Инвариант системы уравнений

Слово универсальный подчеркивает, что интеграл 1 будет инвариантом для любой системы уравнений Гамильтона, так как в подынтегральное выражение не входит функция Гамильтона Я. [c.660]

Такое предположение является естественным, поскольку движение системы должно определяться однозначно по начальным данным qi, pf (/==1,. .., я). Пусть, кроме того, дано, что интеграл Пуанкаре — Картана (12) является интегральным инвариантом по отношению к прямым путям, определяемым системой уравнений (13), т. е. что для любой трубки этих путей интеграл Пуанкаре — Картана, вычисленный вдоль охватывающего трубку замкнутого контура, не изменяет своей величины при произвольном смещении точек контура вдоль образующих трубки. Тогда мы докажем, что между функцией Н и функциями Qi, Pi имеют место зависимости [c.117]

Интегралы и инварианты системы обыкновенных дифференциальных УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ ИМИ УРАВНЕНИЕ [c.270]

Иногда, как уже указывалось в случае канонических систем, сама функция f x t) в левой части уравнения (37) называется интегралом. Эта функция называется также инвариантом системы (36), так как для всякого решения системы она сохраняет постоянное значение, как бы ни изменялось время L [c.271]

Таким образом, для того чтобы какая-нибудь функция f x t) была интегралом или инвариантом системы (36), необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла линейному уравнению с частными производными (38) относительно п- - независимых переменных х л t. [c.272]

Инвариантное уравнение 169 Инвариантные соотношения 278 Инварианты канонической системы уравнений 273 [c.546]

Как мы увидим, для голономной системы число п можно взять равным числу степеней свободы к. Для неголономной системы наименьшее значение п равно к I, где I есть инвариант системы, определяемый уравнениями связи. [c.59]

Первая, или прямая, теорема подобия устанавливает необходимые условия подобия и формулируется следующим образом если различные явления одинаковой или разной физической природы подобны, т. е. все величины, входящие в уравнения, которые описывают эти явления, могут быть преобразованы перемножением на некоторую постоянную величину (множитель преобразования), то величины, соответствующие исходным (моделирующим) и искомым (моделируемым) явлениям, удовлетворяют тождественным замкнутым системам уравнений и условиям однозначности, что возможно при равенстве всех индикаторов подобия единице либо при одинаковой величине инвариантов подобия уравнений всех сравниваемых явлений. [c.133]

Из рассмотрения суш ества обратной теоремы подобия следует, что для подобия различных явлений, определяемых одинаковыми замкнутыми системами уравнений, достаточно в определенной совокупности параметрических точек явлений реализовать такое подобное преобразование искомых величин, чтобы индикаторы подобия, входящие в состав систем уравнений, были равны единице или инварианты подобия, входящие в состав относительной формы указанных систем, были равны между собой. [c.138]

Пусть указанные системы уравнений будут тождественными, т. е. при наличии соотношений подобия в параметрической точке индикаторы подобия, входящие в систему (4.27) — (4.31), в этой точке равны единице или инварианты подобия, входящие в систему [c.139]

Выше обращалось внимание на то, что инварианты подобия часто называют критериями или числами. Последние 10—15 лет при использовании этих терминов в каждый из них вкладывается различный смысл. Так, например, при использовании термина инвариант прежде всего имеется в виду некоторая величина, которая не изменяется, т. е. остается инвариантной, при любых преобразованиях (в нашем случае — подобных) системы уравнений. Термин критерий подобия наиболее целесообразно использовать в тех случаях, когда все величины, входящие в состав комплекса, заданы по условию задачи (в нашей терминологии — параметрические величины). Критерии подобия остаются неизменными при исследовании влияния на процесс других комплексных величин или симплексов. Те же комплексы, в функции от которых изучается исследуемая величина, лучше называть числами. [c.144]

Система определяющих инвариантов на основании анализа системы уравнений (16-1) — (16-9) состоит из следующих безразмерных сим плексов и комплексов (для стационарных процессов) и безразмерных функций [c.415]

Так как физические величины, входящие в полученные выше инварианты подобия, являются функциями температуры, то в соответствии с [99, 128] к системе уравнений (1.2)-(1.5) необходимо присоединить уравнения вида (2.1) и выполнить масштабные преобразования. Не останавливаясь подробно на этих исследованиях, отметим, что общий вид решения системы дифференциальных уравнений термоупругости анизотропного тела при нагружении его постоянными силами в случае тепловых граничных условий третьего рода без источников тепла и при отсутствии массовых сил может быть при рассмотрении одномерной задачи представлен как [c.25]

