Векторы основных трансляций

Векторы всегда можно выразить через три независимых вектора основных трансляций а, Ь, с (см. 2 данной главы) [c.66]

Рис. I. Иллюстрация неоднозначности выбора векторов основных трансляций.

Одной и той же пространственной решетке можно сопоставить разные векторы основных трансляций. Рис. 1 иллюстрирует на примере двумерной решетки несколько возможных способов выбора векторов основных трансляций. Эта неоднозначность несущественна, если только выполняется условие, что с помощью выбранных основных векторов можно определить положение всех узлов пространственной решетки. [c.11]

В кристаллографии часто используют другое определение элементарной ячейки кристалла, при котором основное внимание обращается на отражение свойств симметрии. Именно, элементарную ячейку определяют как наименьший объем, ограниченный векторами основных трансляций и обладающий точечной симмет- [c.14]

Примитивная ячейка этой решетки естественно содержит только один атом. Она является параллелепипедом, образованным векторами основных трансляций [c.16]

Гранецентрированную кубическую решетку можно рассматривать как решетку Браве с базисом (2.7), или как четыре вставленные друг в друга простые кубические решетки. Каждый атом в этой решетке окружен 12 соседями. Примитивная ячейка этой решетки является параллелепипедом, образованным векторами основных трансляций [c.17]

А. Простая кубическая решетка с векторами основных трансляций ах, Лу, Обратная решетка характеризуется [c.18]

Строгую трансляционную симметрию имеет только идеальный кристалл бесконечных размеров. Все реальные кристаллы конечны. Наличие граничных поверхностей нарушает трансляционную симметрию. Если линейные размеры кристалла достаточно велики по сравнению со средней длиной- векторов основных трансляций (10 —10 см), то при исследовании объемных свойств можно не учитывать влияние поверхности. Тогда удобно ввести специальные граничные условия на поверхности кристалла, при которых сохраняется трансляционная инвариантность. [c.19]

Трансляции и кристаллические решетки. Определим идеальный кристалл как тело, состоящее из атомов, расположенных в пространственной решетке так, что можно ввести три вектора основных трансляций а, Ь, с, обладающих следующим свойством. При рассмотрении згой атомной решетки из произвольной точки г решетка имеет тот же вид, что и при рассмотрении из точки г [c.21]

Используя это равенство, можно продолжить функцию Еа(к), определенную для значений к, лежащих в первой зоне Бриллюэна, на все Л-пространство., Образованная таким образом функция Еа(к) будет периодической с периодами, совпадающими с векторами bi (i = l, 2, 3) основных трансляций в обратной решетке. [c.24]

Пусть а, Ь и с — примитивные векторы трансляций в реальной кристаллической решетке. Тогда основные векторы обратной решетки можно записать в следующем виде [c.58]

Выше рассмотрены основные типы дислокаций (краевая, винтовая и смешанная) на примере простой кубической решетки. Дислокации в такой решетке, имеющие векторы Бюргерса а<100> или а<110>, или а<111>, единичные (единичной мощности). Эти векторы совпадают с трансляционными векторами решетки, характеризующими тождественную трансляцию, т. е. такой перенос решетки, при котором ее конечное состояние нельзя отличить от начального. Такие дислокации или дислокации п-кратной мощности п — любое целое число) были названы ранее как полные. [c.67]

Трансляциями, или осевыми единицами, называют три основных вектора, являющихся ребрами элементарной ячейки. Абсолютные величины трансляций а, Ь, с называют периодами элементарной ячейки (решетки). [c.182]

Поскольку магнитный дипольный момент — аксиальный вектор, его компоненты имеют те же типы симметрии, что и компоненты вращения Нх, Ву, В г (приложение I). Электрический квадрупольный момент — тензор, компоненты которого ведут себя подобно компонентам поляризуемости, т. е. как произведение двух трансляций. Следовательно, можно пользоваться данными табл. 55 тома II ([23], стр. 274) для типов симметрии составляющих хж, < х(/,. ... Например, для симметричных линейных молекул (точечная группа 1)ос ) компоненты магнитного дипольного момента относятся к типам симметрии и П , а компоненты электрического квадрупольного момента — к типам симметрии Е , Пg, Ад. Следовательно, для того чтобы данный переход был разрешенным для магнитного дипольного излучения, произведение электронных волновых функций верхнего и нижнего состояний должно относиться к тинам 2 или П . Так, при поглощении из полносимметричного основного состояния могут происходить переходы 2 — 2 , П — 2 . Аналогично нри переходах, разрешенных для электрического квадрупольного излучения, произведение волновых функций должно относиться к одному из типов симметрии 2 , П , или А . При поглощении из полносимметричного основного состояния могут иметь место переходы 2 — 2 , Пд — 2д и Ай — 2 . [c.134]

