ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Независимые координаты твердого тела из "Классическая механика " Эти уравнения уменьшают число степеней свободы до шести. [c.110] Тот факт, что для задания положения твердого тела нужно только шесть координат, можно было предвидеть, исходя из следующих соображений. Для того чтобы определить положение одной из точек тела, нужно задать три координаты. Но если положение какой-либо точки 1 будет фиксировано, то положение точки 2 можно будет определить только двумя координатами, так как ее движение ограничено поверхностью сферы с центром в точке 1. После того как положения точек 1 и 2 определены, точка 3 получает лишь одну степень свободы, так как она может только вращаться вокруг оси, соединяющей точки 1 и 2. Следовательно, в общей сложности нам достаточно иметь лишь шесть координат. [c.110] Таким образом, для задания положения твердого тела в пространстве требуется шесть независимых обобщенных координат. Число это не зависит от количества частиц, составляющих данное тело, и остается тем же даже в предельном случае непрерывного сплошного тела. Конечно, помимо связей, обеспечивающих жесткость тела, могут иметься и дополнительные связи. Например, движение тела может быть ограничено некоторой поверхностью или тело может иметь одну неподвижную точку. В этих случаях добавочные связи будут уменьшать число степеней свободы, а следовательно, и число независимых координат. [c.110] С телом), нужно указать три его координаты. Тогда остальные три координаты должны будут определять ориентацию осей x y z относительно системы, начало которой находится в точке О, а оси параллельны осям xyz. [c.111] Существует много способов задания ориентации одной декартовой системы относительно другой, имеющей с ней общее начало. Наиболее удачный из них состоит в задании направляющих косинусов осей х у г относительно осей xyz. Ось х. [c.111] Неподвижная система координат и система координат, связанная с твердым телом. [c.111] Аналогичные соотношения можно написать и для Gy, и Gz Таким образом, девять направляющих косинусов полностью определяют переход от одной координатной системы к другой. [c.112] Если подвижные оси x y z жестко связаны с телом, то девять направляющих косинусов будут функциями времени (так как в процессе движения тело изменяет свою ориентацию) В этом смысле величины а, Р, у можно рассматривать как координаты, описывающие мгновенную ориентацию тела. Однако ясно, что они не являются независимыми, так как их девять, а мы знаем, что для определения ориентации тела достаточно задать только три координаты. [c.112] Из сказанного ясно, что, пользуясь девятью направляющими косинусами как обобщенными координатами, нельзя получить лагранжиан и составить с его помощью уравнения движения. Для этой цели мы должны использовать не сами эти косинусы, а некоторую систему трех независимых функций этих косинусов. Некоторые такие системы независимых переменных, из которых наиболее важной является система углов Эйлера, будут описаны нами позже. Однако применение направляющих косинусов для описания связи между двумя декартовыми системами координат имеет ряд собственных важных преимуществ. Так, например, многие теоремы о движении твердых тел можно получить с их помощью весьма изящным и общим способом, притом в форме, встречающейся в специальной теории относительности и в квантовой механике. Поэтому этот метод заслуживает более подробного изложения. [c.113] Если фигурирующие здесь коэффициенты ajj заменить коэффициентами а, р, Y. то шесть уравнений (4.15) перейдут в уравнения (4.9). [c.115] МЫ лишь искали его компоненты в двух различных системах координат. Поэтому вектор г в левой части формулы (4.18) мы заключили в скобки, подчеркивая тем самым, что в- обеих частях этого равенства фигурирует один и тот же вектор, изменяются только его составляющие. Мы видели, что в двумерном случае это преобразование является обычным вращением, а матрица А совпадает с оператором поворота в рассматриваемой плоскости. [c.117] Вернуться к основной статье