Независимые координаты твердого тела

Независимые координаты твердого тела. Прежде чем перейти к рассмотрению движения твердого тела, установим, сколько нужно независимых координат для задания его положения. Если это тело состоит из N частиц, то оно не может иметь более 3N степеней свободы, однако в действительности число этих степеней значительно меньше, так как здесь имеются связи, которые можно представить уравнениями вида [c.109]

НЕЗАВИСИМЫЕ КООРДИНАТЫ ТВЕРДОГО ТЕЛА [c.111]

Твердое тело при плоскопараллельном движении имеет три степени свободы два независимых поступательных перемещения вдоль координатных осей, выбираемых в основной неподвижной плоскости, параллельно которой происходит движение тела, и одно вращение вокруг оси, перпендикулярной неподвижной плоскости. Таким образом, положение твердого тела при плоскопараллельном движении определяется тремя параметрами (тремя обобщенными координатами). Из основных теорем динамики системы следует, что наиболее рационально выбрать за обобщенные координаты твердого тела координаты его центра масс 1е, "Пс и угол поворота ф, который образует неизменно связанная с движущимся телом прямая СА с осью (фиг. 188). [c.425]

Соотношения (8.17), (8.19) совместно с кинематическими формулами Эйлера (4.18) позволяют составить лагранжиан твердого тела. Если в качестве независимых координат свободного тела выбрать углы Эйлера и проекции вектора Го на оси системы 5 и [c.343]

Координаты твердого тела. Твердым телом в механике называют систему N материальных частиц, расстояние между которыми постоянны га — Гь = ab- Наличие связей уменьшает число степеней свободы от 3N до шести. Действительно, выберем три произвольные частицы, не лежаш,ие на одной прямой. Поскольку мы имеем три уравнения связи, то остаются шесть независимых координат. Положение других N — 3 точек определяется из условий связи. [c.198]

Как известно, в общем случае всякое свободно движущееся в пространстве абсолютно твердое тело (рис. 1.3), положение которого определяется тремя произвольно выбранными точками А, В и С, обладает шестью степенями свободы. В самом деле, положение твердого тела в пространстве фиксируется координатами трех его точек Л, В и С, т. е. девятью координатами (х , Уа, л), у в, Zg] и (Хс, Ус, с)- Между собой эти координаты связаны тремя условиями постоянства расстояний АВ, ВС, СА. Таким образом, число независимых параметров, определяющих положение твердого тела в пространстве, равно шести и тело обладает шестью степенями свободы. Движение такого тела может быть всегда представлено как вращение вокруг и перемещение вдоль трех произвольно выбранных взаимно перпендикулярных осей х, у и [c.22]

Системой с шестью степенями свободы является свободное твердое тело, так как его положение определяется шестью независимыми параметрами тремя координатами центра тяжести х , у , и тремя углами Эйлера <р, ф и б. [c.337]

Абсолютно твердым телом или неизменяемой системой называется, как указывалось, такая механическая система, в которой расстояние между любыми двумя точками неизменно. Абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы. В самом деле, возьмем три точки тела М , Afj, Ж3, не лежащие на одной прямой (рис. 78). Девять координат этих точек связаны тремя соотношениями, выражающими неизменяемость длин трех отрезков Ж3/И3, М М , поэтому положение трех точек определится шестью независимыми параметрами. Если добавить какую-нибудь четвертую точку Ж4, то положение ее определяется еще тремя числами х . г , которые, однако, связаны с координатами первых трех точек тремя условиями [c.92]

Пример 4.4.1. В твердом теле расстояния между любыми двумя точками сохраняются. Положение твердого тела, вращающегося в пространстве вокруг неподвижной точки, однозначно определяется (см. стр. 91) тремя углами Эйлера. Их можно принять за независимые координаты [c.312]

Положение свободного абсолютно твердого тела определяется положением трех его точек, не лежащих на одной прямой, а следовательно, девятью координатами этих точек относительно какой-либо системы координат. Эти девять координат не являются независимыми. При любом положении тела расстояния между точками тела остаются неизменными. Для трех точек, не лежащих на одной прямой, это условие требует трех уравнений, связывающих координаты точек, поэтому имеется только шесть независимых координат. Таким образом, свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. Положение тела можно задать и другими шестью величинами. [c.118]