Три основных вектора, являющиеся ребрами элементарной ячейки, называют трансляциями или осевыми единицами. Абсолютную величину трансляций а, Ь, с называют периодами элементарной ячейки (решетки). [c.126]

В нескольких последующих параграфах ( 20—25) рассматриваются неприводимые представления группы трансляций кристалла Обсуждаются основные понятия волновой вектор к, блоховский вектор ф(й), зона Бриллюэна, соотношение полноты и ортонормированности для неприводимых представлений, а также прямое произведение неприводимых представлений группы 5 . Так как является абелевой группой (точнее, прямым произведением трех более простых абелевых групп), математическая теория здесь очень проста. Однако для обсуждения представлений пространственной группы необходимо изложить этот материал в удобной для нас форме. [c.69]

В этой главе установлена тесная связь закона сохранения энергии консервативных систем с однородностью времени, законов сохранения импульса и механического момента замкнутых систем— с однородностью и изотропностью пространства и законов сохранения отдельных составляющих векторов Р и I для незамкнутых систем — с симметрией внешних силовых полей. Но тем самым, по существу, была доказана справедливость теоремы Нетер, играющей важную роль в развитии современной физики Указанная теорема в своей простейшей формулировке утверждает, что сохранение различных динамических параметров механических систем вытекает из инвариантности их механических свойств относительно тех или иных непрерывных и обратимых преобразований пространственных и временных координат (таких, как преобразования сдвига во времени, трансляций и поворотов системы как единого целого в пространстве и т. д.). При этом было показано, что в качестве основной физической величины, способной адекватно характеризовать инвариантные свойства свободных механических систем (как замкнутых, так и находящихся во внешних потенциальных силовых полях), можно использовать полную потенциальную энергию системы. [c.84]

Совершая в кристалле случайные замещения , мы нарушаем это соотношение некоторые физические параметры становятся уже не инвариантными относительно группы трансляций (1.1). Тем не менее некоторые наблюдаемые величины должны все же оставаться достаточно периодическими, чтобы моншо было ввести понятие основной кристаллической решетки должна существовать какая-то физическая процедура, позволяющая ввести набор векторов решетки ). Например, в кристалле магнетика соотношение периодичности (2.1) может хорошо выполняться для усредненной по спину плотности электронов, тогда как локальное значение оператора спина (г) будет меняться от узла к узлу. [c.53]

Если трансляции на основные векторы решетки обозначать соответственно через [c.98]

Сравнивая полученные выражения с (2.5) мы убедимся, что они с точност зЮ до множителя 4я/а совпадают с векторами основных Трансляций объемноцентрированной кубической решетки. Следовательно, зона Бриллюэна гранецентрированной кубической решетки имеет такую же форму, как и ячейка Вигнера —Зейтца объемноцентрированной кубической решетки (см. рис. 4). Она представляет собой усеченный октаэдр, квадратные грани которого лежат в плоскостях кх, к — п1а, а шестиугольные — в плоскостях кх, ку, к — 2)П12а. [c.19]

Г. Гексагональная решетка. Векторами основных трансляций являются два вектора ах и равной длины, расположенных под углом 120° друг к другу. Третий вектор аз имеет произвольную длину и перпендикулярен первьм двум. Зона Бриллюэна представляет собой гексагональную призму. [c.19]

Д. Решетка типа алмаза. Векторы основных трансляций совпадают с полудиагоналями граней куба, т. е. [c.19]

