Гиперповерхность замкнутая

При п —1 замкнутая гиперповерхность (9) вырождается в совокупность двух точек на оси q, расположенных по разные стороны от начала О, а область G — в прямоугольник, расположенный внутри s-окрестности точки О (рис. 43). [c.196]

X], Х2,..., Хп — фазовые координаты, характеризующие состояние объекта. Вектор-функ-ция jf(p) = (j i(p), л 2(р). .. Хп(р), определенная на отрезке (2.40), должна принадлежать замкнутой области X (A g X), граница которой — гладкая или кусочно-гладкая гиперповерхность. [c.71]

Назовем Г-пространством континуум 2М/ измерений, координатами которого являются М/ обобщенных координат и М/ обобщенных импульсов всех частиц, где N — число частиц системы, а / — число степеней свободы каждой частицы. Точка в Г-пространстве изображает состояние всей системы, а не одной молекулы, как это было в случае /г-пространства. С течением времени состояние системы эволюционирует, и изображающая точка перемещается по фазовой траектории, которая в случае замкнутой системы лежит на гиперповерхности постоянной энергии [c.299]

Доказательство этой теоремы, основанное на свойстве несжимаемости газа изображающих точек — теореме Лиувилля, — почти очевидно. Будем рассматривать такие макроскопические системы, для которых гиперповерхности постоянной энергии в Г-пространстве замкнуты и фазовый объем состояний с энергией, не превышающей Е, конечен и равен Г( ). Для реальных физических систем это условие практически всегда выполняется. Выделим внутри Г( ) малый элемент фазового объема у <кГ( ) и допустим, что за единицу времени из этого объема вытекают изображающие точки, причем некая конечная доля этих точек Uy никогда не возвращается в объем у. При этом мы немедленно приходим к противоречию, так как за достаточно большое время t фазовый объем, занимаемый этими точками Uyt, станет больше Г( ) —у, что невозможно вследствие несжимаемости газа изображающих точек. Следовательно, все фазовые траектории, исходящие в начальный момент из объема у (за исключением, может быть, части траекторий, начальные точки которых образуют множество меры нуль), с течением времени должны снова и снова возвращаться в объем у, и макропроцессы так же, как и микропроцессы, казалось бы, должны быть строго обратимыми. [c.544]

К оценке роли взаимодействия между частицами в эволюции состояния можно подойти и с несколько иной точки зрения. Важнейшей характеристикой равновесного состояния замкнутой системы является равновероятность любых равновеликих площадей на гиперповерхности постоянной энергии. Именно этим свойством мы руководствовались при выводе микроскопического распределения Гиббса в 61. Для системы, погруженной в термостат, аналогичное утверждение заключается в равновероятности любых равновеликих фазовых объемов, заключенных в тонком энергетическом слое, толщина которого определяется флуктуацией энергии. Справедливость всех равновесных распределений статистической физики (канонического, большого канонического и т. д.) основана на этом фундаментальном свойстве. Между тем в произвольном неравновесном состоянии такая равновероятность равновеликих фазовых объемов отсутствует. Например, в рассмотрен- [c.547]

При симметричной деформации цилиндрической оболочки скорость изменения кривизны в окружном направлении Хз= 0. Удовлетворяющие этому условию участки гиперповерхности текучести (4.30) представляют собой в пространстве щ, щ, т ) некоторую замкнутую поверхность, образуемую плоскостями [c.171]

Поверхность текучести для оболочек и пластинок в общем случае является некоторой невогнутой замкнутой гиперповерхностью в пространстве 0 . Если такая гиперповерхность является нелинейной, ее следует приемлемым образом аппроксимировать кусочно линейной гиперповерхностью с числом угловых точек, равным 5 (под угловой точкой подразумевается точка, образованная пересечением к плоскостей в А -мерном пространстве О у). Для используемых гиперповерхностей текучести принимается ассоциированный закон течения. Для кусочно-линейной гиперповерхности текучести диссипативную функцию В = можно заменить системой неравенств (8.8), поскольку имеет место ассоциированный закон течения запишем эту систему 5 неравенств [c.326]