Таким образом, действительно, с помощью трех независимых друг от друга углов Эйлера положение подвижной системы координат относительно неподвижной, а следовательно, и положение твердого тела, с которым подвижная система неизменно связана, определяется полностью. Отсюда мы видим, что твердое тело, совершающее сферическое движение, имеет три обобщенные координаты (ф, 6 и 9) и, следовательно, оно имеет три степени свободы. [c.377]

Обобщенные координаты механизма. Положение твердого тела, свободно движущегося в пространстве, полностью определяется шестью независимыми координатами, за которые можно принять три координаты начала подвижной системы координат, связанной с телом, и три угла Эйлера, определяющие расположение осей подвижной системы координат относительно неподвижной. Их принято называть обобщенными, так как они определяют положение всего твердого тела. Аналогично обобщенными координатами механизма называют независимые между собой координаты (линейные или угловые), определяющие положения всех звеньев механизма относительно стойки. [c.24]

Мы указываем, кроме того, число степеней свободы твердого тела, подчиненного различным рассматриваемым связям. Для свободного тела это число равно шести, так как положение свободного твердого тела зависит от трех координат д , у , какой-нибудь точки О тела и трех независимых углов (например, углов Эйлера), которые определяют положение прямоугольного триэдра Охуг, связанного с телом, относительно неподвижного триэдра О Хху г . [c.241]

Примеры. 5. Твердое тело может двигаться только поступательно вдоль оси X. Тогда я=1 и в качестве независимой координаты можно взять абсциссу х какой-либо точки тела А. При этом [c.45]

Твердое тело может только вращаться вокруг некоторой неподвижной оси а. Соответствующий угол поворота ср может быть взят в качестве независимой координаты. Тогда [c.45]

Свободное твердое тело. В качестве независимых координат возьмем три координаты х , у , какой-либо точки А тела и три угла Эйлера > , 8, (см. пример 2 на стр. 41—42). Тогда, согласно равенству (9), [c.45]

Примеры. 1. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси и. В качестве независимой координаты берем угол поворота а. Соответствующая обобщенная сила Q (см. пример 6 на стр. 45) [c.50]

Таким образом, для задания положения твердого тела в пространстве требуется шесть независимых обобщенных координат. Число это не зависит от количества частиц, составляющих данное тело, и остается тем же даже в предельном случае непрерывного сплошного тела. Конечно, помимо связей, обеспечивающих жесткость тела, могут иметься и дополнительные связи. Например, движение тела может быть ограничено некоторой поверхностью или тело может иметь одну неподвижную точку. В этих случаях добавочные связи будут уменьшать число степеней свободы, а следовательно, и число независимых координат. [c.110]

Из сказанного ясно, что, пользуясь девятью направляющими косинусами как обобщенными координатами, нельзя получить лагранжиан и составить с его помощью уравнения движения. Для этой цели мы должны использовать не сами эти косинусы, а некоторую систему трех независимых функций этих косинусов. Некоторые такие системы независимых переменных, из которых наиболее важной является система углов Эйлера, будут описаны нами позже. Однако применение направляющих косинусов для описания связи между двумя декартовыми системами координат имеет ряд собственных важных преимуществ. Так, например, многие теоремы о движении твердых тел можно получить с их помощью весьма изящным и общим способом, притом в форме, встречающейся в специальной теории относительности и в квантовой механике. Поэтому этот метод заслуживает более подробного изложения. [c.113]

Углы Эйлера. Мы уже говорили, что так как элементы Uij не являются независимыми, то они не могут быть приняты за обобщенные координаты. Поэтому для исследования движения твердого тела с помощью лагранжиана необходимо предварительно выбрать три независимых параметра, определяющих ориентацию твердого тела. Только после того, как такие обобщенные координаты будут выбраны, можно будет вычислять лагранжиан и составлять уравнения Лагранжа. Известен целый ряд таких параметров. Наиболее распространенными и удобными из них являются углы Эйлера. Поэтому мы дадим сейчас определение этих углов и покажем, как можно через них выразить элементы матрицы ортогонального преобразования, [c.124]

В качестве второго примера рассмотрим твердое тело, которое может состоять из любого числа частиц. Но, независимо от числа частиц, достаточно задать три координаты центра масс и три угла, определяющих поворот тела относительно системы неподвижных осей. Эти 6 параметров полностью определяют положение тела. Координаты любой из его частиц могут быть выражены через эти 6 параметров. [c.31]

