Множество бифуркационное семейства

Теорема . 1. В типичном однопараметрическом семействе векторных полей на S , г 2, k l, встречается не более счетного множества бифуркационных значений параметра (в окрестности которых семейство топологически перестраивается). При остальных значениях параметра поле грубое. [c.99]

Определение. Диаграмма Юнга называется хорошей, ели бифуркационные множества у всех типичных семейств наборов с данной диаграммой Юнга локально диффеоморфны (два множества в пространствах разной размерности считаем диффеоморфными, если одно диффеоморфно произведению другого на линейное пространство) и локально диффеоморфны бифуркационному множеству специального семейства наборов [c.154]

Теорема. Для любого типичного семейства наборов многочленов существует двойственное семейство такое, что бифуркационные множества обоих семейств диффеоморфны, а диаграммы Юнга двойственны (теорема двойственности для нетипичных семейств следует из теоремы о конечной определенности, п. 4.7 ниже). [c.155]

Следствие. Бифуркационное множество типичного семейства наборов функций локально диффеоморфно бифуркационному множеству некоторого семейства наборов многочленов. [c.157]

Бифуркационные диаграммы главных семейств (3= ).. Множество особых точек полей любого из семейства (3= ) образует гладкое подмногообразие в произведении фазового-пространства на пространство параметров. Бифуркационная диаграмма для главного семейства (3 ) (множество значений параметра, при которых особые точки семейства сливаются) — это множество коэффициентов многочленов степени р+1, имеющих кратные корни. При р=1 это множество — одна точка, при j, = 2 — полукубическая парабола, при ц = 3 — ласточкин хвост (рис. 5). Деформации векторных полей на прямой с вырожденной особой точкой возникают в теории релаксационных колебаний, как уравнения медленных движений в окрестности точки на складке медленной поверхности ( 2, гл. 4). В п. З.Г указаны только топологические нормальные формы таких деформаций. Для приложений существенны также гладкие нормальные формы они исследуются в 5 главы 2 и оказываются очень похожими на главные семейства (3= ). [c.24]

На каждом из рисунков 15, 16 изображены бифуркационные диаграммы, под ними — фазовые портреты внизу—разбиение полуплоскости параметров (Ь, с), Ь с, на классы топологической эквивалентности легких семейств (12 ). Области, соответствующие трудным семействам, заштрихованы. Номер открытой области на бифуркационной диаграмме — это номер соответствующего фазового портрета из нижней части 2, 3. ., обозначают фазовые портреты, получаемые из 2, 3,... симметрией (х, у) (у, х). При переходе через оси ei и ег без нуля на положительных полуосях х та у рождаются из нуля особые точки или происходит обратный процесс при переходе через луч Б1 (Пг) от особой точки на оси у (на оси х) отделяется или в ней исчезает особая точка, расположенная строго внутри первого квадранта. Легкие семейства (12 ) типа 2 и 2а, а также типа 3 и За отличаются друг от друга только при нулевом значении параметра множества 0-кривых соответствующие вырожденных систем неэквивалентны (рис. 16, г, 5) [c.35]

Цель настоящего параграфа — описать (насколько возможно) бифуркации в типичных однопараметрических семействах векторных полей на замкнутых поверхностях, а также структуру бифуркационного множества в функциональном пространстве векторных полей. [c.97]

Типичные семейства векторных полей. Типичное семейство векторных полей — это дуга в функциональном пространстве, трансверсально пересекающая бифуркационную поверхность в типичной точке . Чтобы строго определить эти точки, необходимо выделить класс систем общего положения в множестве всех негрубых систем. [c.100]

Следствие. Для любого семейства векторных полей Ое , пересекающего бифуркационное множество в точке Vq и не имею- [c.121]

В случае 2) после рождения тора почти для любого однопараметрического семейства векторных полей при изменении параметра число вращения меняется, следовательно, происходит бесконечное множество бифуркаций. Однако есть семейства, для которых при изменении параметра число вращения на торе не меняется — бифуркационная поверхность может быть и достижимой. [c.123]

Бифуркационная диаграмма особенности с одномерным критическим множеством имеет 5 компонент, отвечающих различным вырождениям функций семейства [c.84]

Пример. Бифуркационное множество типичного двупараметрического семейства имеет особенностями полукубические параболы и пары кривых, касающихся, как кубические параболы (рис. 89). Граница же имеет особенностями лишь угловые точки. [c.144]

Особенности бифуркационных множеств типичных трехпараметрических семейств. Напомним, что зонтик Уитни задается уравнением и =поу (рис. 90), а сложенный зонтик — уравнением u =w v (рис. 91). [c.144]

Таким образом, особенность бифуркационного множества типичного двупараметрического семейства в окрестности точки с диаграммой Юнга (2, 1) образована, с точностью до диф- [c.152]

Бифуркационное множество диаграммы ( +1. 1,..., 1) единиц) локально диффеоморфно множеству тех значений а, Ь. с) параметров семейства многочленов [c.154]

