Общий интеграл уравнений в вариациях

Общий интеграл уравнений в вариациях 383 [c.429]

Во всяком случае, как это всегда имеет место в случае линейной неоднородной дифференциальной системы, интегрирование уравнений (41) и (42) сводится только к квадратурам всякий раз, когда удается каким-либо способом определить общий интеграл соответствующей однородной системы. В настоящем случае член Ф уравнения (42), делающий уравнение неоднородным, объединяет в себе все, что относится к возмущающей силе. С другой стороны, однородная система, зависящая исключительно от уравнения (28") основной задачи, дает в силу этого последнего уравнения так называемые уравнения в вариациях, которыми мы будем заниматься в общем случае в 5 гл. VI. Мы увидим тогда, что если известен общий интеграл какой-нибудь дифференциальной системы, то из него можно получить посредством одного только дифференцирования общий интеграл соответствующих уравнений в вариациях. Применяя к нашему случаю это замечание и вспоминая сказан- [c.114]

Уравнение (325) можно использовать для определения а (t) при заданном е (/) или наоборот. Интегрируем уравнение (323) при заданном е (/). Общий интеграл уравнения можно записать, применяя способ вариации произвольной постоянной С в решении однородного уравнения [c.164]

Применим к решению этого уравнения метод вариации произвольных постоянных. Будем искать общий интеграл уравнения (1) в следующем виде [c.186]

Хвх в виде единичной скачкообразной функции X ( ) = 1 [ ] и нулевых начальных условиях. Если бы мы решали эту задачу классическим способом, то нам, очевидно, пришлось бы получить прежде всего для системы исходное дифференциальное уравнение (четвертого порядка и, следовательно, с правой частью), найти численные значения корней характеристического уравнения (для уравнения без правой части), выписать (судя по их виду) интеграл уравнения без правой части. Затем задаться видом частного решения уравнения с правой частью каким-либо из известных нам методов (например, методом вариации произвольных постоянных или методом неопределенных множителей Лагранжа), для чего придется многократно (3 раза) дифференцировать и, получив общий интеграл, искать постоянные интегрирования. Это потребует из-за наличия производных в правой части и скачкообразной формы возмущения пересчета начальных условий. Только после определения постоянных интегрирования в численном виде можно будет, задаваясь значениями аргумента t, вычислить ординаты функции или кривой переходного процесса. [c.145]

В каждой главе приведены принятые рабочие гипотезы, упрощающие расчетные уравнения для рассматриваемого геометрического тела, после чего приводятся преимущественно точные методы общего и частного решений этих уравнений. Для получения общего решения широко используются специальные функции. Частный интеграл системы неоднородных дифференциальных уравнений находится при помощи метода вариации произвольных постоянных (из общего решения системы однородных уравнений) или его интерпретации, методом начальных условий. При решении задачи методами комплексной переменной частный интеграл находится из уравнений более низкого порядка [см. уравнение (7.80)]. Расчетные системы уравнений Приведены для правой системы координат. [c.6]

Принцип Гамильтона совершенно общий и равносилен общему уравнению динамики. Действительно, от уравнения (2) можно перейти к уравнению (1), выполняя интегрирование по частям в обратном порядке. Вследствие неопределенности Ь интеграл (1) может обратиться в нуль для всех вариаций, совместимых со связями, лишь в том случае, если сумма под знаком интеграла постоянно равна нулю. В самом деле, в противном случае, так как мы всегда можем изменить знаки у всех 5 одновременно, можно выбрать эти знаки таким образом, чтобы сумма под знаком интеграла все время была положительна. Тогда интеграл, будучи положительным, не был бы равен нулю. [c.222]

Внесем еще эти значения в члены, не стоящие под знаком интеграла в общем уравнении, или, еще лучше, в формулу, приведенную л пункте 37, в которой приняты во внимание и силы А", У, Z, . . . затем приравняем нулю отдельно величины, в состав которых входит каждая из четырех оставшихся вариаций Ьх, Ьу, 8х", Ьу тогда мы получим четыре следующих новых определенных уравнения [c.194]

Мы видим прежде всего, что введение вариаций 85, 8т), 8 не вызывает никакого изменения в уравнениях, которые должны иметь место для всех точек жидкости и которые получаются из членов, стоящих под знаком тройного интеграла в самом деле, если приравнять нулю входящие в состав этих членов коэффициенты вариаций 8х, 8у, Sz, то одновременно исчезнут и вариации 8 , 8т), 8 . Отсюда следует, что общие законы равновесия, содержащиеся в формулах пункта 19, не зависят как от состояния, так и от формы ядра. [c.274]