Несмотря на эти преимущества, модель Бриллюэна не всегда является простейшей, особенно при рассмотрении случаев, когда основные трансляции ие равны нли не ортогональны. Рассмотрим случай, когда основные трансляции ортогональны, но не равны. Определяемые (61.58) линии, показанные иа рис. 141, не образуют таких простых зон, как на рис. 137. Однако легко определить систему линий, почти столь же простую, как на рис. 137. Такая система изображена, иапример, иа рис. 142. Эти линии параллельны основным векторам К, а не перпендикулярны к ним, как границы зон Бриллюэна. Сравнительная простота этой модели проявляется ещё больше в случае не-ортогоиальных основных трансляций. Остаётся, конечно, справедливым, что с помощью соответствующих разрезов и перегруппировок зон оба метода переходят друг в друга. [c.310]

Первый шаг. Выберем тройку векторов трансляций а, Ь, с предполагаемой структуры, причем не обязательно, чтобы эти векторы были векторами примитивных трансляций. Исходя из векторов а, Ь, с, образуем векторы А, В, С — основные векторы обратной решетки. Строим ее узлы 6 = НАкВ1С, где /г, к, I — целые числа. Часть из них или все узлы должны совпасть с полученными на экспериментальной карте точками Ак. Если совпадающих точек нет, то, по всей вероятности, мы неверно выбрали векторы а, Ь, с. Можно подбирать а, Ь, с и, соответственно, А, В, С до тех пор, пока часть узлов С не совпадет с экспериментально наблюдаемыми точками Ак. Полученные векторы а, Ь, с будут определять кристаллическую решетку. [c.103]

Совокупность векторов S образует обратное пространство. В качестве каркаса такого пространства рассматривают обратнук> решетку, тройка основных векторов а], аг, Зз которой связана с трансляциями кристалла ai, Нг, аз соотношением [c.14]

Л з —большие числа, аг, Лг, аз —основные векторы трансляций. Предположим, что к этому основному кристаллу приставлено вплотную друг к другу бесконечное число таких же самых кристаллов, тогда трансляции любой точки основного кристалла на векторы Ыгаи Л/ 2 2, 3 3 будут переводить ее в соответствующую точку другого кристалла. Математически условия Борна — Кармана сводятся к утверждению, что операторы трансляций на векторы N 01(1 = 1, 2, 3) тождественны оператору трансляции на нулевой вектор, т. е. [c.20]

V = иМ. Положение элементарных ячеек в основном кристалле определяется векторами решетки п, пробегающими N значений. Соответственно, имеется N операторов трансляций Т , которые образуют Л -мерную группу трансляций. Эта группа Абелева, поэтому все ее неприводимые представления одномерны. Следовательно, собственные значения операторов трансляции невырождены. [c.20]

Мы получили осциллирующую и распространяющуюся на большие расстояния волновую функцию. Основная причина этой столь большой протяженности, однако, связана с приближением, согласно которому мы пренебрегли изменениями с к. В соответствии же с проведенным нами анализом группы трансляций два состояния, лежащие на противоположных гранях зоны Бриллюэна, которые отличаются друг от друга вектором обратной решетки, эквивалентны. Поэтому настоящая собственная функция плавно переходит сама в себя, как только достигает противоположной грани зоны. Пренебрегая же изменением ыГ с к, мы ввели резкий скачок волновой функции на гранях зоны. И именно этот разрыв непрерывности и привел к возникновению распространяющихся на большие расстояния осцилляций. Аккуратно вычисленные функции Ваннье оказываются довольно хорошо локализованными в пределах одной кристаллической ячейки (Вайнрайх [43], показал, что они убывают быстрее любой степени 1/г), хотя, конечно, они и проникают в соседние ячейки, коль скоро имеется перекрытие соответствующих атомных функций. [c.189]

Прежде всего отаетим, что группа К должна содержать инверсию вместе с трансляцией на вектор а в группу Т всегда входит трансляция на вектор -а. Теперь установим, какие оси симметрии может иметь группа К. Выберем в качестве базиса пространства векторов а основные векторы решетки щ,.а2, аз и запишем преобразование Я в новом базисе, в котором все векторы решетки имеют целочисленные составляюшие. Если матрицу ортогонального преобразования Д в этом базисе обозначить через Я, то мы будем иметь [c.94]

Смотреть страницы где упоминается термин Векторы основных трансляций : [c.50] [c.11] [c.15] [c.14] [c.302] [c.313] [c.619] [c.109] [c.17] [c.319] [c.349] [c.9] [c.21] [c.222] [c.21] [c.222] [c.268] [c.136] [c.93] [c.213] [c.104]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...