Аттракторы-многообразия

Аттракторы-многообразия 49—55 ---стягивание в предельный [c.1]

Аттракторы, классификация по показателям Ляпунова 72, 73, 308 Аттракторы-многообразия 49—55 [c.412]

Оставшиеся рисунки иллюстрируют дальнейшие возможные изменения фазового портрета. На рис. 20д показан момент образования -критического седло-узла его исчезновение приведет к рождению странного аттрактора. На рис. 20 е изображено первое простое касание неустойчивого и устойчивого многообразий точки Q. В этот момент и при дальнейшем изменении параметров, приводящем к рождению гомоклинических точек транс-версального пересечения, аттрактор в кольце является странным. На рис. 20 ж уже произошла бифуркация удвоения периода точки N и возникла устойчивая двоякопериодическая траектория (замкнутой инвариантной кривой не стало). При дальнейшем изменении параметров может реализоваться каскад [c.51]

Пусть такое поле соответствует нулевому значению параметра семейства. Тогда для семейства справедливы заключения Г и 2° теоремы п. 4.3 только аттрактор в утверждении 1° нужно заменить на инвариантное многообразие М1 , оно не является ни аттрактором, ни репеллером. А [c.118]

Тем самым, аттрактор не является одномерным многообразием. [c.121]

С другой стороны, при достаточно малом е, некоторая степень диффеоморфизма уменьшает двумерные объемы. Поэтому аттрактор не является и многообразием размерности выше 1. Следовательно, аттрактор — странный. [c.121]

Согласно широко распространенной гипотезе, предельное поведение траекторий типичной динамической системы на компактном многообразии описывается следующим образом. За конечное время каждая положительная полутраектория попадает в окрестность притягивающего множества — аттрактора. Если аттрактор достаточно массивен — отличен от конечного объединения особых точек и предельных циклов, — то поведение фазовых кривых на аттракторе и вблизи него хаотично. Аналогичная гипотеза имеется для диссипативных систем, фазовое пространство которых — компактное многообразие с краем, а поле системы направлено внутрь на краю. [c.156]

Особенно полезно рассмотрение равновесных состояний в случае гиперболич. ДС. В частности, инвариантная мера на гиперболич. аттракторе, к к-рой сходятся ср. арифметические сдвигов риманова объёма, служит равновесным состоянием для ф-ции ф, равной в каждой точке X логарифму локального коэф. растяжения / j ) риманова объёма на неустойчивом многообразии, проходящем через [c.635]

Дальнейшие изменения с ростом параметра г включают инвариантные многообразия <57 и <57 в множество инвариантных седловых движений /. Происходит это при г > 24,06 (рис. 7.22 и 7.21). Ближайшее следующее изменение фазового портрета происходит при г == 24,74 периодические движения Г, и Га сливаются соответственно с состояниями равновесия 0 и Ог. На секущей плоскости этому соответствует слияние неподвижных точек Г1 и Гг с точками >1 и Ог. Таким образом, при г = 24,06 возникает стохастический аттрактор. Он уже рассматривался в 2 гл. 6 (ситуация 4). Дополним теперь это рассмотрение выяснением вида предельного множества / при г = 24,06 и доказательством возможности сведения преобразования секущей плоскости [c.190]

Так как конечномерное гладкое многообразие обладает естественной локально компактной топологией, теория гладких динамических систем естественно использует понятия и результаты топологической динамики. Другая, более глубокая, причина зависимости дифференциальной динамики от топологической состоит в том, что при изучении асимптотического поведения гладких динамических систем часто возникают весьма сложные негладкие явления, которые в других ситуациях были бы отброшены как патологические. В частности, некоторые важные инвариантные множества гладких систем, например аттракторы (см. определение 3.3.1), могут не обладать никакой гладкой структурой, и, следовательно, такие множества должны исследоваться с другой, негладкой, точки зрения. Символическая динамика, область, изучающая специальный класс топологических динамических систем, которые возникают как замкнутые инвариантные подмножества преобразования сдвига в пространстве последовательностей (см. 1.9), является особенно важной в этом отношении. Для дальнейшего рассмотрения связей между топологической и гладкой динамикой мы отсылаем читателя к 2.3. [c.22]