В этом случае Z, превратятся в нули и уравнение (28) обратится в уравнение (9). Но предположение Я = О есть лишь частный случай, и, принимая его, мы сужаем решение занимающего нас вопроса. Это положение принималось Лагранжем тогда, когда великий геометр, исходя из принципа наименьшего действия, выводил общие уравнения движения. Но если бы мы и здесь следовали этому правилу и не обобщили множитель, на который нужно умножать уравнение условия, с последующим прибавлением к вариации интеграла, который должен иметь минимальное значение, то получили бы результат, аналогичный формуле (28), т. е. совершенно отличный от найденного нами. [c.340]

Так же, как и ранее, массовые и инерционные силы будем считать пренебрежимо малыми. При произвольном тензоре напряжений в (2.1.27) уравнение равновесия (1.4.18) в общем случае приводит к некоторой невязке, т.е. не будет удовлетворяться. Интеграл по объему Q от скалярного произведения вариации этой невязки на тензор Та обозначим через 5Jk. Тогда из (2.1.27) получим [c.186]

Функционал (16.46) (с неопределенными коэффициентами) и его вариация имеют самый общий вид для любых граничных условий, линейно связывающих функцию и ее нормальную производную по обе стороны поверхности. Может оказаться, что получающаяся после приравнивания вариации к нулю система линейных уравнений для неопределенных коэффициентов несовместна. Это значит, что нельзя добиться естественности граничного условия лишь за счет поверхностных интегралов. Так обстоит дело, например, если пытаться использовать (16.3) в задачах с условиями (15.22) —там надо было изменить объемный интеграл (что, впрочем, тоже могло быть сделано подбором коэффициентов). [c.176]

Вывод ОБЩЕГО ИНТЕГРАЛА УРАВНЕНИЙ В ВАРИАЦИЯХ НЗ ИНТЕГРАЛА КОНЕЧНЫХ УРАВНЕНИЙ. Ограничимся здесь замечанием, что исякий раз, когда известно общее решение уравнений (16), из него можно непосредственно вывести одним только дифференцированием общее решение системы в вариациях (18). [c.383]

Относительно природы самой основной задачи здесь нужно сделать одно существенное замечание. Вспомним, что если мы исключим частные законы сопротивления, плохо соответствующие действительности, то не сможем найти интегралы основной задачи точно, а определим их только приближенно, выводя из баллистических таблиц. Если некоторая функция определена посредством графика, вычерченного непрерывно механическими средствами или полученного путем графической интерполяции из какого-нибудь разрывного ряда точек, заданного в виде числовых таблиц, то интегрирование можно будет выполнить при помощи подходящих способов суммирования, с приближением, сравнимым с тем, которое имело место при построении графика. Наоборот, операция дифференцирования, поскольку требуется, чтобы от точки к точке оценивалось направление касательной, порождает неуверенность в том, что мы не придем таким путем к значительно ббльшим ошибкам. Поэтому в баллистическом случав нельзя прийти к приемлемым результатам, выводя общий интеграл уравнений (41) и (42) из интеграла основной задачи через интегралы соответствующих однородных уравнений (в вариациях). В этом случае лучше прямо получить последний интеграл, применяя к однородным уравнениям те же сгмые способы табличных и графических приближений, которые служат для решения основной задачи. [c.115]

Ио векторное уравнение duJdt = dX x)/dx, u j является уравнением в вариациях для порождающей системы, поэтому, согласно теореме Пуанкаре [12], общий его интеграл находится путем дифференцирования общего решения (81) по произвольным постоянным. Следовательно, общее решение уравпепия (88) в принципе определяется в квадратурах. [c.39]

Можно сделать попытку обозреть основные этапы развития аналитической динамики до середины XIX в. Первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжева теория вариации произвольных постоянных, а также теория Пуассона. Следующим этапом явились во-первых, представление Гамильтоном интегральных уравнений посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или посредством условия, что она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных, и, во-вторых, установление канонических уравнений движения. Вслед за тем Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений к проблеме нахождения полного интеграла единственного уравнения в частных производных и дал общую теорию связи интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого порядка. Наконец, была разработана теория систем канонических интегралов. [c.910]

Интеграл неоднородного уравнения (337) следует искать в виде суммы общего интеграла соответствующего однородного уравнения и частного интеграла данного уравнения с полющью метода вариации произвольных постоянных [171] [c.189]

