Динамических систем ансамбль

Джозефсона контакты 44 Динамических систем ансамбль 103 Дипольное приближение 186 Дирака вектор 72 [c.509]

Статистическим ансамблем назы- д, вается множество одинаковых динамических систем, т. е. систем, описываемых одинаковыми уравнениями движения и отличающихся одна от другой лишь благодаря случайному разбросу начальных данных. [c.301]

Если функция распределения g q,p,t) известна, то результат измерения некоторой физической величины А можно вычислить как среднее значение ЛУ соответствующей динамической переменной A q p t) где аргумент t показывает явную зависимость переменной от времени. Вспоминая, что dw = gdV есть вероятность обнаружить систему ансамбля в элементе фазового объема с(Г, пишем [c.15]

Статистические аспекты квантовой механики удобно описывать с помощью ансамбля невзаимодействующих копий системы, находящихся в одном и том же квантовом состоянии I Ф( )). Каждая из систем ансамбля может быть обнаружена при измерении в одном из базисных состояний а), причем среднее по ансамблю любой динамической величины В вычисляется по формуле (1.2.13). Введенный таким способом статистический ансамбль называется чистым квантовым ансамблем. [c.25]

Заключение о размешивающемся характере статистических систем является следствием представлений о релаксации. Следует отметить, что существуют еще более общие соображения, указывающие на ошибочность одной распространенной точки зрения. Мы имеем й виду точку зрения, согласно которой для применимости физической статистики, кроме принципа равновероятности начальных микросостояний (см. 4), достаточно самых общих свойств динамических систем вместе с единственной дополнительной характеристикой фазового пространства, состоящей в том, что подавляющее большинство траекторий, исходящих из заданной макроскопической области, приводит к более равновесному состоянию (см. 4). Такая точка зрения позволяет объяснить возрастание энтропии в ближайшем будущем, но ничего не может дать для определения поведения системы за длинные промежутки времени, и, в частности, для определения характера временного ансамбля системы и асимптотического — при больших временах — состояния системы (состояния релаксации). В рамках такой точки зрения, кроме того, невозможно объяснить, почему статистика применима к одним системам и не применима к другим, т. е. н е в о з м о ж-но определить границы приложимости физической статистики. Например, не может быть дан ответ на вопрос о том, почему части какого-нибудь сложного механизма (например, механического станка, очевидно целиком подпадающего под условия, на которых основана рассматриваемая точка зрения), не имеют во времени гиббсовского распределения по энергиям, или на вопрос о том, почему не устанавливается статистическое равновесие внутри неравномерно движущихся систем. [c.34]

Разработка эргодической теории и наведение мостов между детерминированным и стохастическим описанием динамических систем. Эргодическая теория ведет свое начало от гипотезы эргодичности, выдвинутой еще Л. Больцманом. Согласно этой гипотезе в статистической механике усреднение по времени может быть заменено усреднением по ансамблю [56]. Дальнейшие попытки обоснования этой гипотезы привели к созданию сложной и разветвленной эргодической теории, основные этапы развития которой связаны с именами Д. Биркгофа, Дж. фон Неймана, [c.82]

Мы рассматриваем ансамбль одинаковых динамических систем будем считать, что на л-й член ансамбля действует стохастическая функция это означает, [c.103]

Для исследования конкретных статистических свойств динамической системы необходима какая-то гипотеза, позволяющая проводить усреднение. В приложениях теории вероятностей, как известно, истинные вероятности определяются на основании статистических наблюдений частот появления тех или иных событий. Существование пределов этих частот есть следствие закона больших чисел. Для динамических систем вместо рядов статистических наблюдений рассматривают средние по времени характеристики траекторий. Такой характеристикой может быть, например, доля времени, проводимая отрезком траектории длины Т в определенной ячейке фазового пространства. В случае, когда для любой ячейки и большинства траекторий (за исключением, может быть, множества траекторий меры нуль) существует предел при Т оо доли времени, проводимого таким бесконечно длинным отрезком траектории в ячейке, и когда этот предел не зависит от траектории, ансамбль из отрезков траекторий называют эргодическим. Свойство эргодичности позволяет заменить усреднение по ансамблю усреднением по времени. [c.461]

Очевидно, что среднее значение динамической переменной L у систем такого ансамбля определяется формулой [c.191]

Состояние квантовой системы, которое можно описать волновой функцией называется чистым. Совокупность значений динамической переменной L, которые обнаруживаются в этом состоянии при измерении, называется чистым ансамблем. Состояние системы в термостате определяется совокупностью чистых состояний ifi, со статистическим весом Wk и называется смешанным состоянием, совокупность систем в состояниях ij) — смешанным ансамблем. [c.192]