Число п не может меняться для данной механической системы и является ее характерной константой. Меньшее количество параметров недостаточно для описания системы, большего же количества не требуется. О системе, для однозначного определения конфигурации которой необходимо и достаточно задать п параметров, говорят, что она обладает т степенями свободы сами п параметров q ,. .., называются обобщенными координатами системы. Число частиц, образующих механическую систему, а также их координаты несущественны при аналитическом методе исследования, важны лишь обобщенные координаты q , q ,. .., q и некоторые определенные функции от них. Твердое тело может состоять из бесконечного количества частиц, а с точки зрения механики — это система, имеющая не более чем 6 независимых координат. [c.32]

Движение точки на гладкой поверхности. Говорят, что механическая система имеет п. степеней свободы", если для указания положения ее разных частей необходимы и достаточны п независимых переменных. Эти переменные называются. обобщенными координатами системы. Так, например, положение материальной точки, движущейся по сферической поверхности, можно определить ее широтой и долготой положение двойного маятника на фиг. 64 характеризуется углами 6, (f, положение твердого тела, движущегося в двух измерениях, можно определить, как в 63, двумя координатами его центра масс и углом, на который он повернулся из некоторого определенного положения, и т. д. [c.271]

Обобщенные координаты и скорости. Предположим, что мы имеем динамическую систему, состоящую из материальных точек или абсолютно твердых тел, движущихся независимо друг от друга или связанных каким-либо образом, подверженных действию взаимных сил, а также действию заданных внешних" сил, т. е. сил, действующих на систему извне. Любая данная конфигурация системы i) может быть полностью охарактеризована значениями, принимаемыми определенным конечным числом п независимых количеств, называемых обобщенными координатами системы. Эти координаты можно выбрать бесконечным числом способов, но число их является вполне определенным и выражает число степеней свободы системы. Мы обозначим координаты через <7j, Подразумевается, что декартовы координаты х, у, г [c.181]

Однородный твердый шар, куб либо вообще любое тело, эллипсоид инерции которого в точке О представляет сферу. В этом случае А = В = С и движение системы координат может быть взято произвольно, независимо от движения тела. Функция Гиббса (для движения относительно точки О) имеет вид [c.223]

В общем случае движение твердого тела в соответствии с уравнением (98) может быть представлено суммой двух независимых движений поступательного pp(t) вместе с полюсом, при котором изменяются только координаты полюса Р, и вращательного АГ( относительно полюса, при котором изменяются только углы между осями (А = А ( )). [c.30]

СИ могут двигаться независимо от твердого тела, а величины Q, Я являются проекциями на подвижные оси мгновенной угло-ой скорости А движения подвижной системы координат, в то ремя как Ох, Оу, Ог — проекции на эти же оси вектора момента оличества движения твердого тела а. Если тело симметрично и а подвижную ось г выбрать ось симметрии твердого тела, ось х аправить по линии узлов, а ось у перпендикулярно к этим двум сям так, чтобы оси х, у, г представляли собой правую тройку, то равнен] я принимают весьма компактный вид, а оси называются [c.397]

Z. Таким образом, в общем случае, твердое тело обладает в пространстве шестью видами независимых возможных движений тремя вращениями вокруг осей х, у, г и тремя поступательными движениями вдоль тех же осей. Поэтому, если бы на движение первого звена кинематической пары, принятого за абсолютно твердое тело, не было наложено никаких условий связи, движение такого звена могло бы быть представлено состоящим из шести вышеуказанных движений относительно выбранной системы координат хуг, связанной со вторым звеном. Как уже сказано выше, вхождение звена в кинематическую пару с другим звеном налагает на относительные движения этих звеньев условия связи. Очевидно, что число этих условий связи может быть только целым и должно быт , меньше шести, так как уже в том случае, когда число условий связи равняется шести, звенья теряют относительную подвижность и кинематическая пара переходит в жесткое соедн[ еиие двух звеньев. Точно так же число условий связи не мо кет быть меньншм единицы, ибо в том случае, когда ч сло условий СВЯЗИ рзвно нулю, звенья не соприкасаются, и, слсловательио, кинематическая пара перестает существовать в таком случае мы имеем два тела, движущиеся в пространстве одно независимо от другого. [c.22]

Часто оказывается, что в процессе случайного движения компоненты импульса частиц, входящих в состав макроскопической системы, могут меняться независимо друг от друга и независимо от координат или импульсов дрзцих частиц. Так ведут себя не только импульсы практически свободных молекул классического газа, являющихся его независимыми подсистемами, но также импульсы в общем-то сильно связанных друг с дрзп ом атомов или молекул твердого тела или жидкости [c.158]