Тогда во всей области О не существует ни одной замкнутой кривой, состоящей из траекторий поля У, пересекающей гиперповерхность Г. [c.117]

Гиперповерхность ] хх, . х )г=с является замкнутой, если вся она [c.557]

Замкнутая гиперповерхность называется двусторонней, если она разбивает на две непересекающиеся части так, что, ваяв две точки, одна из которых лежит в одной части, а другая в другой, можно обнаружить, что любая дуга, соединяющая эти точки, обязательно пересекает гиперповерхность. [c.557]

Итак, для непрерывно дифференцируемых функций и. /. уз из выполнения (3.6) для любого объема u) t) С следует выполнение (3) для любой замкнутой гиперповерхности Г С Л - Ясно, что, и обратно, специализируя Г как цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси i в Я", и сечением и> С R , легко вывести (3.6) из (3). [c.36]

Определение 1. Набор функций и. р., р, г, определенных в / (x,i), называется обобщенным движением газа, если для любой замкнутой кусочно-гладкой гиперповерхности Г С Д (х, t) эти функции удовлетворяют соотношениям [c.36]

Вывод соотношений на сильном разрыве. Удобно вывести уравнение сильного разрыва сначала для абстрактного закона сохранения (3). С этой целью на гиперповерхности Е выделяется некоторая (малая) область а с гладкой границей 7 и строится замкнутая гиперповерхность Г = (Т1 + (Т2 4- (Тз, где стз есть боковая поверхность цилиндра с направляющей 7, а <71 я (То — куски параллельных к Е поверхностей, находящихся на расстоянии /г от Е (рис. 1), вырезанные этим цилиндром. В соотношении (3) с так построенной гиперповерхностью Г интеграл разобьется на сумму трех интегралов — по (Ti, IT2 и (Тз. Затем выполняется предельный переход при h —> 0. Так как при этом мера (Тз — О и подынтегральная функция ограничена, то интеграл по стз в пределе дает нуль. Что же касается интегралов по ai и а2, то они в пределе перейдут в интегралы по разным сторонам а с противоположными направлениями нормалей v = [c.37]

При движении замкнутой системы не меняется её энергия, поэтому все точки в фазовом пр-ве, изображающие состояние системы в разные моменты времени, должны лежать на нек-рой гиперповерхности , соответствующей нач. значению энергии 8. Ур-ние этой поверхности имеет вид [c.719]

Замечание 2. Положение равновесия консервативной системы будет устойчивым и в том случае, когда в этом положении потенциальная энергия П имеет нестрогий минимум, но в любой е-окрестнос1и положения равновесия существует замкнутая гиперповерхность [c.195]

Действительно, пусть по-прежнему в положении равновесия 1=. .. = = 0 и П(0,. .., 0) = 0. Кроме того, пусть уравнение гиперповерхности (9) выбрано так, чтобы для точек, расположенных внутри замкнутой гиперповерхности (9), выподнядось неравенство [c.196]

При движении замкнутой системы её энергия не меняется, поэтому все точки в фазовом пространстве, изображающие состояние системы в разные моменты времени, должны лежать на нек-рой гиперповерхности, соответствующей нач. значению энергии Е. Ур-ние этой поверхности имеет вид Н(х,р) = Е, где Н(х,р) — Гамильтона функция системы. Движение системы из мн. частиц носат крайне запутанный характер, поэтому с течением времени точки, описывающие состояние, распределятся по поверхности пост, энергии равномерно (см. также Эрговическая гипотеза). Такое равномерное распределение описывают ф-цией распределения [c.666]

В случае вариац. задач с подвижными концами, в к-рых левый и правый концы экстремали могут смещаться по нек-рым заданным гиперповерхностям, недостающие граничные условия, позволяющие получить замкнутую систему соотношений типа (5), определяются с помощью необходимого условия трансверсальности. Для простейшей задачи типа (1). в к-рой точка [c.496]