Смешанные квантовые ансамбли. Описание многочастичных систем на основе решения уравнения Шредингера является столь же безнадежной задачей, как и описание классических многочастичных систем на основе решения уравнений Гамильтона. С математической точки зрения ясно, что точные решения уравнения Шредингера в большинстве случаев не могут быть получены в явном виде. Физическая же причина невозможности динамического описания состоит в том, что невозможно экспериментально привести макроскопическую систему в чистое квантовое состояние. Кроме того, реальные системы не являются полностью изолированными и в гамильтониане никогда не удается учесть вклад всех степеней свободы, связанных с внешним воздействием на систему. Поэтому в квантовой статистической механике приходится вводить ансамбли более общего типа, чем чистые ансамбли, а именно, — смешанные ансамбли (или смеси ), которые основаны на неполном наборе данных о системе. [c.26]

Итак, мы ввели классический ансамбль, соответствующий экстремуму информационной энтропии для энергетически изолированных систем. Как мы видели, он совпадает с равновесным микроканоническим ансамблем, который был введен Гиббсом на основе постулата о равновероятности всех доступных динамических состояний изолированной системы. [c.55]

Таким образом, последовательное описание систем, значительно удаленных от состояния равновесия, приводит к концепции о потенциальном рельефе, который может менять свою форму U(r) под внешним воздействием [58]. Покажем, каким образом эта концепция позволяет интерпретировать данные о ближнем порядке смещений, наблюдающемся вблизи полиморфных, мартенситных и w-превращений [90]. В ходе таких превращений потенциальный рельеф (/ (г), минимумы которого отвечают положениям атомов исходной фазы, перестраивается в рельеф I7f(r) фазы, получающейся в результате превращения. Так, при ГЦК — ГПУ превращении три минимума ГЦК решетки вдоль направления [111] сливаются в два минимума ГПУ структуры в направлении [ООО 1 ]. Разумеется, с приближением к точке превращения такая перестройка протекает не по всему объему. Поскольку вдали от Гд флуктуации SV(r, t) = и т, t) пренебрежимо малы, то макроскопический ансамбль рельефов i7(r) практически сводится к исходному С/, (г). С приближением к точке превращения флуктуации 6U r,t) изменяются таким образом, что в областях порядка корреляционной длины потенциальный рельеф приобретает конечную форму U r). Это и есть области ближнего порядка смещения. Подобно гетерофазным флуктуациям при переходах порядок—беспорядок эти области, будучи метастабильными, динамически исчезают и появляются в разных местах кристалла. С приближением к Гц суммарный объем областей ближнего порядка растет, распространяясь [c.119]

Обсудим теперь вопрос, в какой степени результаты, полученные в предыдущем параграфе, могут быть применены к статистической механике процессов, зависящих от времени. Обычно при обосновании статистической механики равновесных явлений, постулируют, что для изолированных механических систем с заданной энергией рассматриваемые динамические функции являются эргодическими. Этот постулат означает, что среднее по времени от динамических функций почти для всех начальных условий равно их среднему по поверхности постоянной энергии (по микроканоническому ансамблю). Мы обсудим здесь вопрос о том, можно ли построить на этой же основе теорию необратимых процессов. Процессы x(t), рассматриваемые в статистической механике (т. е. зависимость от времени динамических переменных J ), являются эргодическими в смысле, указанном в 3, если символ Ж, используемый в 2 и 3. считать обозначением среднего по микроканоническому ансамблю. Кроме того, они являются стационарными в силу стационарности микроканонического ансамбля. Далее, можно предполагать, что для обычных типов гамильтонианов эти процессы удовлетворяют самому слабому требованию относительно непрерывности, т. е. являются непрерывными в среднем. Это эквивалентно предположению, что процессы являются непрерывными в том смысле, что их корреляционные функции всюду непрерывны. Таким образом, если бы нам удалось [c.313]

