Лагранжиана действия

Линейное сопротивление и диссипативная функция. Вели на точки системы с одной степенью свободы кроме потенциальных сил действуют еще силы сопротивления, то дифференциальное уравнение Лагранжа выразится в форме [c.434]

Пусть на груз дополнительно действует зависящая от времени сила Ф(/). У груза одна степень свободы. Связи (гладкая поверхность) являются идеальными. Составим для движения груза уравнение Лагранжа, приняв х за обобщенную [c.446]

Из полученного результата следует, что состояние механической системы, на которую действуют потенциальные силы, определяется заданием одной только функции Лагранжа, так как, зная эту функцию, можно составить дифференциальные уравнения движения системы. [c.379]

Чтобы для данной механической системы составить уравнения Лагранжа, надо 1) установить число степеней свободы системы и выбрать обобщенные координаты (см. 142) 2) изобразить систему в произвольном положении и показать на рисунке все действующие силы (для систем с идеальными связями только активные), [c.379]

Решение. Примем за обобщенную координату системы вертикальное отклонение г груза от положения покоя (рис. 272, б). Рассматриваемая система находится под действием консервативных сил — сил тяжести и силы упругости. Воспользуемся уравнением Лагранжа в виде (126.1) [c.353]

За обобщенную координату системы примем координату груза у. На груз действуют консервативные силы — сила тяжести G и реакция упругой балки Р. Циклическую частоту колебаний груза, лежащего на упругой балке, определим по уравнению Лагранжа (123.1) [c.355]

Так как система находится под действием консервативных сил —сил тяжести, то воспользуемся уравнениями Лагранжа для консервативной системы. Для этого найдем потенциальную энергию системы, пользуясь формулой (73.2), приняв плоскость движения ползуна за нулевую плоскость [c.361]

Какой вид принимают уравнения Лагранжа второго рода в случае когда на систему действуют одновременно консервативные и неконсервативные силы [c.363]

В ТОМ случае, если голономная система ( 31) имеет s степенен свободы и на нее действуют консервативные силы, уравнения Лагранжа второго рода представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых имеет второй порядок относительно обобщенных координат (126.3). [c.366]

Уравнения Лагранжа второго рода для голономной системы с S степенями свободы, находящейся под действием консервативных сил, имеют вид (126.3) [c.367]

В ТОМ случае, если на механическую систему действуют как консервативные силы Qf = — так и неконсервативные силы Q j, уравнения Лагранжа второго рода имеют вид [c.371]

Важнейшими интегральными принципами классической механики являются принцип Гамильтона — Остроградского и принцип стационарного действия Мопертюи — Лагранжа, рассматриваемые в этой главе курса. [c.390]

Для установления принципа стационарного действия воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода. Для консервативной системы эти уравнения имеют вид (126.3) [c.408]

Из этого следует, что для действительного движения действие по Лагранжу имеет стационарное значение, что и требовалось уста- [c.410]

Найдем сначала выражение функции действия по Лагранжу [c.411]

Какие выражения называются действием по Гамильтону и действием по Лагранжу и какова зависимость между ними [c.413]

П. В чем сущность принципа стационарного действия Мопертюи—Лагранжа [c.413]

Область, в которой можно пользоваться линейными уравнениями, сама по себе, разумеется, не определяется этими уравнениями и зависит от старших членов соответствуюш,их разложений нелинейных функций в ряды. В этом смысле понятия малые отклонения и малые колебания условны. Слово малое в этих терминах говорит не буквально о малости самих отклонений или их областей, а скорее о малости наших знаний о границах этих областей. Во многих задачах механики оказывается, что области эти достаточно велики и покрывают полностью область отклонений, с которыми практически приходится иметь дело при любых действующих на систему внешних силах. В иных случаях, однако, оказывается, что области эти весьма ограничены, и замена нелинейных уравнений Лагранжа их линейным приближением требует в таких случаях большой осмотрительности. [c.257]

На прямом пути удовлетворяются уравнения Лагранжа системы поэтому все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формуле (61), тождественно равны нулю. Отсюда сразу следует, что на прямом пути вариация действия по Гамильтону равна нулю, т. е. что прямой путь является экстремалью рассматриваемой вариационной задачи — на прямом пути действие по Гамильтону достигает стационарного значения. [c.279]

