грина принципиально зависит от того, существует или нет нетривиальное решение однородного уравнения. Если его нет, то неоднородная задача всегда имеет определенное единственное решение. Если же однородная задача имеет нетривиальное решение, то это не так. Во втором случае вводится понятие обобщенной функции Грина [9]. Ее построение не приводит к однозначному решению, и даже в простейшем случае довольно громоздкое. В физических приложениях обычно ограничиваются построением классической (необобщенной) функции Грина. При этом всякий раз приходится решать вопрос о существовании собственного решения однородной задачи. [c.90]

Если Т — обобщенная функция в то может оказаться, что выражение наверняка являющееся обобщенной функцией в 25, будет также обобщенной функцией в . В этом случае мы можем определить преобразование Лапласа Т как обобщенную функцию из 1 , даваемую соотношением [c.79]

Теорема 2-5 показывает, что определение (2-62) преобразования Лапласа ассоциирует с каждым Г е 25 выпуклое множество значений т) (возможно пустое ), для которых преобразование Лапласа существует. Возьмем теперь данное множество Г значений т) и посмотрим, какие обобщенные функции Т могут иметь преобразования Лапласа, определенные для л Г. [c.80]

Обратно, любая функция, голоморфная в трубе Я — гГ и удовлетворяющая (2-65) с некоторым полиномом Рк для любого компактного подмножества К из Г, есть преобразование Лапласа однозначно определяемой обобщенной функции Т 3) р такой, что е Р Т е Х р для всех Т1 е Г. [c.81]

Уравнение (2-72) позволяет утверждать, что, при любом т] е Г, / (I — г т]) есть обобщенная функция по , в силу чего можно сразу написать обобщенную функцию Р р такую, что преобразование Лапласа от ее произведения на Р будет равно Р [c.84]

Теорема 2-9 характеризует свойства тех голоморфных функций, которые получаются с помощью преобразования Лапласа из обобщенных функций умеренного роста, но они не выражаются непосредственно в терминах Х Т) как голоморфной функции. Последняя теорема этого раздела дает более прямую формулировку. [c.91]

Поскольку обратное преобразование Лапласа от 1, как известно, существует в смысле обобщенных функций и является <5( ) - дельта-функцией Дирака, то [c.171]

Такие системы дифференциальных ураглений удобно представить в алгебраической форме, воспользовавшись свойствами преобразования Лапласа или Фурье, а затем записать опюшение левой и правой частей в виде передаточной функции. После факторизации этой функции и наложения условий физической реализуемости обобщенная передаточная функция [c.27]

Выражения (5.89) совпадают с аналогичными выражениями, полученными в работах [4, 12, 98] методом разложения в ряд по малому параметру решения исходного уравнения и преобразованием Лапласа. Преимуществом изложенной методики является то обстоятельство, что она без принципиальных трудностей переносится на системы со многими степенями свободы, нелинейные системы и позволяет определить требуемые вероятностные характеристики обобщенных координат. При этом охватывается случай исследования устойчивости динамических систем, содержащих перекрестные нелинейные связи. Отметим, что при Sj ( 2) = onst результаты совпадают с данными работы [108]. Исследование частных случаев (5.73) в детерминированной постановке задачи для комбинационного резонанса описано во многих работах [10, 19, 95 и др. ]. Приведенные выше результаты показывают, что, как и в детерминированном случае, спектр частот, при которых возникают параметрические колебания, состоит из ряда малых интервалов. Длины этих интервалов зависят от амплитуды возмущений и стягиваются к нулю, когда амплитуда стремится к нулю. При этом возрастание амплитуды колебаний системы происходит по показательному закону. Выражение (5.89) в этом случае определяет степень опасности комбинационного резонанса, когда спектральные плотности параметрических возмущений соответствуют, например, сейсмическим воздействиям в виде многоэкстремальных функций несущих частот, что особенно часто встречается на практике. [c.219]

Неизвестную функцию x ( . Fo) найдем, применяя к уравнениям (4-7-15)— (4-7-17) двойное интегральное преобразование преобразование Лапласа по времени и обобщенное синус-преобразованке Фурве по Тогда для изображения неизвестной функции [c.281]

Неизвестную функцию % I, Ро) найдем, применяя к (4-7-15) — (4-7-17) двойное интегральное преобразование преобразование Лапласа по времени и обобщенное синус-преобразование Фурье по Тогда для изображения неизвест ной функции [c.331]

Двумерная - цилиндрическая функция Грина может быть вычислена с помощью интегрирования (3.127) вдоль оси цилиндрической симметрии, её можно выбрать в качестве оси 2 системы координат. Другой способ вычисления двумерной функции Грина для исследуемого уравнения, основанный на прямом её вычислении по образу Лапласа с помощью обобщения метода Каньяра-де Хупа [70] был опубликован в [71]. Метод, известный теперь как метод Каньяра-де Хупа, был предложен в [72] для решения задачи, являющейся обобщением проблемы Лэмба на случай точечного источника, расположенного в одном из соприкасающихся упругих полупространств. Автор [72] разработал общий метод решения переходных проблем, основанный на том, что после преобразования Лапласа по времени и получения решения оставшейся граничной задачи, оно затем преобразуется в форму, представляющую решение переходной задачи без прямого вычисления интеграла Меллина. [c.174]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...