Компактная разностная схема

КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ЗАДАЧАХ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ [c.231]

Метод компактных аппроксимаций операторов в случае уравнений второго порядка обладает несомненным преимуществом перед методами, использующими формулы (4.50), состоящим в том, что при реализации разностной схемы приходится всегда решать скалярные, а не векторные трехточечные уравнения. Вместе с тем обобщение его на случай систем уравнений является весьма громоздким, в то время как применение формул (4.50) в этой ситуации элементарно достаточно скалярные сеточные функции заменить на векторные. [c.124]

Настоящая глава посвящена применению компактных аппроксимаций при численном решении задач динамики вязкого газа. Используя дискретизацию пространственных производных при помощи операторов компактного численного дифференцирования, можно строить различные разностные схемы для уравнений Навье-Стокса или Рейнольдса, вводя в последнем случае уравнения полуэмпирических моделей турбулентности или простейшие концепции турбулентной вязкости. Первое применение компактных аппроксимаций третьего порядка бьшо связано с построением итерационно-маршевых алгоритмов, не требующих покоординатного расщепления и реализующихся при помощи трехточечных скалярных прогонок [5, 6]. Неэффективные для расчета сложных течений в зонах возвратных течений они тем не менее оказались вполне применимыми при решении задач, в которых можно выделить некоторое преимущественное направление. Кроме того, вследствие своей простоты они позволили легко осуществить исследования, связанные с применением адаптирующихся к решению сеток. [c.125]

При умеренных и больших числах Рейнольдса, а также при Яе = °°, когда члены с вязкостью не учитываются и система Навье-Стокса вырождается в уравнения Эйлера, разностные схемы с компактными аппроксимациями нечетного порядка могут оказаться эффективным инструментом численного исследования течений несжимаемой жидкости. [c.186]

Поскольку непрерывная краевая задача аппроксимируется дискретной конечно-разностной моделью, дифференциальные уравнения теории оболочек в частных производных преобразуются в систему алгебраических уравнений, для решения которой используется компактная схема блочного метода Гаусса. [c.174]

Генерация гармоник, суммарных и разностных частот играет важную роль для применений в квантовой электронике и в спектроскопии. Как уже было объяснено в разд. В.1 и в ч. I, с помощью этих процессов возможно преобразование света с подходящими свойствами (мощность, когерентность, временное поведение) в такие спектральные области, в которых не существует хороших источников или в которых создаются благоприятные предпосылки для детектирования. В подходящих материалах, при использовании соответствующих резонаторных схем и при согласовании фаз может быть достигнуто почти полное преобразование излучения. Существенный прогресс был достигнут в последние годы в области генерации гармоник, суммарных и разностных частот в волноводах, благодаря чему открылись новые перспективы в применениях интегральной оптики (ср. [3.14-1]). Следует отметить, что благодаря зависимости скорости распространения света определенной длины волны от свойств поперечной моды, в которой это распространение происходит, появляются дополнительные возможности для согласования фаз по сравнению с компактной средой. [c.336]

Для того, чтобы в более компактном виде представить эту схему, введем разностные операторы [c.37]

Другой подход к построению центрированных компактных схем четвертого порядка связан с определением коэффициентов в равенстве (0.20), понимаемом как связь между искомой сеточной функцией Му и аппроксимацией в узлах дифференциального оператора / = Lu)p входящего в формулировку исходной задачи [30, 35, 36]. Достоинство такого метода состоит в том, что для оператора Lu, содержащего первые и вторые производные, решение разностных уравнений осуществляется трехточечной скалярной прогонкой (в других компактных методах четвертого порядка в таких случаях требуется векторная трехточечная прогонка с матрицами размерности 2X2). Вместе с тем он является в значительной мере ориентированным на решение скалярных конвективно-диффузионных уравнений. Обобщение его для систем уравнений оказьшается весьма громоздким, в то время как для компактных методов, использующих раздельную аппроксимацию первых и вторых производных, оно является элементарным. [c.13]

Ограничения на шаги разностных сеток. Для оценки характера разностных решений в случае применения центрированных компактных схем полезно рассмотреть стационарную простейшую задачу с конвекцией и диффузией, положив в уравнении (2.1) [c.124]