И инварианты (14.5), определяемые из системы уравнений (14.1ба), (14.166), (14.25), (14.17) [c.209]

Тогда система уравнений (71) будет иметь интегральный инвариант порядка р, представимый интегралом (70). [c.38]

Существенные результаты для случая га = 3, но при ограничительном предположении, что система дифференциальных уравнений есть система уравнений классической динамики (каноническая система) и, следовательно, обладает интегральным инвариантом, получил Ж. Адамар Он дал классификацию возможных в этом случае траекторий, которые совпадают с геодезическими линиями поверхности отрицательной кривизны. Эти геодезические линии, как оказалось, могут быть трех категорий. Первую составляют замкнутые линии, иначе говоря, периодические орбиты, и геодезические, асимптотические к замкнутым геодезическим. Вторую составляют линии бесконечного удаления или, если угодно, отбрасывания на бесконечность. Они расположены на бесконечных полах поверхности. Третью и последнюю категорию образуют геодезические, которые остаются целиком в конечной области, и таких линий заведомо существует бесконечно много. [c.136]

ТО МОЖНО найти 1г(г=р- -д п) простым перемножением подынтегральных выражений. Наивысший порядок интегрального инварианта равен порядку системы уравнений. [c.60]

Функции Я, (д) (г = 2,. .., п) представляют собой п — 1 функционально независимых инвариантов рассматриваемой группы, которые всегда существуют. Это следует из известной теоремы из теории обыкновенных дифференциальных уравнений о том, что система уравнений п-го порядка в окрестности любой неособой точки имеет ровно п — 1 локальных первых интегралов. Функция Н д) определяет инвариантное семейство гиперповерхностей. [c.226]

И пусть особенность такова, что в пятимерном пространстве девиатора напряжений имеют место пять независимых функций Д = = 0. Пусть решение этой алгебраической системы уравнений будет равенство нулю всех пяти инвариантов (3.7). В силу независимости a j и e Pj следует, что Xij = О, т. е. согласно (3.6) имеют место соотношения теории малых упруго-пластических деформаций. При подобном обосновании соотношений теории малых упруго-пластических деформаций нет необходимости требовать пропорциональности нагружения, несжимаемости материала, степенной зависимости и т. д. [c.145]

Соотношения (1.7) и (1.9) содержат дифференциалы искомых функций только в одном направлении—вдоль линии тока—и имеют, следовательно, характеристическую форму, так что линии тока являются сдвоенными характеристиками исходной системы уравнений. Выражения в левых частях интегралов (1.8) (или (1.11)) и (1.10) представляют собой аналогично функции тока т] инварианты, сохраняющие свои значения вдоль линий тока. [c.246]

Геометрическое подобие достигается устройством модели, по конфигурации копирующей образец, причем подобные геометрические системы описываются тождественными безразмерными уравнениями или системами уравнений. При этом сходственные длины подобных фигур выражают через величины сходственных их отрезков. Эти отношения, остающиеся неизменными в сходственных категориях, называют инвариантами подобия. Возможны масштабные преобразования, в которых искомая величина выражается и через инвариант подобия и через выбранную единицу измерения основной величины. [c.40]

Интегральные инварианты и уравнения движения консервативных и обобщенно консервативных систем. В связи с тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем имеет место интеграл энергии (обобщенной энергии), гамильтониан, совпадающий с энергией (обобщенной гнергией) системы, не изме- [c.326]

Т е о р е. м а I. Если известен интегральный инвариант первого порядка системы уравнений (11.379), то можно найти первый интеграл системы уравнений (II. 379) и (И. 381Ь). [c.391]

Обратно, легко убедиться, что всякая функция / (л 11), удовлетворяющая уравнению (38), когда в ней х vi t рассматриваются как независимые переменные, будет интегралом или инвариантом системы (36). Действител(,но, если уравнение (38) удовлетворяется тождественно, оно, в частности, остается справедливым и тогда, когда вместо х подставляются п функций, удовлетворяющих уравнениям (36) а так как при этом левая часть уравнения (38) сводится к dfjdt, то функция / будет такой, что когда д в ней будут рассматриваться как решения уравнений (36), то будет dfjdt=0, т. е. [c.272]