Аналитическое определение положения абсолютно твердого тела. Эйлеровы углы. Покажем, каким образом можно задать шесть независимых параметров, однозначно определяющих положение абсолютно твердого тела. Пусть есть неподвижная прямоугольная система координат (основная система отсчета) и пусть абсолютно твердое тело неизменно связано с некоторой другой, подвижной, прямоугольной системой Oxyz (рис. 79). Координаты начала О под- [c.92]

Число независимых перемещений, которые может иметь тело, называется числом степеней свободы тела. Свободное твердое тело, кроме трех поступательных перемещений, параллельных осям координат, может иметь еще три вращения вокруг тех же осей следовательно, оно имеет шесть независимых перемещений. Чтобы тело не двигалось поступательно параллельно какой-нибудь оси. необходимо, чтобы сумма проекций всех сил на эту ось равнялась нулю, а чтобы тело не вращалось около какой-ь ибудь оси. необходимо, чтобы сумма моментов всех сил относительно этой оси равнялась нулю. При равновесии тела действующие на него силы должны удовлетворять таким условиям, чтобы они не могли сообщить телу допускаемых связями движений поэтому число условий равновесия тела равно числу его степеней свободы. [c.255]

Однако для определения положения тела нет надобности определять положение каждой точки тела. Вместо этого в кинематике твердого тела устанавливают способы определения положения всего тела в целом относительно выбранной системы отсчета. Для этого по аналогии с понятием координат точки устанавливается понятие обобщенных координат тела. Независимые между собой параметры, однозначно определяющие для каждого момента времени положение тела (или точки) отноеительно выбранной системы отсчета, называются обобщенными координатами тела (или точки). [c.287]

Нормальные колебания. Рассмотрим сначала возбуждения, связанные с колебаниями решетки, которые встречаются во всех твердых телах. Точно оннсать состояния всех атомов очень трудно, так как нотенциальная энергия такой системы зависит от разно( ти координат каждой нары атомов. Однако для малых амплитуд колебаний около положений равновесия силы, действующие между атомами, можно ириближенно рассматривать как гармонические. Тогда координаты отдельных атомов можно заменить их линейными комбинациями (называемыми нормальными координатами), подобранными таким образом, чтобы выражения для кинетической и потенциальной энергий содержали только квадраты нормальных координат и их производных по времени. Поскольку в этом случае выражения для энергпп уже не будут содержать произведений координат разных атомов, такую систему можно рассматривать как совокупность независимых гармонических осцилляторов. Число таких осцилляторов для кристалла, содержащего N атомов, будет равно 37V, что соответствует трем степеням свободы каждого атома. [c.317]

Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. В качестве независимых координат можно взять три координаты Ха, Уа> 2д какой-.пибо точки А тела и три угла Эйлера ф, 0 и [c.41]

Положение твердого тела, движущегося в пространстве трех измерений, вполне определяется положением любых трех точек AB тела, не лежащих на одной и той же прямой, так как если Р есть какая-либо четвертая точка тела, то тетраэдр РАВС имеет неизменные размеры. Число координат (декартовых или иных), отнесенных к неподвижным осям, этих трех точек АБС тела равно девяти. Но эти координаты не являются независимыми друг от друга, так как они связаны соотнощениями, выражающими, что расстояния АВ, ВС и СА имеют заданные неизменные значения. Число независимых переменных или координат (в обобщенном смысле слова), которые достаточны и необходимы для определения положения тела, равно, следовательно, шести. Согласно с этим и говорят, что твердое тело, положение которого ничем не связано, имеет шесть степеней свободы". [c.7]

Чтобы максимально облегчить понимание проблем, которые возникают при конструировании разностных схем для уравнений механики сплошной среды, ограничимся рассмотрением законов сохранения массы, количества дви зкения и энергии в одномерном случае в виде (1.131) — (1.133). Система трех уравнений (1.131) — (1.133) содержит семь искомых функций (Р, V, Е, 17, 8, 82, д) от двух независимых аргументов (t — время, г — эйлерова координата). Динамические процессы в твердых телах протекают за времена настолько малые, что теплопроводность не успевает повлиять на термодинамические характеристики вещества. Поэтому в урав- [c.217]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...