Точка фокальная к многообразию

Определение фокальной к М точки состоит в следующем. Мы выбрали точку Q так, что при проекции получившегося из М в момент i лагранжева многообразия условие невырожденности в этой точке выполняется. Однако если мы рассмотрим всю фазовую кривую, выходящую из точки р , д ), то в некоторые моменты времени 0 между О и условие невырожденности может не выполняться в точке (р (0), д (0)) лагранжева многообразия Такие точки и называются фокальными точками к многообразию М вдоль рассматриваемой фазовой кривой. [c.411]

Можно показать, что (7.34) влечет (7.33) вдоль геодезической у ( ). Кроме того, для любого б +(у) характеристический показатель Ляпунова а для е -(и) имеем <0. Если условие (7.34) выполняется для векторов V, образующих множеств. Лс=Л1 положительной меры, то поток 5 А является НПГ-потоком. Оказывается, что при некоторых ограничениях геометрического характера на риманову метрику (выражаемых посредством так называемой аксиомы видимости) имеет место альтернатива либо х(Л)=0, либо х(Л) = 1 (и тогда поток 5 изоморфен потоку Бернулли). Вторая возможность реализуется, например, для геодезических потоков на поверхностях рода >0 с римановой метрикой без сопряженных точек, на многообразиях с римановой метрикой без фокальных точек, удовлетворяющих аксиоме видимости, и в некоторых других случаях. [c.162]

Б. Индексы Морса и Маслова. Число определяется как число фокальных к многообразию М точек на отрезке [О, 1 фазовой кривой, выходящей из точки (р , д ). [c.411]

Теорема (О. С. Щербак, 1984). Для препятствия общего положения график функции времени локально диффеоморфен многообразию 2 нерегулярных орбит группы в фокальной для пучка точке асимптотической касательной к геодезической пучка в параболической точке поверхности. Явная параметризация 2 [c.464]

Глава 3 содержит, среди прочего, классификации особенностей границы множества гиперболических дифференциальных уравнений (В. 3. Шапиро и А. Д. Вайнштейн) и особенностей границы множества фундаментальных систем решений линейных дифференциальных уравнений (эта теория М. Э. Казаряна связана со стратификацией Шуберта многообразия Грассмана с бифуркациями точек Вейерштрасса алгебраических кривых и с теорией фокальных многообразий проективных кривых). В этой же главе обсуждаются особенности границы множества неосцилляционных систем (т. е. систем Чебышева) — связь этого вопроса со стратификацией Шуберта многообразия флагов и с порядками Брюа недавно обнаружена Б. 3. и М. 3. Шапиро. [c.9]

Заметим, что определения фокальной к М точки и индекса Морса не зависят от уравнения Шредингера, а относятся просто к геометрии фазового потока в кокасательном расслоении к конфигурационному пространству (или, что то же, к вариационному исчислению). В частности, в качестве лагранжева многообразия М можно взять слой кокасательного расслоения, проходяпщй через точку (рд, 5о) (заданный условием д — д ). [c.411]

В этом случае фокальная к М точка на выходящей из (рд, фазовой кривой называется сопряженной к исходной точке (точнее, проекция этой фокальной точки на конфигурационное пространство называется сопряженной точкой к точке вдоль экстремали в конфигурационном пространстве, выходящей из точки с импульсом р ). В еще более частном случае движения по геодезическим на римановом многообразии фокальная точка к слою кокасательного расслоения называется сопряженной с начальной точкой геодезической вдоль этой геодезической. Например, Южный польос сферы — сопряженная точка Северного полюса вдоль любого меридиана. [c.411]

Лагранжевы особенности — это особенности проекций лагранжевых многообразий на конфигурационное пространство. Такие особенности встречаются при исследовании решений уравнения Гамильтона — Якоби в целом, при изучении каустик, фокальных или сопряженных точек, при анализе распространения разрывов и ударных волн в механике сплошной среды, а также в задачах, приводящих к коротковолновой асимптотике (см. добавление И). [c.415]

Основные результаты, описывающие топологические и эргодические свойства геодезических потоков с гиперболическим поведением траекторий (и многообразиях без сопряженных или без фокальных точек, или отрицательной кривизны), а также их связь с римановой геометрией и классической механикой приведены в обзоре [33]. Там же имеется обширная библиография по этой теме, а также рассмотрены другие динамические системы геометрического происхождения (потоки реперов и потоки орициклов). [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...