Обратная теорема подобия устанавливает достаточные условия подобия заданного множества явлений и может быть определена следующим образом если искомые величины различных явлеиий удовлетворяют тождественным замкнутым системам уравнений, что возможно при равенстве индикаторов подобия единице либо при одинаковых значениях инвариантов подобия, то рассматриваемые явления будут подобными, а теорема известна как третья теорема теории подобия. [c.137]

Свойство безразмерности инвариантов подобия дает возможность в ряде случаев отыскать инварианты подобия данного явления, не выписывая замкнутой системы уравнений, определяющей явление. [c.153]

Подобие явлений можно определить как пропорциональность друг другу всех величин, характеризующих явление, причем эта пропорциональность выражается либо через константы подобия, либо через инварианты иодобчя. В случаях применения инвариантов подобия подобные явления выражаются в относительных единицах, при этом за единицу измерения какой-либо величины выбирают фиксированное значение ее в какой-либо точке системы, наиример /о, Хо, /о и т. д. Инвариант подобия различен для разных точек системы (поскольку он изображает одну из величин системы, имеющую различное численное значение в разных точках этой системы по отношению к принятому значению), но не меняется при переходе от одного явления к другому, ему подобному. Таким образом, инвариант подобия сохраняет одно и то же значение в сходных точках всей груииы подобных явлений. В данной работе принят метод инвариантов подобия, позволяющий выявить не только комплексы (критерии подобия), но и симплексы величин. Преобразование системы дифференциальных уравнений в систему зависимостей между критериями. и симплексами производится на основании второй теории подобия, согласно которой система уравнений, буквенно одинаковая для группы подобных явлений, может быть преобразована в систему уравнений, численно одинаковых для всей группы подобных явлений, выражающих связь критериев и симплексов переменных величин и постоянных, входящих в условия однозначности. Эта теорема указывает, что результаты опыта необходимо обрабатывать в критериях подобия и зависимости между ними представлять в виде критериальных уравнений. Дифференциальные уравнения, преобразованные в критериальные уравнения, содержат в себе все комплексы и 610 [c.610]

Поскольку аналитическое решение приведенной системы весьма затруднительно, то приходится прибегать к ее анализу с позиций теории подобия и находить за-виоимости между безразмерными инвариантами на основании результатов экспериментов. Обработка системы уравнений с помощью аппарата теории подобия позволяет представить безразмерные поля всех переменных величин как функцию определяющих критериев, входящих в условия однозначности. [c.414]

Пять инвариантов столкновений связаны с механическими инвариантами системы. Следовательно, соответствуюпще макроскопические уравнения баланса представляют собой не что иное, как пять гидродинамических уравнений сохранения для плотности массы, 1Ш0ТН0СТИ импульса (векторное уравнение) и плотности внзггренней энергии. Дадим теперь подробный вывод этих уравне ний из кинетической теории. [c.66]

Квадратичную скобку обращают в нуль лишь сумматорные инварианты, входящих Б решение (9.32). Поэтому решение (9,32) является вбщим решением однородной системы уравнений (9.31). [c.168]

В результате получается система уравнений для неизвестных кп] можно решать эти уравнения последовательно, учитывая, что они имеют вид (IV.6.26). Согласно следствию, сформулированному в конце разд. 6 гл. IV, кп находятся на каждом шаге в том случае, если свободный член удовлетворяет условиям (IV. 6.27) (ортогональность к пяти инвариантам столкновений), причем кп определяются с точностью до линейной комбинации пяти инвариантов столкновений содержапдей пять параметров (которые могут зависеть от времени и координат). На п-ш шаге свободный член [c.264]

Теорема Э. Нёгер. Если действие по Гамильтону S (2) является инвариантом группы Ли (3) с операторами (5), то система уравнений Лагранжа (1) допускает R интегралов движения [c.73]

Доказательство. Пусть / > О — плотность интегрального инварианта системы i = v z). Критерий Лиувилля div fv) = О с помощью замены / = exp(-w) представляется в виде уравнения W = divi>. Его правая часть — однородная форма степени m — 1 (m — степень однородности векторного поля v). Так как G то [c.31]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...