Ляпунова показатель

Обобщенные показатели Ляпунова. Показатели Ляпунова для векторов гу называют также показателями первого порядка. Оселедец [323 ] обобщил это понятие ) для описания средней скорости экспоненциального роста / -мерного объема Ур, построенного на векторах гг 1,. . . , Юр р М). Тогда величина [c.297]

Формально соблюдаются все признаки турбулентности (перемешивания), однако наличие линейной зависимости фазы от амплитуды (см. рис. 1.5) указывает на существование когерентных структур. Об этом также свидетельствует наличие периодической составляющей в зависимости корреляционной функции от частоты. Спектральная плотность для этого случая показывает доминирующую частоту. Показатели Ляпунова имеют отрицательные значения [9-11]. [c.24]

Общий характер устойчивости стационарных решений для параметрических генераторов всех типов следует из анализа вещественной и мнимой частей характеристического показателя Я. Если вещественная часть для ненулевых решений отрицательна, то соответствующий стационарный режим является устойчивым по Ляпунову, причем наличие или отсутствие мнимой части характеристического показателя выявляет характер этой устойчивости. [c.181]

Каждый из этих пределов равен вещественной части одного из собственных значений оператора А (и называется характеристическим показателем Ляпунова для уравнения в вариациях). Множество векторов задаваемых любым из неравенств и представляет собой плоскость без 0. Раз- [c.129]

Алгоритм нормализации гамильтоновой системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Снова рассмотрим систему (3), предполагая матрицу Н( ) вещественной и непрерывной 2тг-периодической по t. Согласно теореме Ляпунова, система (3) приводима. Но матрица L( ) замены переменных (15), приводящей систему (3) к системе с постоянными коэффициентами, определяется неоднозначно. Опишем алгоритм построения такой матрицы L( ), чтобы соответствующее ей преобразование (15) было вещественным, каноническим, 2тг-периодическим по и приводило бы систему (3) к нормальной форме. Будем предполагать, что характеристические показатели Л/, системы (3) чисто мнимые (Л/. = где [c.549]

Асимптотич. устойчивость аттрактора как множества в фазовом пространстве определяется сжатием фазового объёма ср. скорость этого сжатия может быть выражена через показатели Ляпунова, определяемые аналогично (1) [c.401]

Показатели Ляпунова связаны с К-энтропией. Если все Xi не зависят от точки, то [c.401]

Понятие Э. используется также в классич. механике ка характеристика хаоса динамического в системах с неустойчивостью движения—экспоненциальной расходимостью близких в нач. момент траекторий. Количественной мерой неустойчивости таких систем служит энтропия Крылова— Колмогорова — Синая, или АГ-энтропия. Для широкого класса систем АГ-энтропия выражается через положительные показатели Ляпунова по формуле [c.618]

Если положительные показатели Ляпунова отсутствуют и, следовательно, движение устойчиво, то АГ-энтропия равна нулю. [c.618]

Равновесие системы устойчиво по Ляпунову, если действительные части всех характеристических показателей неположительны, причем чисто мнимые характеристические показатели с нулевой действительной частью — либо простые, либо имеют простые элементарные делители. [c.95]

Если Рз О, то правая часть будет положительной и, следовательно, х(0 —> при t—>o . Решение х(/)Ы) будет неустойчивым по Ляпунову. Если Рг<0, то это решение асимптотически устойчиво. В линейном приближении правые части уравнений не зависят от параметра Р2, а матрица 6 имеет чисто мнимые характеристические показатели А.] 3 = +з Р . Нулевое решение линейной системы устойчиво по Ляпунову. Следовательно, суждение об устойчивости решений нелинейной системы по уравнениям первого приближения не всегда приводит к верным выводам. [c.459]

Положение равновесия х(/) = 0 линейной системы (7.2.3) с постоянной матрицей С устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда действительные части характеристических показателей неположительны, т.е. [c.463]

Поскольку, как уже неоднократно говорилось, все траектории, образующие стохастический аттрактор, неустойчивы по Ляпунову, они должны иметь хотя бы один положительный ляпу-новский показатель. Наличие положительного ляпуновского показателя является одним из основных критериев стохастичности движения. [c.227]

Непосредственный расчет показателей Ляпунова по формуле [c.227]

Отметим, что обоснованием описанного способа является теорема Оселедца об обобщенных показателях Ляпунова [297]. [c.229]

Оселедец В. И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем Ц Тр. Моск. мат. об-ва,—1968.—Т. 19,—С, 179—210, [c.407]

