Инвариантное распределение на аттракторе

Существование инвариантной меры (сосредоточенной на аттракторе), позволяющее распространить эргодическую теорию на диссипативные системы, было доказано для широкого класса динамических систем Боголюбовым и Крыловым (см. [447], т. ), с. 411). Инвариантная мера единственна, если существует только один аттрактор (одна эргодическая компонента движения (ср. п. 5.2а), или строгая эргодичность [486], с. 43). Равновесным распределением ниже в основном тексте называется инвариантное распределение, сосредоточенное на одном аттракторе. Для него временные и фазовые средние совпадают в пределах области притяжения этого аттрактора.— Прим. ред. [c.444]

Рассмотрим задачу о вычислении инвариантного распределения Р (л ) на странном аттракторе. Как упоминалось в п. 7.2в, Р (л ) удовлетворяет уравнению [c.466]

Таким образом, в той области параметров, в которой система (22.9) при ц О описывается отображением (22.12), (22.13) в ее фазовом пространстве имеется стохастический аттрактор, на котором существует инвариантное распределение вероятностей, а движение обладает свойством перемешивания. [c.475]

Адекватным математическим образом временного порядка и хаоса стали аттракторы, т. е. устойчивые состояния равновесия, устойчивые периодические движения или автоколебания и, наконец, странные аттракторы. Адекватным математическим образом пространственного порядка и хаоса в двойственном представлении распределенной динамической системы оказались седловые состояния равновесия, седловые периодические движения и более сложные седловые инвариантные множества. [c.41]

Однако фактически странные аттракторы появились впервые в трехмерных потоках и связанных с ними двумерных отображениях. В этом случае также имеет место последовательность бифуркаций с удвоением периода. Для понимания поведения таких систем важно знать движение вблизи сепаратрисных слоев и инвариантные распределения ). Несмотря на соответствие между одномерными и двумерными отображениями, наше знание последних недостаточно. Например, в настоящее время нет никакого метода для отыскания перехода к странному аттрактору в лшого.мерных системах. [c.20]

Мы уже видели, что хаотическое движение может возникать в диссипативных потоках с размерностью фазового пространства не меньше трех, или в соответствующих этим потокам обратимых отображениях Пуанкаре, размерность которых не менее двух. В общем случае хаотическое движение имеет место лишь для узких интервалов параметров. В этом существенное отличие от гамильтоновых систем, где хаотическое движение сохраняется, как правило, в широком диапазоне параметров. Ниже описаны два критерия локальной стохастичности для диссипативных систем. В п. 7.3а метод квадратичной ренормализации применяется к двумерным обратимым отображениям и показывается сходимость последовательности бифуркаций удвоения периода и возникновение локального хаотического движения. В п. 7.36 получен критерий перехода к хаотическому движению вблизи сепаратрисы на примере вынужденных колебаний осциллятора с затуханием. Наконец, в п. 7.3в pa ютpeнa модель ускорения Ферми с диссипацией и используется описание хаотического движения с помощью уравнения ФПК. Это уравнение позволяет получить первое приближение для инвариантного распределения на странном аттракторе. [c.453]

Трехмерные потоки приближенно описываются обычно с помощью одномерных необратимых отображений, для которых и определяется численно инвариантное распределение [324, 368]. Мы уже знаем два таких примера аттрактор Лоренца ( 1.5) и аттрактор Рёслера (п. 7.16). Однако прямое сравнение действительного распределения и одномерного приближения проводится не часто. Израйлев и др. [210] сравнили полученные численным методом распределение Pi (х) и распределение [c.467]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...