Границы фрактальных областей притяжения Области притяжения

ГРАНИЦЫ ФРАКТАЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ. [c.249]

Выяснилось, что фрактальные понятия применимы не только в описанию структуры динамического аттрактора в ходе исследований хаоса было остановлено, что и другие геометрические объекты, такие, как фаница между хаотическими и периодическими движениями в пространстве начальных условий или параметров, также обладают фрактальными свойствами. Учитывая это, мы посвятили специальный раздел фрактальным границам области притяжения, [c.212]

Прежде чем мы займемся изучением задачи с фрактальной границей области притяжения, полезно рассмотреть случай, когда граница области гладкая, но движение чувствительно к выбору начальных условий. С такой ситуацией мы встречаемся, например, в переходной динамике частицы с затуханием. Этот одномерный пример служит простой моделью поведения упругой балки после выпучивания или частицы в потенциале с двумя ямами. Уравнение движения в этом случае имеет вид [c.250]

ФРАКТАЛЬНАЯ ГРАНИЦА ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ ВЫНУЖДЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЕ С ДВУМЯ ЯМАМИ [c.252]

ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ КРИТЕРИЙ ФРАКТАЛЬНОСТИ ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ [c.254]

Во-первых, мы ожидаем, что системы, наиболее восприимчивые к поведению фрактальной границы области притяжения, обладают неоднозначностью конечных режимов у них существует несколько состояний равновесия или периодических движений. Например, в задачах об ударе упруго-пластической арки (см. [155, 184]) или о периодическом воздействии на ротор или маятник существуют по крайней мере два возможных конечных режима. В случае арки упруго-пластическая балка в конечном состоянии может быть обращена выпуклостью вверх или вниз. В случае ротора вращение может происходить как по часовой стрелке, так и против нее. [c.255]

Второе соображение относительно возможности существования фрактальных границ областей притяжения более тонкое и требует более изощренной математической интуиции. В гл. 1 и 5 было показано, что нелинейные системы, определенным образом растягивающие и складывающие некоторые области фазового пространства, порождая так называемое отображение типа подковы, в какой-то мере обладают чувствительностью к начальным данным и допускают множество субгармонических решений. Как было показано в гл. 5, свойства, присущие отображению типа подковы, возникают, когда у диссипативных нелинейных систем отображение Пуанкаре, индуцируемое потоком в фазовом пространстве, порождает гомоклинические точки. Холмс, используя метод Мельникова (см. уравнение (5.3.20)), предложил критерий (см. [57]). В случае вынужденного движения частицы в потенциале с двумя ямами этот критерий служит очень надежным признаком существования фрактальных границ областей притяжения даже в тех случаях, ког- [c.255]

Резюмируя, мы можем утверждать, что, судя по некоторым до статочно веским соображениям, для многих динамических систем множественность решений и существование гомоклинических траек. торий или свойств, аналогичных свойствам отображения типа под. ковы, могут служить критерием фрактальности границ областей притяжения и предсказуемости поведения нелинейных систем. [c.258]

При заданной постоянной С можно исследовать область притяжения начальных значений х, у), приводящих к тому или иному поведению системы. Показано, что граница этой области притяжения также обладает фрактальными свойствами. [c.267]

Б.11. ФРАКТАЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЕ КАПЛАНА-ЙОРКЕ [c.285]

Метод вычисления размерности d для границ областей npитяж ния описан в серии работ мэрилендской группы. Их метод отличается от метода вычисления d для траектории, так как граничные точки не заданы, а формируются из множества точек, не пpинaдл жащих ни одному из притягивающих множеств. Такие фрактальные множества получили название жирных фракталов. (Подробности о жирных фракталах и их приложениях к вычислениям гранип областей притяжения см. в работе Гребоги и др. [54].) [c.258]

В предыдущих разделах мы описали, каким образом развитие фрактальной границы области притяжения приводит к нeoпpeд [c.258]

В других работах Янсити и др. [86] и Гуинн и Вестерфельт [58] использовали уравнение маятника с периодической вынуждающей силой для моделирования электронного устройства, основанного на одном явлении, известном под названием джозефсоновского перехода. Эти авторы также получили при различных начальных условиях границу области притяжения, выглядящую как фрактальная. [c.260]

Множество Мандельброта. Еслиг — комплексное переменное, то квадратичное отображение г — -I- с имеет более чем один аттрактор. Фиксируя начальные условия и изменяя комплексный параметр с, можно определить область притяжения как функцию параметра с. Возникающая при этом граница области притяжения оказывается фрактальной, а сама область известна под названием множества Мандельброта в честь математика, работающего ныие в фирме 1ВМ. [c.270]

Пример двумерного отображения с фрактальной границей области притяжения был исследован Капланом и Йорке [90] и Макдо- [c.285]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...