Поскольку предсказания квантовой теории имеют вероятностный характер, а сравнение предсказаний теории с результатами экспериментов возможно лишь статистически, возникает идея рассматривать изучаемый микрообъект (например, электрон) и условия, которыми определяется движение изучаемого объекта, как статистическую систему в том же смысле, как и в классической статистической физике. Совокупность систем составляет статистический ансамбль систем, причем принадлежность системы к ансамблю определяется макроскопическими условиями. Движение рассматриваемого микрообъекта в каждой из систем ансамбля, вообше говоря, различно и характеризуется разными значениями описывающих движение параметров. Кванювание параметров и статистика их числовых значений обусловливаются динамическими процессами более глубокого уровня, которые в квантовой механике проявляются статистически в соответствии с ее законами. Теория процессов более глубокого уровня (теория скрытых па-рамел ров) находится с квантовой механикой в таком же соотношении, как л еория движения отдельных частиц со статистической механикой совокупности частиц. [c.406]

Таким образом, мы полностью присоединяемся к той группе физиков (к ней принадлежат, в частности, Толмен и Ландау), которые считают, что эргодическая теорема является любопытным свойством динамических систем, но не имеет отношения к обоснованию статистической механики. Выход из обсуждавпшхся выше трудностей заключается в том, чтобы рассматривать средние по ансамблю (П.7.2) как первичное определение макроскопических динамических функций, не вводя какой-либо более фундаментальной концепции. Эргодическая теорема, таким образом, отходит на второй план. Более того, отпадает упомянутая выше главная трудность. Теперь макроскопическая величина В в (П.7.2) уже может быть функцией времени. В самом деле, соответствующую функцию Ь можно считать зависяш ей от времени и при этом усреднять ее по ансамблю тогда ожидаемое значение будет, очевидно, зависеть от времени. Не нужно вводить какого-либо немеханического предположения для определения закона эволюции во времени он задается самими уравнениями механики b t) = U t)b [см. (1.2.24)]. В силу соотношения (П.7.2) данный механический закон эволюции индуцирует закон эволюции макроскопических величин B t) [см. (2.2.9)]. [c.386]

Т. е. значения Р и т), подобно значению D, постоянны во времени для движущихся систем ансамбля. С этой точки зрения принцип, который в ином понимании был назван принципом сохранения фазовой плотности или сох ранения фазового объема, может быть назван пркнцЕпсм сохранения коэффициента (или показателя) вероятности фавы, ивменяю-щейся согласно динамическим законам, или, короче, принципом сохранения вероятности азы. Он ограничен тем обстоятельством, что силы должны являться функциями либо только координат системы, либо координат и времени. [c.30]

Однако классическая теория колебаний — это, за редким исключением, теория систем с небольшим числом степеней свободы — систем, демонстрирующих простое периодическое или квазипериодическое поведение. Для современной теории характерен существенный интерес к сильнонелинейным системам, к исследованию сложного поведения (в том числе и стохастического) простых динамических систем, к поведению ансамблей. [c.272]

Таким образом, мы приходим к идее статистаческого описания системы многих тел. Здесь математический объект, представляющий систему,— это уже не некоторая точка в фазовом пространстве, а совокупность точек в фазовом пространстве, причем каждая из них характеризуется определенным весом, выраженным некоторым числом. Такая совокупность точек, каждой из которых приписывается определенный вес, будет далее называться ансамблем. Наблюдаемое значение динамической функции отождествляется со средним по ансамблю значением микроскопической функции. Значение, полученное таким способом, интерпретируется как усредненный результат большого количества идентичных экспериментов. [c.50]

Опять рассмотрим изолированную вселенную , описанную в разд. 4.3, однако теперь будем считать, что она состоит из N систем (i = 1, 2,. ... . ., N) (фиг. 4.П.1). Системы 5j предполагаются динамически тождествен-Ешши такую вселенную можно считать конкретной реализацией статистического ансамбля в соответствии с определением, данным в разд. 2.2. При этом допускается весьма слабое взаимодействие систем Si путем обмена энергией. Благодаря слабости взаимодействия каждую систему можно охарактеризовать индивидуальным значением энергии, тогда как полная энергия равна сумме энергий отдельных систем [c.165]

Если принять такую точку зрения, то эргодическая теорема очень сильно упрощала бы проблему вычисления средних величин. В самом деле, если такая теорема справедлива, то практически неразрешимая динамическая задача вычисления среднего значения величины Ь по траектории (в свою очередь подлежащей определению) для одиночной системы заменяется гораздо более простой задачей вычисления среднего значения этой же величины по энергетической поверхности. Последний метод приводит к весьма привлекательной физической интерпретации. Концепция меры, которая играет столь важную роль в эргодической теории, является столь же решающей и для теории вероятности. Таким образом, мы приходим к заключению, что к динамической величине Ъ можно подходить как к случайной переменной. Вместо одной системы рассматривается бесконечное количество тождественных копий этой системы, распределанных непрерывно по фазовому пространству. Множество таких систем называется ансамблем. Плотность распределения изображающих точек F (х) интерпретируется как плотность вероятности нахождения интересуюш ей нас системы в данной точке фазового пространства. (Иными словами, мера области в фазовом пространстве интерпретируется как вероятность нахождения системы в данной области.) Поскольку полная мера всего фазового пространства равна единице, система определенно находится где-то в доступном ей фазовом пространстве. Макроскопическая динамическая величина В теперь определяется как [c.384]

