Кривая на поверхности - Кривизна

Кривизна кривой на поверхности. Теорема Менье. Пусть некоторая линия на поверхности г = г (и, v), определяемая уравнениями и = u s) и v = v(s), тогда [c.218]

Геодезической кривизной в точке Л4 линии Г на поверхности называется кривизна в той же точке кривой Г, [c.296]

Геодезической кривизной Kg в точке М. линии Г на поверхности называется кривизна в той же точке кривой Г, являющейся проекцией Г на касательную плоскость поверхности в точке М. Кривизна К линии Г, Kg и нормальная кривизна К кривой Г (кривизна нормального сечения плоскостью, проходящей через т кривой Г и через п к поверхности в точке М) связаны соотношениями (фиг. 75) [c.296]

Два семейства кривых, касательные к которым в каждой точке поверхности сопряжены, образуют сопряженную сеть кривых на поверхности. Кривые на поверхности, касательные к которым везде совпадают с главными направлениями, называются линиями кривизны. [c.19]

Формула (1.16) определяет нормальную кривизну любой кривой на поверхности, проходящей через рассматриваемую точку. Найдем направления, для которых нормальная кривизна принимает экстремальные значения. Для этого, очевидно, нужно найти экстремум функции [c.19]

Из (5.53) следует, что называемая геодезической кривизной величина р< характеризует отклонение главной нормали кривой на поверхности от нормали к поверхности. Точки кривой, в которых р( = О, называют геодезическими, а кривые на поверхности, точки которых являются геодезическими — геодезическими линиями. Как следует из (5.53), в геодезических точках кривой [c.259]

Из равенств (4.7) можно видеть, что величина р , называемая геодезической кривизной, характеризует отклонение главной нормали кривой на поверхности от нормали к поверхности. Кривую [c.29]

Кривые на поверхности, имеющие в каждой точке направление главных сечений, называются линиями кривизны. [c.207]

Таким образом, как следует из (2.13), кривизна кривой на поверхности зависит от отношения с(о( с1о<- , т.е. от направления кривой. В частности, из (2.13) можно П0J чить кривизну нормального сечения. этом случае ГП и либо совпадают (= О ), либо направлены в противоположные стороны (Ф = зг ). Так как плоская кривая уклоняется от своей касательной всегда в сторону вектора ) и за положительную [c.20]

Пусть 07 — касательная к дуге кривой на поверхности катящегося тела, вычерчиваемой точкой соприкосновения с неподвижной поверхностью и определяемой геометрическими связями, наложенными на тело. Обозначим через р, р радиусы кривизны нормальных сечений плоскостью, проходящей через эти величины будем считать положительными, если центры кривизн нормальных сечений лежат по разные стороны от их общей касательной в точке О. Положим i/s = 1/р + 1/р. Тогда величину s можно назвать радиусом относительной кривизны. [c.428]

В каждом нормальном сечении можно провести направление t - направление единичной касательной, т.е. касательной к кривой на поверхности, проходящей через точку Р, а также определить нормальную кривизну поверхности - кривизну kj, (кривизну кривой нормального сечения поверхности в точке Р). Нормальные кривизны поверхности изменяются при вращении плоского сечения вокруг нормали Наибольшее и наименьшее значение kj измеряются во взаимно-ортогональных сечениях и являются [c.110]

Параболические кривые имеются только на тех поверхностях Д и в пределах участков которых полная кривизна поверхности принимает как положительные, так и отрицательные значения. Примером такой поверхности Д и) служит тор (см. рис. 1.35). Все локальные участки его наружной поверхности 1 являются эллиптическими локальными участками, а внутренней поверхности 2 - гиперболическими локальными участками. Локальные участки поверхности тора в дифференциальной окрестности точек двух окружностей 3, которыми тор Д и) касается плоскости - это параболические локальные участки, а окружности -параболические кривые на поверхности тора. [c.256]