Бифуркации, в результате которых исчезают статические или периодические режимы, могут приводить к тому, что система выходит на так называемый хаотический , или стохастический , режим. Его математический образ в фазовом пространстве, называемый странным аттрактором, топологически может быть устроен по-разному, чем, в частности, определяется многообразие путей его возникновения. Соответствующие бифуркации мы обсудим в гл. 22. [c.321]

Оценка сверху размерности максимальных аттракторов. Аттрактор может не быть многообразием. Рассмотрим компакт в метрическом пространстве. Назовем -мерным объемом конечного покрытия компакта шарами сумму -ых степеней радиусов шаров. [c.42]

В случае, когда S — диффеоморфизм класса гладкого многообразия М., обладающий гиперболическим аттрактором Л, Кифером найдены условия, при выполнении которых последовательность мер Яе сходится к единственной ы-гиббсовской мере на Л. Для частного случая, когда S — диффеоморфизм Аносова гладкого компактного многообразия, этот результат был получен ранее в [41]. [c.151]

Это — незатухающие колебания. При числе размерностей больше двух могут возникнуть аттракторы других типов. К важному классу относятся аттракторы, лежащие на многообразиях или образующие [c.49]

Сравнительно недавно выяснилось, что могут существовать аттракторы, не являющиеся многообразиями. Такие аттракторы получили название странных , или хаотических , аттракторов. Считаем своим долгом предупредить читателя о некоторых математических тонкостях. Понятие странный аттрактор в настоящее время применяется главным образом в тех случаях, когда выпол- [c.55]

Касание неустойчивого многообразия седлового цикла с устойчивым многообразием того же самого или другого седлового цикла. В первом случае возникает гомоклиническая траектория, и при е>8 —нетривиальное гиперболическое множество, во втором — гетероклиническая траектория, и при е>8 аттрактор уже не является тором. [c.161]

Для динамич. систем с размерностью фазового пространства, большей двух, устойчивые и неустойчивые многообразия седловых состояний равновесия и (или) седловых предельных циклов наз. многомерными С. или сепаратрисными многообразиями. Многомерные С. могут разделять фазовое пространство на области притяжения разл. аттракторов. Связанные с сепаратрисны-1Ш многообразиями бифуркации могут приводить к возникновению странны.х аттракторов, напр., аттрактор Лоренца рождается в момент, когда неустойчивые С. седла пересекаются устойчивыми сепаратрисными шогообразиями седловых предельных циклов. [c.487]

При изучении сложных нелинейных процессов, поддающихся исследованию ана дитическими методами с большим трудом, ЭВМ позволяют провести большие чис ленные эксперименты с целью проверки или выдвижения гипотез о качественной или количественной стороне нелинейного явления. Обнаруженная эвристическим путем на ЭВМ закономерность может служить источником новых аналитических разработок и исследований. Такое применение ЭВМ привлекало внимание многих ученых уже с самого начала появления ЭВМ. Так, одна из первых ЭВМ была использована Ферми и Уламом [32] с целью исследования распределения энергии по частотам в нелинейных волновых процессах. Ими было обнаружено аномальное, сохраняющееся длительное время, распределение энергии по первым основным частотам. Полное аналитическое исследование этого факта отсутствует и в настоящее время. С помощью ЭВМ был об-наружен и целый ряд других очень интересных и необычных эффектов в нелинейных процессах. Упомянем в этой связи образование странных аттракторов — сложных предельных многообразий нелинейных динамических систем, к которым приближа ются со временем траектории динамической системы [33], открытие так называемого Т-слоя в плазме, неожиданно образуюпдегося при разлете плазменного шнура. Такой Т-слой характеризуется аномально высокой температурой [34]. С помощью ЭВМ в последнее десятилетие было сделано удивительное открытие о количественной уни версальности поведения широкого класса нелинейных систем уравнений, зависящих от параметра, в процессе ветвления решений при изменении параметра, когда число решений может неограниченно расти с удвоением периода. Оказалось, что две посто янные а = 4.6692. .. и Л = 2.5029. .. характеризуют переход к хаотическому поведе нию решений очень широкого класса нелинейных систем уравнений [35]. Аккуратное аналитическое обоснование этого факта еще ждет своих исследователей. [c.24]

