Пути возникновения странных аттракторов

Пути возникновения странных аттракторов [c.477]

В этом параграфе мы обсудим наиболее типичные пути возникновения странных аттракторов в системах с трехмерным фазовым пространством. [c.477]

Мы сейчас опишем несколько экспериментов, демонстрирующих качественно различные пути возникновения гидродинамической турбулентности, которые соответствуют различным путям возникновения странных аттракторов, обсуждавшихся нами в предыдущей главе. [c.497]

Пути возникновения временного хаоса могут быть прослежены на моделях, в которых движение совершается в ограниченной области, когда спектр возмущений дискретен, и хаотизация наступает поэтапно. Бифуркационные переходы на классе периодических функций изучались в работах [31, 32] в [33] задача решалась с граничным условием ЪA ЬZ = О на концах расчетной области. В [31] указаны два пути появления хаоса в системе разрушение трехмерного тора и субгармоническая бифуркация двумерного тора. В [33] обнаружен новый механизм возникновения хаоса, детальный анализ которого в применении к другой задаче дан в работе [34]. Упомянем здесь также исследования бифуркационных переходов (в том числе между странными аттракторами различной размерности), проведенные для конечно-разностного аналога уравнения [c.249]

На рис. 95 для случая Ве = 30, Х = 20 представлена зависимость от времени безразмерного трения Тгг = 9 (1, t)/Re и величины a t) = = 0 (О, )/Ве. Как видим, решение является периодическим с безразмерным периодом Т = 0,4. Нри дальнейшем увеличении Ие зависимость от времени усложняется. Такое поведение решения краевой задачи (41), (42) качественно напоминает поведение решений динамических систем, в частности систему Лоренца. Поэтому не исключено, что существует критическое число Рейнольдса Ве° ( ), при котором притягивающее множество нестационарных решений обретет черты странного аттрактора и решение станет стохастическим. К сожалению, исследование поведения решения нестационарной краевой задачи (41), (42) эволюционным путем с ростом Ве становится все более затруднительным, а наличие дополнительного параметра еще больше усложняет задачу. Поэтому возникновение стохастичности для точных решений уравнений Навье — Стокса, [c.250]

Бифуркации, в результате которых исчезают статические или периодические режимы, могут приводить к тому, что система выходит на так называемый хаотический , или стохастический , режим. Его математический образ в фазовом пространстве, называемый странным аттрактором, топологически может быть устроен по-разному, чем, в частности, определяется многообразие путей его возникновения. Соответствующие бифуркации мы обсудим в гл. 22. [c.321]

Уравнения (1.5.1), приводящие к возникновению странного аттрактора, зависят обычно от некоторого параметра (аналогичного величине возмущения в гамильтоновых системах), изменение которого меняет характер движения. На примерах модели Хенона— Хейлеса и ускорения Ферми мы видели, что в гамильтоновых системах при увеличении возмущения траектории из регулярных становятся стохастическими. Подобно этому, и в диссипативных системах при изменении параметра возможен переход от периодического движения к хаотическому на странном аттракторе. Во гао-гих случаях такой переход происходит путем последовательного удвоения периода движения вплоть до некоторого критического значения параметра, за которым структура аттрактора изменяется и движение становится хаотическим. Дальнейшее увеличение параметра может привести к обратному процессу или к появлению простого аттрактора другой симметрии. Еще одна интересная особенность таких систем заключается в том, что обычно можно найти поверхность сечения, на которой движение сводится приближенно к необратимому одномерному отображению. Необратимость означает здесь многозначность обратного отображения. Такие отображения возникают во многих физических задачах и будут подробно рассмотрены в 7.2. [c.76]

Рис. 22.16. Возникновение странного аттрактора в трехмерной системе путем последовательности бифуркаций удвоения периода (исходное движение имеет период Го) а — последовательность удвоений в фазовом пространстве (вверху) и на спектрограммах (внизу) б — странный аттрактор в виде складывающейся вдвое и замыкающейся на себе ленты , который возникает вслед за потерей устойчивости движения с периодом 2°°Го (в сечении лента имеет канторовскую структуру [33]

Д. Рюэлль и Ф. Такенс (1971) высказали гипотезу о том, что турбулентность представляет собою завихренное течение вязкой жидкости, эволюционирующее на странном аттракторе (и потому обладающее указанными выше свойствами стохастичности). Они доказали, что у широкого класса динамических систем канторов-ский странный аттрактор (т. е., в некотором общем смысле, турбулентность) может появляться в результате разрушения четырехчастотного движения путем возникновения резонансов его высоких гармоник (а в их работе с Ньюхаузом (1978) это доказательство было распространено и на трехчастотные движения). Ныне обнаружен уже целый ряд и других сценариев стохастизации (т. е. схем возникновения турбулентности). [c.22]

Заголовок главы 8 таков Иерархия нестабильностей лазерного излучения, хаос и пути возникновения хаоса . Математической основой в данном случае служит полученная в предыдущей главе система динамических уравнений для самопульсирующего лазера. Вводятся популярная в работах по синергетике модель Лоренца и сопутствующий ей странный аттрактор устанавливается соответствие лазерных уравнений и уравнений гидродинамики, описывающих конвекцию в ячейке Бенара. Основная часть главы отведена вопросам хаотизации характеристик лазерного излучения, экспериментальным иллюстрациям процессов удвоения периода, перемежаемости, перехода в пичковый режим и т. п. Читателю, желающему изучить этот круг вопросов более подробно и основательно, следует обратиться к уже цитированным монографиям Г. Хакена [1, 2], а также к статьям советских авторов [25, 26], [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...