Если фазы, ограничивающие фазовый объем, изменяются с течением времени согласно динамическим законам системы, находящейся под действием сил, которые являются функциями либо только координат, либо координат и времени, то величина ограниченного таким образом фазового объема остается постоянной. В этой форме наш принцип можно назвать принципом сохранения фазового объема. В известном смыслр это положение можно рассматривать как простейшее выражение нашего принципа, так как в нем нет явного укаеания на ансамбль систем. [c.23]

Перейдем теперь к рассмотрению эффекта, вызываемого в ансамбле систем воздействием других ансамблей, с которыми ип приводится в динамическую связь. В одной из предыдущих глав ) мы представили себе динамическую связь, произвольно установленную между системами двух ансамблей. Здесь мы будем рассматривать взаимодейстрие между системами двух ансамблей как результат изменения внешних координат, сопровождающегося такими изменениями внутренних координат, которые приводят системы обоих ансамблей в сферу взаимного действия. [c.158]

Несмотря па многообразие конкретных проявлений временной синхронизации, все они состоят в согласованных между со- бой изменениях отдельных подсистем динамической системы с внешним периодическим воздействием, приводящих к периодичности изменения состояния вне зависимости от того, дискретная -эта система или распределенная. Явления пространственного порядка исслед01вапы гораздо меньше и используются не столь широко, как явления временной синхронизации. Более того, если явление временной синхронизации четко определено [89, 90], то в отношении пространственного порядка такого определения нет и все ограничивается относительно скромным набором конкретных, лишь отчасти, теоретически изученных, примеров ячеек Шелли-Холла и Бенара в конвективных течениях жидкости, вихрей Тейлора в вязкой жидкости между вращающимися цилиндрами и некоторых систем, в которых экспериментально наблюдается четкая пространственная структура устойч ивых само-возбуждающихся стоячих волн, вихрей Кармана за обтекаемым жидкостью телом, сокращений возбудимой мышечной ткани сердца, пространственпо ременных перестроек ансамблей биологических клеток и др. В последних случаях говорится не только о пространственном порядке, но и о пали ши определенной пространственной структуры и самоорганизации и в связи с этой трактовкой о синергетике как новой науке о самоорганизации [355, 356, 487]. [c.53]

Как было показано в начале предыдущего параграфа, для определения вероятности состояния мы должны были исследовать распределение отдельных систем в большой совокупности подобных систем. Следуя фундаментальным исследованиям Гиббса, в статистической механике это было сделано посредством введения понятия об ансамбле тождественных систем. Чтобы пояснить смысл понятия ансамбля, представим себе, что мы изучаем некоторую макроскопическую систему 8. Она может представлять собой, например, кристалл, жидкость или ограниченный объем газа. Далее мысленно представим очень большое число 31 тождественных изолированных систем <5 и в данный начальный момент времени распределим их по определенным динамическим состояниям, характеризующимся некоторыми значениями вероятностей. В последующие моменты времени отдельные системы 5 будут изменяться в соответствии с уравнениями движения, которым они подчиняютя. [c.204]

Существует, например, точка зрения А. Переса [129, 130], что проблемы коллапсов вообще нет, поскольку "вектор состояния нельзя приписать отдельной системе, а только ансамблю систем". Соответственно, волновая функция становится не свойством системы, а только "процедурой" для вычисления вероятностей, но с таким подходом трудно согласиться. Перес добавляет в своей статье [130] "Те из читателей, которые привержены позиции "реализма", не примут моего подхода, но тогда это их проблема, как объяснить удивительные события..." при измерениях. Прямо противоположная точка зрения, напротив, допускает динамическое описание коллапса [131] и существование спонтанных коллапсов [132] даже у свободной частицы. Для описания таких коллапсов уравнение Шрёдингера предлагается дополнить феноменологическим слагаемым со стохастичностью. Поскольку при этом изменяется динамика даже свободной частицы, данный подход должен привести к кардинальному изменению основ квантовой механики, для чего пока не видно достаточных оснований. [c.381]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...