Для структурной устойчивости системы с более чем двумя степенями свободы по гипотезе Смейла (1965) необходимо и достаточно, чтобы у каждого осуществляемого фазовым потоком преобразования Г/ фазового пространства множество Q неблуждающих точек было гиперболическим, а множество периодических точек — всюду плотным в й (так называемая аксиома А ) и, кроме того, чтобы каждое устойчивое и каждое неустойчивое многообразия точек из Q были бы трансверсальными. Достаточность этих условий доказана в довольно общем виде, а необходимость — пока что лишь при более ограниченном определении структурной устойчивости. Стохастичность аттракторов в системах, удовлетворяющих аксиоме А , доказана Боуэном и Рюэллем (1975). [c.128]

Мы покажем, что мера 1Аф( ) непрерывно зависит от потока / (предложение 5.4). В этом же направленин Я. Г. Синай 26] доказал устойчивость меры Лф по отношению к малым сто.хастическим возмущениям У-потоков ). Формула (I) верна для почти всех точек х в области притяжения аттрактора можно показать, что для А-потоков класса объединение областей притяжения всех аттракторов (включая стоки, т. е. притягивающие точки) покрывает все многообразие М с точностью до множества лебеговской меры нуль. Эквивалентное утверждение если базисное множество не является аттрактором, то его устойчивое многообразие имеет меру нуль (теорема 5.6). [c.146]

Т и —гладкое многообразие. Нетрудно вндеть, что М представляет собой двумерную сферу с четырьмя дырками (упражнение 17.2.1). Поскольку f(—x) = -f x), мы получаем индуцированное отображение / М —уМ, которое дифференцируемо и инъективно. Заполняя S M четырьмя отталкивающими точками (одной неподвижной и тремя периодическими точками периода три), получаем диффеоморфизм / 5 5 с гиперболическим аттрактором (получающимся при проектировании множества А на М). Это и есть аттрактор Плыкина р]. [c.541]

Мы встречались с понятием марковского разбиения неоднократно при рассмотрении кодирования для растягивающих отображений (п. 2.4 б), при изучении множеств типа подковы для квадратичных отображений (п. 2.5 б) и подковы Смейла (п. 2.5 в), при исследовании гиперболического автоморфизма тора (п. 2.5 г), гиперболических отталкивающих множеств для общих одномерных систем (теорема 16.1.1) и аттрактора Смейла ( 17.1). Во всех этих примерах марковские разбиения дают либо сопряжение с топологической цепью Маркова, либо полусопряжение, которые описываются весьма элементарным образом. Оказывается, это явление представляет собой феномен, характерный для малых размерностей и возникающий благодаря тому факту, что граница каждого из упомянутых множеств представляет собой конечное объединение отрезков устойчивых и неустойчивых многообразий. Уже для гиперболического автомтфизма тора Т необходимо определять элементы разбиения таким способом, чтобы граница содержала несчетное множество отрезков устойчивых или неустойчивых многообразий. Таким образом, геометрическая структура марковских разбиений в высших размерностях оказывается гораздо более сложной. Однако возможность рассматривать марковские разбиения существует, и с помощью этих разбиений мы сможем установить достаточно хорошее соответствие между марковской моделью и компактным локально максимальным гиперболическим множеством Л. [c.593]

Таким образом гиперболический аттрактор целиком состоит из неустойчивых многообразий, а сложность топологической структуры такого аттрактора связана с тем, что пересечение неустойчивых многообразий с трансверсальным к ним подмногообразием представляет собой множество канторовского типа. [c.136]

В соответствии с общим стилем этой книги мы изложим только математически строгие результаты, относящиеся к эрро-дической теории странных аттракторов. Прежде всего, мы несколько изменим терминологию. Пусть поток 5 порождается гладким векторным полем на компактном гладком многообразии М. [c.197]

Jilи), что все результаты справедливы и в том случае, когда преобразование Г терпит разрыв первого рода не на одной, а ла конечном числе кривых. В равной степени несущественна двумерность фазового пространства, важно лишь, чтобы сжимающиеся слои (и, тем самым, многообразия разрыва) имели коразмерность один. Для соответствующей динамической системы на п-мерном кубе также существует одномерный стохастический аттрактор, причем при помощи факторизации по сжимающимся слоям снова можно перейти к одномерному отображению отрезка в себя. [c.203]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...