Представление о кривизне поверхности в какой-либо ее точке можно получить путем исследования кривизны в этих точках ряда проходящих через нее намеченных на поверхности кривых линий. Обычно рассматривают кривизну нормальных сечений поверхности. [c.409]

Если через нормаль провести плоскость, то, пересекаясь с поверхностью, она дает кривую I. Пусть У —радиус кривизны этой кривой в точке М. Если поворачивать плоскость вокруг нормали и каждый раз определять кривизну X-—IIR кривой пересечения, то окажется, что существуют такие две взаимно перпендикулярные кривые 1 п 2, кривизны которых имеют экстремальные значения по отношению ко всем другим. Направления, характеризуемые единичными векторами pi и р2. называются главными в данной точке М, соответствующие кривизны — г л а в н ы м и кривизнами поверхности. Если на поверхности провести линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с главными направлениями, то получим так называемые линии главных кривизн. Эти линии образуют на поверхности ортогональную [c.217]

Лежащие на поверхности кривые, вдоль которых кривизны принимают главные значения, называются линиями главных кривизн или просто линиями кривизн. [c.198]

Плоскости Ь п N являются ортогональными плоскостями, и соответственно главные направления в точке М ортогональны. На поверхности 5 (рис. 9.2) проведем сетку семейств кривых 1 и аг таких, что эти кривые в каждой точке имеют касательные, совпадающие с главными направлениями. Такие кривые называют линиями главной кривизны поверхности. Семейства кривых 1 и аг, являющиеся линиями главных кривизн, примем за координатные линии. Эти криволинейные координатные линии являются ортогональными. [c.232]

Дифференциальное уравнение, выражающее, что вариация интеграла 5 равна нулю, как известно, доказывает, что соприкасающаяся плоскость кривой в каждой точке нормальна к поверхности. Но если допустить, что оба конца рассматриваемой дуги находятся бесконечно близко друг к другу, то кратчайшей из всех дуг, которые могут соединить эти точки на поверхности, —дугой, наименее отличающейся от хорды,— будет, очевидно, та дуга, кривизна которой является наименьшей, т. е. радиус кривизны которой является наибольшим. Но дуги, соединяющие две бесконечно близкие точки поверхности, можно рассматривать как имеющие одну и ту же каса- [c.402]

Проверить, что в случае материальной точки, удерживаемой на поверхности без трения, принцип прямейшего пути (п. 5) определяет траекторию как такую кривую, которая во всякой своей точке имеет наименьшую кривизну по сравнению со всеми другими кривыми, проведенными на поверхности и выходящими из этой точки в том же самом направлении (определяемом состоянием движения). [c.454]

Линии кривизны. Линия на поверхности называется линией кривизны, если вдоль этой линии нормали поверхности касаются некоторой пространственной или плоской кривой (иначе нормали образуют развёртывающуюся поверхность). [c.220]

Сопряженные кривые на колесе и шестерне получаются при профилировании их одним винтовым производящим колесом, т. е. при одном и том же значении 6 , определяющем параметры этого колеса. Приравнивая значения tg б для колеса и шестерни, можно получить прямую зависимость между радиусами кривизны взаимо-огибаемых поверхностей Ri и R - [c.33]

Радиус кривизны пластинки р определяется опытным путем по следующей методике. Кривая, по которой изогнулась пластинка, копируется на бумагу. На полученной кривой определяется участок, в котором производилось измерение твердости осадка. Поворотом прямолинейного зеркала, приложенного перпендикулярно к поверхности бумаги, отыскивается такое его положение, при котором происходит совмещение истинной кривой (на бумаге) с ее изображением в зеркале. Это положение зеркала фиксируется проведением прямой до пересечения с дугой. Затем с установкой зеркала в другие точки выбранного отрезка кривой операция повторяется. В результате получается пересечение проведенных прямых между собой. Расстояние от средней точки пересечения до кривой и будет радиус кривизны этого участка. [c.91]

