Гиперболические конформные отображения

Гиперболические конформные отображения [c.127]

И) ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 129 [c.129]

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 131 [c.131]

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [c.133]

Мы начнем с краткого описания основных задач, связанных с /г-конформными отображениями, которые представляют собой гиперболический аналог обычных конформных отображений. В главе I мы говорили о том, что дозвуковой режим газовых течений характеризуется эллиптичностью, а сверхзвуковой — гиперболичностью соответствующих систем уравнений с частными производными. В то время как конформные отображения связаны с простейшей эллиптической системой — системой Коши —Римана, /г-конформные отображения связаны с простейшей гиперболической системой [c.127]

Например, пусть в описанной выше постановке /о — конформное отображение, а fi удовлетворяет в Di гиперболической системе (12) пусть V=V x,y) и а = а(д , г/) —характеристики отображения fi, а Vq и о = О — предельные значения этих характеристик при х- —оо. Сглаживающий процесс для отображения fi можно организовать, скажем, так. Заменяем характеристики V и а функциями [c.158]

Алгоритм А естественно считать эллиптическим, если для соответствующих ему отображений f = А D) справедливы вариационные принципы теории конформных отображений. Гиперболические алгоритмы определяются так, чтобы для соответствующих отображений влияние локальных вариаций границы области сказывалось лишь в зонах, ограниченных кривыми, которые называются характеристиками алгоритма. Накладывая на алгоритмы целесообразные дополнительные свойства, можно выделять те или иные классы отображений. [c.160]

Интересно отметить, что подобный факт имеет место и для ( диффеоморфизмов двумерных многообразий а именно, по следствию Д.5.10 любой такой диффеоморфизм обладает инвариантным гиперболическим множеством типа подковы, энтропия которого аппроксимирует топологическую энтропию сколь угодно хорошо, в отличие от одномерного случая это не топологический факт. Например, Мэри Рис привела пример минимального гомеоморфизма двумерного тора с положительной топологической энтропией [ ]. Та роль, которую играла теорема о промежуточном значении, в двумерном сл) ае принадлежит гиперболичности. Гиперболичность устанавливается с помощью неравенства Рюэля (теорема Д.2.13), которое утверждает, что из положительности топологической энтропии следует наличие некоторого экспоненциального разбегания орбит в линеаризованной системе. Подобный факт также имеет место для голоморфных отображений сферы Римана и для голоморфных диффеоморфизмов комплексных двумерных поверхностей. В обоих случаях гиперболичность используется. В первом случае мы можем воспользоваться гиперболичностью благодаря конформности самого [c.500]

В частном случае неподвижной точки г = / г) отображения, заданного на гиперболическом открытом подмножестве С заметим, что 11-0/г равна модулю первой производной / (г) = (1//(1г в классическом смысле. Поэтому для голоморфного отображения / В В такого, что /(0) = О, из леммы Шварца следует, что .0/о 1 и равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда / является конформным автоморфизмом. Более общо, если 8 8 — голоморфное отображение односвязных гиперболических поверхностей и р 5, то отсюда немедленно следует, что -0/р 1, и равенство соблюдается только если / является конформным изоморфизмом. Рассмотрим теперь случай, когда 8 и 8 необязательно односвязны. Выберем некоторое поднятие Р 8 8 — отображение универсальных накрывающих и некоторую точку р над р. Из коммутативной диаграммы [c.37]

Произвольные формы. Кикукава разработал и применил методы решения задач для отверстий и закруглений заданной произвольной формы ). По этому методу последовательные улучшения начального конформного отображения производятся до тех пор, пока не будет достигнуто адекватное приближение к заданной форме области. Подробные результаты получены для задач о концентрации напряжений в растягиваемой пластинке со следующими возмущающими факторами 1) отверстие ромбовидной формы с круглыми закруглениями по углам, 2) двойной вырез в полосе, причем каждый из вырезов имеет две параллельные прямолинейные стороны, соединенные полуокружностью, что придает вырезу форму буквы U, 3) закругленная в виде че верти окружности галтель в месте перехода пластинки от конечной ширины до ширины бесконечной. Результаты для случая 2) очень близки к результатам Нейбера для двойного гиперболического выреза (см. 64). [c.213]

Изложенный здесь подход к решению волновых задач с условиями на движущихся границах тесно связан с методом iJ-конформных отображений для уравнений гиперболического типа [3.25]. К настоящему времени математическая теория iJ-конформных отобра- [c.95]

На основе точных решений интегральных уравнений первого рода, содержаш,их в качестве ядер эллиптические функции Якоби (см. 1.4), получено точное решение контактных задач теории упругости о чистом сдвиге штампом (в общем случае деформируемым) цилиндрического тела, представляюшего собой в сечении область, ограниченную координатными линиями ортогональной линейной системы координат на плоскости, коэффициенты Ламе которой удовлетворяют некоторым условиям [168]. Сюда относятся декартовы, полярные, биполярные, параболические, гиперболические и другие координаты. Аналогичные задачи в случае полосы изучались в работе [44], здесь же предложена схема построения точного решения рассматриваемых задач путем конформного отображения полосы на конечную область. [c.153]

Отметим моменты в которых эта книга отличается от немецкого первоисточника. В первую главу К. Л. Зигель добавил два параграфа, посвяш енных тройным столкновениям в задаче трех тел. Глава II в сугцности не изменилась, за исключением добавленного доказательства сходимости преобразования к нормальной форме Биркгофа отображения, сохраняюгцего плогцадь, вблизи гиперболической неподвижной точки. Основные изменения были внесены в третью главу. Двадцать шестой параграф содержит новое и более простое доказательство теоремы Зигеля о конформных отображениях вблизи неподвижной точки. 32-36 содержат вывод теорем устойчивости для систем с двумя [c.11]

Ростки с гиперболической особой точкой исследуются теоремой Гробмана—Хартмана. Ростки, линейная часть которых — поворот на угол, не соизмеримый с 2я, являются сжимающими или растягивающими, за исключением множества вырожденных ростков коразмерности бесконечность (в это множество попадают, впрочем, такие важные классы, как конформные и сохраняющие площадь отображения, линейная часть которых в неподвижной точке — поворот). [c.107]

Замечание. Здесь слово гиперболический упомянуто в связи с гиперболической геометрией или геометрией Лобачевского и Бойяи. (Ср. следствие 2.10 ниже.) К сожалению, термин гиперболический имеет в голоморфной динамике как минимум три существенно различных широко распространенных значения. Мы можем говорить о гиперболической периодической орбите (с множителем, не лежащим на единичной окружности), или о гиперболическом отображении ( 19), или о гиперболической поверхности, как здесь. Чтобы избежать путаницы, используя это слово в данном геометрическом смысле, я буду писать более точно — конформно гиперболично, сохранив термин динамически гиперболично для остальных двух случаев. [c.28]

Конформно гиперболический случай. Если 8 гиперболично, то Р должно либо сохранять, либо уменьшать метрику Пуанкаре на этой универгальпой накрывающей поверхности. Если бы Р сохраняло метрику на 8, , то / сохраняло бы орбифолдную метрику на 8, г/), и отсюда следовало бы, что каждая периодическая точка отображения / в 5 должна была быть нейтральной, что невозможно. Следовательно, Р должно сжимать метрику, а / должно растягивать метрику. Из компактности J следует, что ЦДРгоЦ 1/к < 1 всякий раз, когда т 8 проектируется в подходящим образом выбранную окрестность IV из J. Значит, /г к > 1 для каждого такого г 6 IV, что г и /(г) не являются точками ветвления. [c.250]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...