В общем случае стандартный анализ [15] системы (1.14), (1.15) показывает, что ее фазовый портрет характеризуется наличием двух особых точек 1)(5е,0), 0(5с,7/о) с координатами 8 = Зе, т = О и 8 = 8с, г1 = т)о соответственно, где щ определено равенством (1.10). Этим точкам отвечают показатели Ляпунова [c.23]

Здесь введен параметр /3 = щ/г т, в котором величина т/оо означает характерное значение параметра порядка (1.46). Точке В отвечает показатель Ляпунова, отличающийся от выражения (1.17) заменой разности в - 1 на а - вс) где в соответствии с (1.44) величина Зс = 1 + л определяет точку спинодали. Поэтому, как и для фазового перехода второго рода, при 8 < 8с точка В представляет устойчивый узел, а при в> Вс — седло. Показатели Ляпунова точек О 3-,г -), 3 (3+, щ) выражаются через их координаты (1.48), (1.49) равенствами [c.33]

Хотя аналитически здесь не удается найти ни особых точек, ни отвечающих им показателей Ляпунова, численное исследование фазового портрета (см. рис, 10) показывает, что поведение системы совпадает с исследованным в предыдущем случае. По сравнению с соответствующим фазовым портретом второго рода (см. рис. 5) можно отметить, как и в предыдущем случае, появление сепаратрисы в области значений 5, Л, отвечающей энергетическому барьеру, разделяющему упорядоченную и неупорядоченную фазы. [c.38]

Экспоненциальную расходимость близких траекторий в среднем по времени можно количественно охарактеризовать так называемыми показателями Ляпунова, для чего в точках и( ) траектории с начальным условием и(0)=ио вводится касательный вектор w = w uo, О с начальным условием w(uo, 0)= о, так что w(uo, II характеризует проекцию на направление w расстояния в момент t между траекториями с близкими начальными точками ио и Uo+wo. Вектор w удовлетворяет линеаризированному относительно и(() уравнению (2.79), имеющему вид иг=Л[и( )]иг, где др /ди — матрица Якоби в точке и (О- Это уравнение имеет [c.129]

Их нумеруют в порядке убывания ai Ог . .. Олг. Для анализа стохастического движения теорию показателей Ляпунова одним из первых использовал Оселедец (1968). Дивергенция фазо- [c.130]

В случае нелинейной зависимости фазы (частоты) от амплитуды график зависимости амплитуды возмущения а (х, Г ,)) принимает вид острых клиньев (рис. 1.3) [6 . При многомодовой неустойчивости возмущения, принадлежагцие широкой полосе спектра волновых чисел, возбуждаются и растут (рис. 1.4) [6]. Амплитуды симметричных относительно центра волнового пакета мод не равны одна другой. Энергия возмущения достаточно равномерно распределена по спектру возбужденного волнового пакета. Траектории первоначально близких систем расходятся экспоненциально. В системе развивается многомодовая турбулентность. Для количественной характеристики нелинейного взаимодействия возмущений, рассмотренного в обоих случаях, применялись показатели Ляпунова [11]. [c.12]

Допустим, что функция /( J, г) С т. е. имеет А-ю производную, принадлежащую классу Г. — Л. с показателем а. Тогда пищут, что поверхность принадлежит классу Д (а). Принята следующая классификация. Поверхность класса Л ф) называют гладкой поверхностью, поверхность класса Л1(а) — поверхностью Ляпунова, а поверхность класса Лг(0) — поверхностью с непрерывной кривизной. [c.93]

Наиболее труден для исследования случай устойчивости по Ляпунову при кратных показателях с нулевыми действительными частями. Техника установления структуры элементарных делителей связана с приведением матриц к нормальной форме Ж ордана и излагается в руководствах по линейной алгебре. Здесь ограничимся указанием на то, что неустойчивость при кратных чисто мнимых показателях iiwyj. с непростыми элементарными делителями связана с наличием у уравнения (1) частных решений вида Р (I) sin o/,/, Q(t) osoii,t, где P(t) и Q t) — полиномы, степень которых не больше, чем степень кратности показателя минус единица. Если матрицы А, В и С симметричные, то все кратные чисто мнимые характеристические показатели имеют простые элементарные делители. [c.95]

К полученным таким упрощенным способом результатам следует относиться с осторожностью. Случай чисто мнимых характеристических показателей является сомнительным по Ляпунову, если рассматривать линейные уравнения как результат линеаризации соответствующих нелинейных задач. Даже введение сколь угодно малого демпфирования может существенно изменить выводы об устойчивости, полученные упрощенным методом [II, 100]. Исключение составляет случай внешнего трения. Если ввести в систему внешнее трение, а затем устремить его к нулю, то получатся условия устойчивости, совпадающие с темн, которые дает упрощенный метод. Чтобы избежать недоразумений, случай нахождения всех характеристических показателей на мнимой оси следует называть квазиустойчивостью, а значения параметров, при которых первая пара показателей покидает мнимую ось, — квазикритически ми параметрами. [c.244]