Типичный вид интегральных кривых, отражающих численное решение задачи (1.174), (1.175), приводится на рис. 1.73. Форма интегральных кривых весьма сильно отличается для задач типа 1 (положительные перегрузки) и типа 2 (отрицательные перегрузки). Ясно, что, за исключением начальных участков, интегральные линии имеют такую форму, которая физически не реализуема как форма поверхности раздела фаз. В [24] приводится анализ устойчивости интегральных кривых, на основе которого выделены максимальные участки устойчивости этих кривых, приводимые на рис. 1.74 и далее на рис. 1.77, где в качестве параметра выступает безразмерная кривизна поверхности в точке симметрии. [c.82]

Крепление штампов 6 — 360 Крепления прижимные в пазах стола 9 — 213 Крестовины карданов — Марки сталей II — 82 Кривая антифрикционная — см. Трактрисса Кривая логарифмическая 1 (1-я)—195 Кривая на поверхности — Кривизна 1 (1-я) — [c.123]

Величины Ст(, Tt, pt мы связывали с кривой на поверхности. Из выражений (4.6) следует, что первые две величины зависят по сзтцеству не от конкретного вида кривой, а от ее направления в данной точке, определяемого величинами t, иК Поэтому правильнее говорить о нормальной кривизне и геодезическом кручении Tt поверхности в данном направлении. [c.30]

Кривую на поверхности, касательная к которой совпадает с главным направлением кривизны поверхности, назьтают линией кривизны. Если линии кривизны координатные, то [c.35]

Кривая на поверхности, направление которой в каждой ее точке совпадает с одним из главных направлений, называется линией кривизны поверхности. Через каждую неомбилическую точку поверхности проходят две линии кривизны, пересекающиеся под прямым углом. Выполнение этого условия можно обеспечить и в омбилических точках, выбрав в каждой такой точке два ортогональных направления с сохранением гладкости линий кривизны. Знаки собственных значений задачи (1.1.11) зависят от направления нормали к поверхности они отрицательны, если нормаль направлена в сторону ее выпуклости, и положительны — в противном случае. Поэтому в системе координат, связанной с линиями кривизны поверхности, радиусы кривизны последних определяются из равенства [c.20]

Единичные векторы е и m параллельны этим приращениям и входят в них следующим образом dr edsn dk — —ш ф. Вектор Ь — геодезическая кривизна кривой на поверхности тела Ьк — геодезическая кривизна кривой на единичной сфере Ь и Ък исследуют соответственно Dr я Dr. При применении этих соотнощений особенно важны два следующих частных случая. Для первого случая, если движемся вдоль интерференционной полосы, которая возникает на поверхности предмета или на единичной сфере, имеем [c.165]

Преобразуем первое уравнение (3). Из дифференциальной геометрии известно, что (11уП1 = + Х2, где Х1, Х2 — кривизна взаимно ортогональных кривых на поверхности, ортогональной полю П1, причем выбор этих кривых произволен. (В плоском и осесимметричном течении эта поверхность существует, так как существует семейство ортогональных траекторий к линиям тока.) Итак, [c.16]

Как отмечалось ранее, к развертываемым относятся все трапные поверхности, а также кривые линейчатые поверхности нулевой кривизны-цилиндрические, конические и торсовые. На развертках этих поверхностей сохраняются длины отрезков линий, углы между пересекающимися линиями, величины площадей замкнутых участков поверхности. Такое преобразование пространственной фигуры в плоскую называют изометрическим отображением. [c.111]

Если р — радиус кривизны некоторой кривой на поверхности в точке М, а — радиус кривизны в точке М кривой, полу-челной в сечении поверхности нормальной [c.207]