О разностных граничных условиях. Формулировка разностных граничных условий для уравнений Навье-Стокса в случае компактных схем может быть осуществлена так же, как и в случае обычных аппроксимаций. Эти условия, как правило, состоят из условий в набегающем потоке, условий в нижней по течению части потока, условий симметрии (если она существует) и условий на твердой поверхности. [c.153]

После аппроксимации левой части (3.1) при помощи компактной схемы, записи разностных уравнений алгоритма с коррекцией давления и аппроксимации уравнений (3.2) с использованием какой-либо устойчивой схемы последовательность вычислений можно представить следующим образом. [c.212]

Автор ограничился изложением некоторых употребительных конечно-раз-ностных методов решения задач динамики сжимаемых жидкостей. Узкие эамки данного курса (всего 10 лекций) не позволили включить в пособие такие известные численные методы, как метод конечных элементов, кол локационные методы, компактные разностные схемы, метод маркеров и ячеек для расчета течений несжимаемых жидкостей и ряд других методов. В этой связи автор включил в список литературы ряд известных монографий, которые описывают все эти методы и, таким образом, восполняют указанный пробел. [c.3]

Применение компактных разностных схем при решении уравнений несжимаемой жидкости технически оказывается значительно более простым, чем в случае течений вязкого газа. Это объясняется тем, что стандартные подходы к построению численных алгоритмов для задач гидродинамики обычно допускают трактовку уравнений импульса как скалярных уравнений относительно скоростей или завихренности. Вместе с тем ино1 да становится желательным одновременное решение уравнений движения, например, при их записи в криволинейной системе координат. [c.182]

Обычные схемы четвертого порядка точности имеют вид явных разностных формул, построенных на пятиточечном шаблоне (точка i и соседние точки г 1, г 2). В компактной схеме берутся только три точки (i и i 1), но разностная формула получается неявной, т. е. пе локальной. Значения находятся из уравнения (3.3616) при помощи метода прогонки (см. приложение А), так что эти значения во всех точках i зависят от значений в других точках и, следовательно, зависят от fi и глобально, а не локально. (Из-за такой глобальной зависимости компактная схема подобна спектральным и исевдосиектраль-ным схемам см. Орсаг и Израэли [1974].) Компактная схема обладает также меньшим коэффициентом при ошибке аппроксимации порядка 0(А ), чем обычная схема четвертого порядка точности. Аналогично, сначала по явной схеме второго порядка точности вычисляется вторая производная, которая обозначается через Si и хранится в соответствующем массиве. Таким образом, [c.173]

Развитие методов, основанных на компактных аппроксимациях, фактически происходило в двух направле1шях — конструирование нецентрированных схем третьего порядка и центрированных схем четвертого порядка. Под нецентрированными (или несимметричными) схемами здесь условно понимаются схемы, содержащие операторы, меняющие свою самосопряженную или кососимметричную часть в зависимости от знаков коэффициентов уравнений или от знаков собственных значений матриц в случае систем уравнений. Наоборот, компактные схемы, разностные операторы в которых не переключаются при изменении этих знаков, в дальнейшем будем называть центрированными (или симметричными), имея в виду, что соотношения типа (0.17) для первых и вторых производных в этом случае будут иметь равные по модулю коэффициенты a j и a ,a также j3 , и jSi. Не-центрированные схемы треть. го порядка были впервые предложены, исследованы и применены автором этой книги [4, 5, 27 -29]. Первая из этих публикаций относится к 1972 г. Позднее появились центрированные схемы четвертого порядка [30-36], предложенные почти одновременно несколькими авторами (первое упоминание о таких аппроксимациях в [37], см. также [1]). Если последние применялись главным образом при аппроксимации уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости, то схемы третьего порядка прошли всестороннюю апробацию для различного класса задач - в случае уравнений Эйлера и Навье-Стокса сжимаемого газа (задачи о внутренних и внешних течениях в широком диапазоне чисел Маха и Рейнольдса), в случае уравнений гидродинамики, записанных в различных формах, в случае уравнений Рейнольдса осредненных турбулентных течений и т.д. Данная книга посвящена именно этому классу компактных схем. Компактные аппроксимации рассматриваются в ней прежде всего как эффективный способ дискретизации конвективных членов, содержащих несамосопряженные операторы наоборот, дискретизация членов с вязкостью вследствие самосопряжениости соответствующих операторов интерпретируется как второстепенная часть алгоритма, реализуемая различными способами. Таким образом, область целесообразного применения описываемых здесь методов — задачи с преобладающей ролью конвекции или чисто конвективные задачи. Именно таковыми в большинстве практически важных случаев являются задаад аэрогидродинамики. Благоприятные качества схем третьего порядка обусловлены в случае уравнений гидро-12 [c.12]