В большинстве работ этого направления нахождение всех характеристических показателей на мнимой оси квалифицировалось как устойчивость. Критические параметры определялись из условия, что в окрестности их значений хотя бы один из характеристических показателей переходит на правую полуплоскость. Но уравнения линейной теории устойчивости следует рассматривать как резуш1тат линеаризации некоторых нелинейных уравнений, описывающих физическую задачу. С точки зрения теории Ляпунова, случай нахождения всех показателей на мнимой оси должен трактоваться как сомнительный, когда линеаризированные уравнения не дают ответа на вопрос об устойчивости. Таким образом, большинство парадоксов дестабилизации вследствие трения являются результатом некритического применения динамического метода. Чтобы устранить двусмысленность в терминологии, было предложено [66] называть случай, когда все характеристические показатели находятся на мнимой оси, квазиустойчивостью, а значении параметров, при которых хотя бы один из показателей переходит на правую полуплоскость, - квазикритическими. Термины устойчивость и критические значения сохраняют при этом строгий смысл. [c.481]

Таким образом, рассмотренная система служит примером распределенной системы, движения которой полностью определяются решениями системы обыкновенных дифференциальных уравнений небольшой размерности. В какой мере этот частный вывод может быть распространен па другие распределенные системы Определенный и исчерпывающий ответ на этот вопрос в настоящее время дать трудно качественно (ио крайней мере в рамках квазилинейной теории) ситуация зависит от числа степеней неустойчивости и степеней свободы с малым затуханием. В рассмотренной задаче одна степень неустойчивости (один положительный показатель Ляпунова). Затухания по остальным степеням свободы быстро растут. Как будет показано в дальнейшем. именно с этим обстоятелт.ством связана возмол ность построения одномерной модели в виде точечного отображения прямой в прямую, адекватно передающего особенности временного [c.36]

Для систем большой размерности, в том числе бесконечномерных, отыскание численных значений показателей Ляпунова, как и непосредственное вычисление величин а, d ж К, является сложной задачей. Поэтому представляет интерес сравнительно простая вычислительная процедура, которая позволяет оценить ляпуновские показатели, размерность аттрактора и метрическую энтропию, зная реализацию лишь одной из координат фазового пространства. Эта процедура была предложена Паккардом [600] и Такенсом [657]. Использование такой процедуры особенно удобно при обработке экспериментальных результатов для распределенных систем, где знать весь бесконечномерный вектор x(i) просто невозможно [681]. [c.235]

Матрица К и условие целочисленности ее собственных значений впервые появились в работах Ковалевской по динамике тяжелого твердого тела [73]. Иошида предложил назвать числа р ,..., р показателями Ковалевской. Если решения (9.28) мероморфны и ряды (9.28) бесконечны, то р 0. Исследования Ковалевской были дополнены и усилены Ляпуновым [118], показавшим, что решения уравнений Эйлера—Пуассона ветвятся во всех случая, исключая интегрируемые задачи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. [c.122]

Отметим, что сумма рх р2= Н--1 не зависит от степени квазиоднородности интеграла. Это не случайно показатели Ковалевской для квазиоднородных гамильтоновых систем разбиваются на пары, сумма которых равна /1—1. Это утверждение является аналогом известной теоремы Пуанкаре — Ляпунова о возвратности характеристического уравнения для мультипликаторов периодического решения уравнений Г амильтона. Доказательство основано на простом замечании о том, что уравнения в вариациях (3.5) в рассматриваемом случае будут гамильтоновыми [c.343]

Региение вопроса об устойчивости по Ляпунову региения qj = pj = = О (далее будем иногда говорить об устойчивости системы (1) ) зависит от свойств функции Гамильтона. Если система (1) автономна, то функция Я будет ее первым интегралом и может быть принята за функцию Ляпунова V при региении задачи об устойчивости движения 1]. Если функция Я будет знакоопределенной, то система (1) устойчива. Если же система (1) не автономна или автономна, но п 2, и Я не является знакоопределенной функцией, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому в ней невозможна асимптотическая устойчивость, а устойчивость может быть лигиь тогда, когда характеристические показатели системы с гамильтонианом Я2 будут чисто мнимыми. Так что задача об устойчивости системы [c.114]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...