Движение точки Р в силовом поле, определяемом функцией Q, ыы можем рассматривать как невозмущенное движение, а функции или Я + Яг как возмущающие функции. Но уравнения невозмущенного движения суть уравнення движения в задаче двух неподвижных центров, общий интеграл которой может быть получен, как показано выше, в виде квадратурных соотношений. Применяя теперь к уравнениям движения с полной силовой функцией и метод изменения произвольных постоянных, мы можем также найти решение (приближенное) первоначальной задачи. Пренебрегая частью/ 2 полной силовой функции, мы получим несколько более простую задачу, которая также решается методом вариации постоянных. [c.790]

Для того чтобы более ясно показать, что действие или накопленную живую силу системы или, другими словами, интеграл произведения живой силы на элемент времени можно рассматривать как функцию упомянутых выше бл -Ь 1 величин, а именно начальных и конечных координат и величины Я, следует отметить, что все, что зависит от способа и времени движения системы, может рассматриваться как такая функция. В самом деле, закон живой силы в первоначальном виде в сочетании с известными или неизвестными Зп зависимостями между временем, начальными данными и переменными координатами всегда дает известные или неизвестные Зп -р 1 зависимости, связывающие время и начальные компоненты скоростей с начальными и конечными координатами и с Я. Однако благодаря тому, что Лагранж не пришел к представлению о действии как функции такого рода, те следствия, которые были выведены здесь из формулы (А) для изменения этого определенного интеграла, не были замечены ни им, ни другими блестящими аналитиками, занимавшимися вопросами теоретической механики, несмотря на то, что в их распоряжении была формула для вариации этого интеграла, не очень отличающаяся от нашей. Дело в том, что Лагранж и другие, рассматривая движение системы, показали, что вариация этого определенного интеграла исчезает, когда даны крайние координаты и постоянная Я. Они, по-видимому, вывели из этого результата только хорошо известный закон наименьшего действия, а именно 1) если представить точки или тела системы движущимися от данной группы начальных к заданной группе конечных положений не так, как это в действительности происходит, и даже не так, как они могли бы двигаться в соответствии с общими законами динамики, или с дифференциальными уравнениями движения, но так, чтобы не нарушать какие-либо предполагаемые геометрические связи, а также ту единственную динамическую зависимость между скоростями и конфигурациями, которая составляет закон живой силы 2) если, кроме того, это геометрически мыслимое, но динамически невозможное движение заставить отличаться бесконечно мало от действительного способа движения системы между заданными крайними положениями, то варьированное значение определенного интеграла, называемого действием или накопленной живой силой системы, находящейся в представленном таким образом движении, будет отличаться бесконечно мало от действительного значения этого интеграла. Но когда этот закон наименьшего, или, как его лучше было бы назвать, стационарного действия, применяется к определению фактического движения системы, он служит только для того, чтобы по правилам вариацион- [c.180]

В первом случае, очевидно, должно существовать периодическое решение уравнений вариации относительно //, которые получаются, если мы прибавим неоднородные члены — дНх/дцх, дНг/дрг к соответственным правым частям уравнений вариации, упомянутых выше. Но так как дНх/дцх, дНг/дрг могут быть взяты почти по произволу вдоль любого периодического движения, то обычные явные формулы для вариаций ёрх, 1 показывают, что, вообще говоря, не будет существовать никакого периодического решения. В самом деле, функции брг, 6д могут быть выражены как интегралы, линейные в этих произвольных функциях, к которым прибавлено общее решение однородной системы, одна часть которой является периодической. Таким образом, два условия должпы удовлетворяться в то время, как имеется (существенно) только одна произвольная постоянная, и условие совместимости требует, чтобы обращался в нуль некоторый интеграл, взятый на отрезке, равном 2ктг, подынтегральное выражение которого содержит ли- [c.257]

Вариационное уравнение движения ). Во всех случаях, когда су-ществует упругий потенщ ал W, мы можем вывести уравнения движения из принципа Гамильтона. Чтобы выразить этот принцип, мы обозначим через Т общую кинетическую энергию тела и через V потенциальную эн"ер-гию деформаций , так что V равно объемному интегралу от W. Далее, мы образуем по правилам вариационного исчисления вариацию интеграла (Г—V)dt, который будем брать между постоянным, начальным и конечным значениями (/ и /,) переменной t. При варьировании интеграла мы принимаем, что вариации подвергаются только смещения и что значения последних в начальном и конечном состояниях заданы. Такого рода вариа-цию мы обозначим через [c.177]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...