Если теперь поворачивать рассматриваемую плоскость вокруг луча, то кривая С, а следовательно, и радиус кривизны будут изменяться непрерывным образо.м. При повороте плоскости на 180 величина радиуса кривизны пройдет через свои максимальное и минимальное значения. С помощью простых геометрических рассуждений можпо показать ), что две плоскости, в которых лежат максимальный и минимальный радиусы кривизны, взаимно перпендикулярны. Эти плоскости называются главными плоскостя.чи ) для точки Р, а соответствующие радиусы — главными радиусами кривизны. Кривые на поверхности 5, касающиеся во всех своих точках главных плоскостей, образуют два взаимно ортогональных семейства кривых, называемых линия.чи кривизны. [c.168]

На изображении червячного колеса до. щие размеры диаметр вершин зубьев i daM2 ширина венца Ь , данные, определяй мер размеры фаски или радиус закруглен ев, радиус выемки поверхности вершин стояние от базового торца до средней Tof необходимости, до центра выемки поверхн днус кривизны переходной кривой зуба притупления зуба или размеры фаски и верхпостей зубьев. [c.7]

Через каждую точку пространства проходят три такие поверхности, соответствующие трем значениям д , до, д величины 1 (п. 286). В частности, через точку М, взятую на эллипсоиде (2), проходит сам рассматриваемый эллипсоид, соответствующий значению X = 0 д = 0), и две другие софокусные поверхности, соответствующие значениям д и 53 величины X. Мы примем эти два параметра д и д., за координаты точки М на поверхности. Согласно теореме Дюпена, кривые д = onst, и = onst, являются линиями кривизны эллипсоида. Для величины ds2 в эллиптических координатах мы нашли ранее (п. 286) выражение вида [c.489]

Вместо стали с целью облегчения веса шаблонов часто применяют алюминиевые легкие сплавы. С помощью контурных птабло-нов проверяют отдельные важные сечения изделий или часть этих сечений. У штампованных изделий контурными шаблонами удобно проверять глубину вытяжки, кривизну гибки, расположение отверстий на кривых поверхностях, контур декоративных рельефов на поверхности изделия, расстояние между параллельными стенками или повер.хностямп со сложным контуром, углы гибки и т. п. [c.433]

Можно показать, что R, в свою очередь, является также функцией вида = r(x)j, где г(х) — радиус кривизны реальной поверхности автоэмиттера в данной точке х, а поверхность эмиттера вдоль строки растра в РЭМ ограничена кривой у= F(x). Для доказательства этого воспользуемся формулой, связывающей ток вторичных электронов А с углом падения а первичного электронного пучка на поверхность образца в РЭМ [c.170]

Геодезические кривизны кривых / ( , = onst) и k ( = onst) на поверхностях г, k (в правой системе координат) выражаются формулами [c.278]

На изображении червячного колеса должны быть указаны габаритные размеры размеры, входящие в размерные цепи диаметр вершин зубьев dg2, наибольший диаметр fgrnal ширина венца Ьг данные, определяющие контур венца колеса, например, размеры фаски f или радиус закругления торцовых кромок зубьев, радиус выемки поверхности вершин зубьев колеса Я расстояние от базового торца до средней торцовой плоскости колеса и, при необходимости, до центра выемки поверхности вершин зубьев колеса радиус кривизны переходной кривой зуба pf2 радиус кривизны линии притупления зуба р/ 2 или размеры фаски шероховатость боковых поверхностей зуба (рис. 5.19). [c.144]

При повороте плоской кривой (меридиана) вокруг оси z, лежащей в этой плоскости (рис. 9.5.1), образуется срединная поверхность оболочки вращения. Точка М мервдиана при повороте описывает окружность (параллель). Положение точки на поверхности может быть задано угловыми координатами углом а между осью вращения и нормалью к меридиану углом (3, образуемым плоскостью меридиана с начальной плоскостью отсчета. На рис. 9.5.1 показаны угловые координаты точки поверхности М. На рис. 9.5.2 обозначены радиусы кривизн поверхности радиус R кривизны меридиана окружной радиус кривизны, который равен расстоянию по нормали от точки на поверхности до оси вращения. Длина дуги элемента вдоль меридиана dsi = R da., а вдоль параллели [c.144]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...