Об аппроксимации диффузных членов. При конструировании разностных алгоритмов для уравнений переноса с диффузионными членами в большинстве случаев, представляющих интерес, первостепенную роль играют способы аппроксимаций конвективных членов именно они определяют архитектуру всего метода в целом. Это связано со следующими обстоятельствами. Во-первых, диффузионные члены чаще всего пренебрежимо малы во всей расчетной области, за исключением ее подобластей с малыми характерными размерами. Поэтому структуру решений в значительной мере определяет конвекция и, следовательно, ее разностная аппроксимация, Во-вторых, диффузионные члены содержат в себе самосопряженные операторы, надлежащие разностные аналоги которых не ухудшают устойчивость алгоритма и часто улучшают свойства разностных решений. Вместе с тем в случае неявной схемы повышенного порядка аппроксимации наличие диффузии в математической модели может несколько усложнить реализацию численного алгоритма. Именно так обстоит дело при использовании для агшроксимации первых производных формул компактного численного дифференцирования. [c.48]

Следуя идее построения компактных схем для уравнения переноса, запишем его пр0стей пий разностный аналог на сетке j Xoj в виде [c.49]

Формулы компактного численного дифференцирования, обеспечивающие пятый порядок аппроксимации. Трехточечные формулы (4.11), свя-зьшающие значения в узлах функции и, а также значения в узлах разностных аналогов ее первых и вторых производных (с и г), содержат большее количество коэффициентов, чем аналогичные формулы, связьшающие значения функций и к д. Отсюда естественным образом возникает идея использовать эти дополнительные коэффициенты для построения таких соотношений, которые позволили бы определить д к г как аппроксимации производных функций, обладающие более высоким, чем третий, порядком аппроксимации. Если бы такие аппроксимации имели благоприятные свойства, то их использование в качестве составной части схемы для уравнения (4.8) было бы вполне разумным, поскольку процесс решения разностных уравнений оказался бы не более сложном, чем в случае схемы третьего порядка (4.10). Для уравнения первого порядка (4.1) функция и является лишней, однако может оказаться, что применеше векторных прогонок с матрицами 2X2 вместо скалярных прогонок является разумной платой за высокую точность и другие положительные свойства схемы. [c.107]

Операторы, аппроксимирующие конвективные члены. С точки зрения простоты применения компактных схем система Навье—Стокса в форме (1.4а) выгодно отличается от системы (1.1) наличием лищь одаого уравнения с конвективными членами. В этом случае нет необходимости определять собственные значения и собственные векторы матриц, а нри рещении разностных уравнений достаточно использовать скалярные прогонки. [c.187]

Применение центрированных компактных схем. Основной областью применения компактных схем четвертого порядка, не учитывающих направления распространения возмущений, оказались задачи о течении несжимаемой жидкости. При этом в большинстве случаев использовались уравнения Навье—Стокса в переменных вихрь -функция тока (31, 34] (см. также [1]). Основным лимитирующим фактором для этих схем являются малость сеточзюго числа Рейнольдса Яе = где и, и А — локальные значения скорости и шага сетки. Если это число не превосходит нескольких еди1шц, то самосопряженная часть разностного оператора компенсирует отрицательное воздействие его кососимметричиой части и сеточные решения не искажаются (или не сильно искажаются) схемной немонотонностью. Если оно мало или равно бесконечности (г =0),то применение центрированных алгоритмов, как будет показано ниже, может привести к неудаче. [c.192]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...