Обратим внимание теперь на то, что справедливо и обратное утверждение если соответствующая а = 0 кривая из пучка, представленного на рис. VI 1.2, такова, что действие по Гамильтону достигает на этой кривой стационарного значения и при а = 0 вариация действия равна нулю, то эта кривая удовлетворяет уравнению Лагранжа, т. е. является прямым путем. Действительно, если положить равной нулю вариацию действия в левой части уравнения (61) и вспомнить затем, что вариации координат б<7у независимы и могут быть выбраны произвольно, то отсюда следует, что выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла, порознь равны нулю, т. е. что уравнения Лагранжа удовлетворяются всегда, когда в формуле (61) левая часть обращается в нуль. [c.280]

Далее мы получим два закона сохранения, имеющие место при рассмотрении замкнутых систем. В связи с этим сделаем следующее общее замечание. Требование замкнутости системы означает, что все силы, действующие на материальные точки системы, зависят лишь от взаимного расположения точек и расстояний между ними. В связи с этим любые преобразования координат, сохраняющие взаимное расположение точек и расстояния между ними, не изменяют уравнения движения, т. е. не меняют вид лагранжиана. [c.291]

Для построенного таким образом семейства можно рассмотреть действие по Гамильтону и вариацию действия. Для вариации действия по Гамильтону воспользуемся формулой (60). Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что все кривые однопараметрического семейства являются прямыми путями и, следовательно, на них тождественно выполняются уравнения Лагранжа. Поэтому интеграл, стоящий в правой части формулы (60), в данном случае тождественно обращается в нуль, и формулы для приращения функционала содержат только проинтегрированную часть [c.295]

Введенный так функционал W является аналогом действия по Гамильтону 1. Он получается из действия по Гамильтону, если функцию Лагранжа заменить на функцию Якоби, t на q и ограничить выбор пучка сравниваемых кривых изоэнергетическим [c.330]

В частном случае, когда рассматривается натуральная (т. е. консервативная) система, действию по Лагранжу можно придать определенный механический смысл. Вспомним с этой целью выражения для Р и АГ и представим функцию Якоби в виде [c.331]

Подставляя это выражение в формулу (148) для действия по Лагранжу, получаем [c.331]

ЭТОГО нужно было мысленно разорвать данную систему на две части в точке сцепления зубчатых колес / и 2, заменив действие отброшенной части конструкции соответствующей силой реакции связи. В составленную систему дифференциальных уравнений движения войдет сила реакции связи. Лишь после исключения этой силы реакции из полученной системы уравнений можно прийти к формуле (11). Преимущество уравнений Лагранжа, не содержащих сил реакций связей, соверщенно очевидно. [c.484]

Если на систему действуют внешние возмущающие силы в течение всего процесса колебаний, то возникают сложные колебания, являющиеся результатом наложения вынужденных и свободных колебаний системы. Дифференциальные уравнения движения системы могут быть составлены применением уравнений Лагранжа [c.602]

Если действующие на материальную систему силы не консервативны, то уравнения Лагранжа имеют вид [c.124]

Рассмотрим пребывающую в равновесии упругую линию АМВ, все точки которой находятся под действием заданных сил. Если мы допустим, что часть линии MB, заключенная между какой-либо точкой М и концом В, становится негибкой и неподвижной, а другая часть МЛ становится только негибкой, сохраняя в то же вррмя свободу вращения вокруг точки М, то равновесие не будет нарушено, и, следовательно, сила упругости, развивающаяся в точке М, должна уничтожить пару, которой в силу неподвижности точки М эквивалентны, силы, действующие на часть МА кривой. Но мы допустим, что сила упругости может произвести две пары, одну, которую учел Лагранж, действующую в соприкасающейся плоскости и стремящуюся вернуть кривизне ее первоначальное значение, в другую, имеющую в качестве своей оси касательную к упругой кривой и стремящуюся униЧтожйть кручёНие, возвращая второй кривизне ее первоначальное значение. Назовем, эти две пары.0 лЕ. Сначала докажем, что 0 остается постотнной, каковы бы ни были заданные силы и первоначальный вид кривой. [c.540]