В Э. т. осн. объект исследования—динамич. система (ДС), понимаемая как группа (или полугруппа) преобразований нек-рого пространства с мерой, сохраняющих эту меру. В применении к консервативным ДС, описываемым дифференц. ур-ниями, речь идёт о семействе сдвигов вдоль фазовых траекторий, а роль сохраняющейся (инвариантной) меры играет фазовый объём. В общем случае пространство с мерой—это тройка (X, si, ц), в к-рой X— произвольное множество с выделенным семейством j/ его подмножеств (ст-алгеброй измеримых подмножеств), содержащим само X в качестве одного из элементов и замкнутым относительно теоретико-множественных операций (объединения и пересечения конечного или счётного числа множеств и перехода от любого множества к его дополнению). Мера 1—это неотрицательная ф-ция, заданная на. 5/ и обладающая свойством счётной аддитивности если Ai, Ai,...— множества из. af, к-рые попарно не пересекаются, то мера их объединения равна сумме мер. Если ц(Л <со, то ц можно нормировать, поделив на х(А , и считать (X,, ц) вероятностным пространством (см. Вероятностей теория). Для ДС, отвечающей гамильтоновой системе дифференциальных ур-ний, в качестве X можно взять любую гиперповерхность постоянной энергии, а в качестве ц—меру, индуцированную на этой гиперповерхности фазовым объёмом. Всюду в дальнейшем предполагается, что рассматриваемые ДС определены на вероятностном пространстве. [c.625]

Для построения указанпо11 гиперповерхности разрушения оболочки в общем случае молено поступить следующим образом используя условия прочности (4.2), (4.3), как и в 4, оиредолим в пространстве нагрузок замкнутую [c.41]

Для доказательства существования периодического решеиия системы (18.1) поступают обычно следующим обра-ЯОм, В фазовом пространстве выделяется гиперповерхность М (л—1)-го измерения, не имеющая контакта с полем направлений системы (18.1). На поверхности М выделяется (П— 1)-мерный симплекс 5. Предполагается, что если точка р лежит в 5, то при возрастании времени траектория Ф(р. Ь) системы (18.1), проходящая при = 0 через точку р, пересечет поверхность М в точке Ф(р, х), х > 0. Таким образом, получается преобразование Т симплекса 5 в гиперповерхность М, ставящее в соответствие точке р точку Ф (р, х). Обычно без особых затруднений удается показать, что преобразование это непрерывно. Если, кроме того, преобразо-пиние Т таково, что на 5 оно имеет неподвижную точку д, то ясно, что траектория Ф д, 1 ) замкнута, т. е. решение Ф((/, ) периодическое. [c.281]

Доказательство. От противного. Пусть такая кривая Уо существует, и точка7 1 - неособое начальное условие при движении по кривой уо. Через точку проходит замкнутая гиперповерхность Г из ТСП, причем ГсК. Если гиперповерхность Г ограничивает область б, то существует > О (которое уменьшим насколько нужно) такое, что [c.117]

Когда л равно не трем, а любому числу, все сказанное можно повторить, беря вместо двумерной пленки (ге—1)-мерную гиперпленку, а вместо замкнутого контура — какую-нибудь лежащую в этой гиперпленке двустороннюю замкнутую (ге—2)-мерную гиперповерхность. [c.561]

В такой форме теорему Гаусса сразу можно обобщить на четырехмерное пространство 1237, 238]. Если — четырехвекторное поле и II — область в (3 + 1)-пространстве, ограниченная замкнутой трехмерной гиперповерхностью 2, то обобщенная теорема Гаусса принимает форму [c.100]

Перенос наших рассмотрений на случай векторных полей в и-мерном пространстве может быть сделан непосредственно на основе аналогичных геометрических рассмотрений. Однако мы предпочтем здесь другой аналитический, более простой для формулировки и более конструктивный способ определения ind к. Пусть в и-мерпом пространстве Л (аг1,..., аг ) задано достаточно гладкое векторное поле П, составляющие которого П((а ). Пусть имеется некоторая достаточно гладкая замкнутая гиперповерхность д,. Отображение О в данном случае конструируется следующим образом берем внутри <1 точку о и проводим вектор к параллельный вектору к поля П в заданной точке к поверхности й. Этот вектор пересекает д, в одной или нескольких точках, которые ставим в соответствие к. Пусть одна из этих точек есть и ее координаты суть х. Введем для данной точки якобиан У отображения [c.71]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...