Аттрактор Хенона

Аттрактор Хенона. Слоистая структура аттрактора хорошо видна на модели Хенона [187], которая описывается простым двумерным [c.419]

Чтобы увидеть структуру аттрактора, Хенон выбрал относительно небольшое значение Ь — 0,3. В этом случае — 0,1225 [c.420]

Рис. 7.6. Слоистая структура аттрактора Хенона (по данным работы [187]). а — траектория с начальными условиями в неустойчивой неподвижной точке б—г — последовательные увеличения малого участка фазовой плоскости (квадрат). Видна масштабная инвариантность структуры аттрактора.

Математически доказать стохастичность аттрактора Хенона пока не представляется возможным. Ситуация значительно упрощается для разрывного отображения. Такой аттрактор с заменой на I л I в (7.1.14) был рассмотрен Лози [285], а доказательство его хаотичности дано Мисюревичем [301 ]. [c.422]

Хенон (1976) рассчитал (при л = 1,4 и р=0,3) 5 10 итераций, которые вырисовывали в плоскости (л , у) множество линий, по-видимому, канторовской структуры, хотя стохастичность этого аттрактора строго еще не доказана (при замене в (2.101) [c.137]

Уравнения (1.5.1), приводящие к возникновению странного аттрактора, зависят обычно от некоторого параметра (аналогичного величине возмущения в гамильтоновых системах), изменение которого меняет характер движения. На примерах модели Хенона— Хейлеса и ускорения Ферми мы видели, что в гамильтоновых системах при увеличении возмущения траектории из регулярных становятся стохастическими. Подобно этому, и в диссипативных системах при изменении параметра возможен переход от периодического движения к хаотическому на странном аттракторе. Во гао-гих случаях такой переход происходит путем последовательного удвоения периода движения вплоть до некоторого критического значения параметра, за которым структура аттрактора изменяется и движение становится хаотическим. Дальнейшее увеличение параметра может привести к обратному процессу или к появлению простого аттрактора другой симметрии. Еще одна интересная особенность таких систем заключается в том, что обычно можно найти поверхность сечения, на которой движение сводится приближенно к необратимому одномерному отображению. Необратимость означает здесь многозначность обратного отображения. Такие отображения возникают во многих физических задачах и будут подробно рассмотрены в 7.2. [c.76]

В первом параграфе этой главы обсуждаются основные свойства диссипативных систем, такие, как сжатие фазового объема и регулярное движение на простых аттракторах. Затем вводится понятие странного аттрактора со стохастическим движением. В 1.5 уже приводился пример странного аттрактора. Здесь же обсуждаются два других примера диссипативных систем со странными аттракторами система Рёслера и отображение Хенона. Особое внимание обращается на те свойства хаотического движения, которые связаны с возможностью перехода к одномерному отображению, а также с геометрической структурой странного аттрактора. Эта геометрия описывается в терминах канторовых множеств дробной фрактальной размерности. Обсуждаются способы вычисления такой размерности и ее связь с показателями Ляпунова. [c.410]

Наименьшая размерность фазового пространства, в котором возможен странный аттрактор, равна трем, как в модели Лоренца, описанной в 1.5. Еще более простая система была рассмотрена Рёслером [350], и мы опишем ее ниже. Интересные свойства двумерного отображения со странным аттрактором будут рассмотрены на примере отображения Хенона [187]. [c.416]

Численные данные для отображения Хенона показывают, как мы видели выше, что структура аттрактора повторяется на все более и более мелких масштабах. Ее можно сопоставить с канторовым лгаожеством, свойства которого позволяют значительно лучше понять природу странного аттрактора. Рассмотрим вначале размерность кантор она множества. Для этого нам понадобится общее определение фрактальной размерности. Затем мы рассмотрим простой пример канторова множества и найдем его размерность. И наконец, обсудим некоторые методы вычисления и измерения фрактальной размерности странных аттракторов, уделяя основное внимание ее связи с показателями Ляпунова. Наше изложение следует частично обзорам Треве [411 ] и Отта [324]. [c.422]

Затем, подставляя это решение, как и раньше, в (7.3.49а), получим уравнение для аттрактора в первом порядке. Отображение Хенона (7.1.14) имеет вид (7.3.49) с G (х, у) = х. Структура аттрактора, найденная таким методом, удивительно хорошо совпадает с численными результатами. [c.467]

Модель Фейгенбаума хорошо подтверждается численными экспериментами на простых моделях. Как мы видели выше, бифуркации удвоения периода найдены и во многих динамических системах с малой размерностью, таких, как аттрактор Рёслера, отображение Хенона, уравнение Дюффинга и др. [Некоторые эксперименты по конвекции Рэлея—Бенара обнаруживают эти бифуркации, а также некоторые признаки их универсальности. Спектры скорости высокого разрешения в эксперименте Рэлея—Бенара с водой, показанные на рис. 7.33 [155, 157], демонстрируют некоторые из бифуркаций удвоения. Было проведено также сравнение экспериментальных значений амплитуд субгармоник с предсказаниями модели Фейгенбаума. Как показано в п. 7.26, отношение амплитуд развитых субгармоник должно быть равным у х 6,6. На рис. 7.33,г [c.482]

Хенон М. Двумерное отображение со странным аттрактором // Странные аттракторы / Пер. с англ. под ред. Я. Г. Синая и Л. П. Шильникова — М. Мир, 1981. — С. 152-163. [c.551]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...