В цитированной статье С. В. Иорданского [15] в интеграле Коши— Лагранжа (3.4.21) вместо (dfpldt) использовано (гЭф/ г)2, что привело к потере третьего члена в интеграле Коши—Лагранжа, определяющем доле давления вокруг сферической частицы. Это в свою очередь йривело к йетоЧности в выражении для силы, действующей на дисперсную частицу (см ниж ). [c.128]

Указанным путем уравнения Лагранжа составляются независимо от того, рассматривается ли абсолютное (по-отношению к инер-циальной системе 01счета) или относительное движение механической системы. Но в последнем случае возможен и другой путь, а именно кинетическую энергию системы определять в ее относительном движении, но зато при нахождении обобщенных сил присоединить к силам, действующим на систему, переносные силы инерции (чего при использовании первого пути делать не надо). [c.380]

Для установления принципа стационарного действия использованы ураинення Лагран>[ а второго рода. Если же исходить из принципа стационарного деУ ствня, то па его ось-ове можно установить все основные теоремы механики консервативных систем и получить дифференциальные уравиеаия движения в форме уравнений Лаг-зан>1 а второго рода. Установим зависимость между действием по аммльтону S и действием по Лагранжу W. [c.410]

Эта формула устанавливает зависимость между действием по Лагранжу W и действием по Гамильтону S Сопоставим теперь принцип Мопертюи— Лагранжа с принципом Гаммльтона — Остроградского. В принципе Мопертюи — Лагранжа сравниваются движения консервативной системы, oeepuiaejWM с одной и той же энергией, тогда как в принципе Гамильтона —Остроградского сравниваются движения, совершаемые за один и тот же промежуток времени. [c.411]

Решение. В одиородном поле силы тяжести материальная точка движется в вертикальной плоскости, содержащей вектор начальной скорости va. Выберем за начало коордннат точку А, ось х направим горизонтально в сторону движения точки, а ось (/ — вертикально вверх. Полная механическая энергия материальной точки при ее движении в однородном поле силы тяжести остается постоянной. Для определения траектории точки воспользуемся принципом стационарного действия Мопертюи—Лагранжа. [c.411]

Идеальные связи. Для того чтобы записать второй закон Ньютона для материальной точки, движение которой стеснено механической удерживающей связью, надо к действующим на точку силам добавить реакции связи. Эти реакции сами зависят от характера движения точки, т. е. являются функциями ее скоростей и ускорений. Используя лагранжев формализм для систем, содержащих механические связи, часто удается описать дьижения системы, не вводя в рассмотрение эти функции — реакции связи. [c.154]

Сделаем предварительно следующее замечание об использовании уравнений Лагранжа для описания относительного движения в неинерциальной системе отсчета. В гл. И было установлено, что второй закон Ньютона (а значит, и основные теоремы динамики) может быть использован и в неинерциальной системе отсчета, если к /-Й точке системы (/=],. .., N) помимо действующих сил приложить силы инерции — переносную, Ji ep = = — miWi ер. и кориолисову, Ji кор = — 2т,- (ш х / o, )- [c.160]

Введение вспомогательных переменных р, q, г ц использование уравнений Лагранжа в форме уравнений Эйлера (53)- -(60) имеет несомнен ые преимущества в тех частных случаях, когда главные моменты действующих сил относительно осей г), не зависят от эйлеровых углов и их производных например, когда эти моменты постоянны (в частности, равны нулю) или являются заданными функциями времени. В этих случаях систему (60) можно рассматривать как независимую систему дифференциальных уравнений относительно вспомогательных переменных р, q, г если эта система разрешена, то уравнения (53) затем определяют эйлеровы углы ф, г , 0 как функции времени. [c.194]

Записанный так функционал, определенный на пучке (40), носит название действия по Гамильтону и играет важную роль при исследовании движения а потенциэотьных полях. Из сказанного следует, что движение, удовлетворяют, е уравнениям Лагранжа, представляет экстремаль функционала (48). В следующем параграфе мы докажем приведенную выше теорему Эйлера для однопараметрического пучка специального типа, пока же выведем формулу для вариации действия эта формула потребуется нам в дальнейшем. [c.275]

Если заданными силами, действующими на систему с идеальными связями, будут только силы тяжести, то из теоремы Лагранжа — Дирихле следует если центр тяжести системы занимает наинизшее положение, то это положение будет устойчивым положением равновесия (принцип Торичелли). [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...