Бифуркационное множество набора функций локально диффеоморфно замыканию объединения мест полюсов семейства кривых, зависящих от параметра (каждая из кривых семейства, вместе с полюсами, помещена в свое пространство). [c.156]

Доказательства всех этих результатов основаны на построении подходящего отображения рассматриваемого дополнения к бифуркационной диаграмме на дополнение дискриминанта Ак-х- Это отображение отправляет точку базы семейства функций в неупорядоченное множество, состоящее иэ к критических значений, рассматриваемых как точ- [c.135]

Однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от сферы. Ясно, что для любой поверхности можно выделить класс однопараметрических семейств векторных полей функциональном пространстве, пересекающих бифуркационное множество лишь в точках множества квазиобщих векторных полей. Это сделано в [169], где приведена схема доказательства открытости такого класса в множестве всех однопараметрических семейств. Изо- [c.102]

Точки накопления бифуркационных значений в семействе из ф - -(Л ) и бифуркации в окрестностях этих точек могут быть рассмотрены аналогично соответствующим бифуркациям в семействе Ф (5 ), по крайней мере, если поверхность ориентируема [169]. Однако для поверхностей, на которых система может иметь нетривиальные (т. е. отличные от положения равновесия и цикла) устойчивые по Пуассону траектории, т. е. для всех поверхностей, кроме сферы S , проективной плоскости и бутылки Клейна К , в типичном однопараметрическом семействе могут неустранимым образом встречаться векторные поля с бесконечным неблужающим множеством. Бифуркации в таких семействах совершенно не описаны, кроме бифуракций систем с глобальной секущей на двумерном торе (см. следующий пункт). Однако известно, что существуют типичные однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от S , Р , К , которые содержат негрубые векторные поля бесконечной степени негрубости (С. X. Арансон, Функц. анализ и его прил., 1986, 20, № 1, 62—63). Для систем на справедлив следующий результат. [c.103]

Множество всех значений параметра для типичного семейства делится на область фундаментальных систем, ее границу и дополнительную область. Граница состоит из нескольких стратов бифуркационного множества (в частности, кратность корня определителя Вронского на границе четна). [c.144]

Теорема (М. Э. Казарян). Бифуркационные множества ти-1ИЧНЫХ трехпараметрических семейств наборов функций ло-сально диффеоморфны одной из следующих трех поверхностей [c.145]

Бифуркационные множества и клетки Шуберта. Типич--jHe особенности бифуркационных множеств семейств наборов /г )ункций связаны с естественной стратификацией многообразия Грассмана -мерных подпространств пространства с полным )лагом. Приведем нужные нам сведения об этой стратификации. [c.149]

Связь бифуркационных множеств семейств наборов функций с клетками Шуберта состоит в следующем. Пусть дан набор функций (/ьСопоставим каждому 1 (из области определения набора) -мерную плоскость в пространстве струй функции в нуле, получающуюся следующей конструкцией сдвигом независимой переменной переносим в О, берем струи сдвинутых функций в точке О и натягиваем на них плоскость (мы предполагаем, что она п-мерна — это так для струй достаточно высокого порядка для всех наборов, кроме множества растущей с порядком коразмерности). [c.151]

Теорема (М. Э. Казарян). Ограничение расслоения из приданого типичного семейства на замыкание страта (2) (страта (1,1)) стратификации Шуберта неособо в точности в точках стратов (2,1,...,]) (соответственно, (й, 1)). В частности, одна из компонент бифуркационных множеств для диаграмм Юнга (2,1,.. ., 1) и (/г, 1) гладкая. [c.154]

Рассмотрим теперь бифуркационные множества. Пусть кривая г фиксирована, а плоскость Ь меняется. Тогда кривая ф-тоже меняется. Параметр такого семейства кривых лежит в грассманиане й-мерных плоскостей пространства Р . При каждом t сопровождающий флаг кривой г в точке r t) делит многообразие Грассмана на клетки Шуберта. Назовем к-разверткой кривой г объединение по 1 клеток Шуберта коразмерности 2 —с диаграммами Юнга (2) и (1,1). Легко видеть, что А-развертка — бифуркационное множество указанного выше семейства кривых. Таким образом, типичные особенности бифуркационных множеств — это особенности разверток неуплощающихся кривых в грассманиане. И в заключение отметим, что теорема двойственности на языке разверток кри- [c.159]

Рис. 25. Двойное множество Мандельброта бифуркационное множество в плоскости параметра Л для семейства квадратичных отображений г 1-+ + Лг. Центр фигуры расположен в точке Л = 1

Рис. 25. Двойное множество Мандельброта <a href="/info/372027">бифуркационное множество</a> в плоскости параметра Л для семейства <a href="/info/365594">квадратичных отображений</a> г 1-+ + Лг. <a href="/info/463604">Центр фигуры</a> расположен в точке Л = 1

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...