Контактная геометрия пар гиперповерхностей

Контактная геометрия составляет математический базис геометрической оптики в таком же смысле, в каком симплектическая геометрия является базисом классической механики. Оптико-механическая аналогия Гамильтона позволяет интерпретировать проблемы и результаты симплектической геометрии на языке контактной геометрии и наоборот. Тем не менее, прямой подход в терминах контактной геометрии во многих случаях предпочтительнее, по крайней мере с точки зрения геометрической интуиции он демонстрирует геометрическое содержание формул симплектической теории. Связь между симплектической и контактной геометриями подобна связи между геометрией линейных пространств и проективной геометрией для того чтобы получить контактный аналог симплектического утверждения, необходимо заменить функции гиперповерхностями, аффинные пространства проективными и т. д. [c.59]

Каустики могут быть описаны как следы, заметаемые особенностями движущихся волновых фронтов. Теория особенностей волновых фронтов является частным случаем общей теории лежандровых особенностей контактной геометрии. Эта общая теория занимается классификацией особенностей преобразований Лежандра гладких функций и гиперповерхностей, дуальных гладким проективным поверхностям. [c.59]

Контактная геометрия пар гиперповерхностей 209 [c.209]

Общая теория лежандровых особенностей позволяет трансформировать любой результат геометрии волновых фронтов (эквидистант гиперповерхностей) в результат геометрии преобразований Лежандра и наоборот. Ясно, что их можно применять и в случаях, где контактная структура не так очевидна. [c.67]

Иерархия касательных становится понятнее, если переформулировать ее в терминах симплектической и контактной геометрии. Р. Мельроз (1976) заметил, что касательные к поверхности лучи описываются парой гиперповерхностей в симплектическом фазовом пространстве одна, р — определяет метрику, а другая — поверхность (стр. 439). [c.457]

Геометрическая оптика лучей и фронтов, задаваемых системой гиперболических дифференциальных уравнений с частными производными, является геометрией гиперповерхности в контактном пространстве проективизованного кокасательного расслоения пространства-времени. Эта гиперповерхность, называемая световой гиперповерхностью, есть множество нулей (главного) символа. В теории дифференциальных уравнений с частными производными характеристики зтой гиперповерхности в контактном многообразии контактных элементов странным образом называются бихарактеристиками . [c.275]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...