Ляпунова показатели вычисление

Как мы видели в предыдущих разделах, задача об устойчивости периодического движения, приводящаяся к исследованию устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, может быть разрешена при помощи построения соответствующей функции Ляпунова или вычислением характеристических показателей, являющихся корнями характеристичного уравнения. [c.116]

Рис. 5.6. Схема вычисления максимального показателя Ляпунова (по данным работы [19]).

Движение этой системы ограничено при Ж0,097. Для Я = 0,09 фазовое пространство разделяется, грубо говоря, на три области большая область стохастичности с ж 0,03 a 0,008 и аз л 0 область регулярного движения (о = = 0з = 0) и промежуточная область. На рис. 5.9 представлены результаты вычисления первых трех показателей Ляпунова для начальных условий в промежуточной области. Видно, что сходимость имеет место для O1 a 3 X 10 и Од = О, соответствующего направлению вдоль траектории. Поведение показателя не вполне ясно. [c.317]

Ряд экспериментаторов, имеющих дело с хаотической динамикой, разработали алгоритмы вычисления показателя Ляпунова X. Для регулярных движений X < О, но в хаотических режимах X > 0. Таким образом, знак X является критерием хаоса. Измерение показателя Ляпунова требует обработки данных с помощью компьютера. Были разработаны алгоритмы вычисления X по измерениям од-вой динамической переменной x(t) с помощью построения псевдо-нового пространства (см., например, [208]). [c.157]

Должно быть, читатель уже понял, что без компьютера при вычислении показателя Ляпунова не обойтись ни в том случае, когда данные берутся из численного моделирования, ни в том, когда их источником служит физический эксперимент. [c.199]

ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА [c.201]

Рассматривается двухмерная задача об адвекции пассивной жидкости в поле скорости, генерируемом парой точечных вихрей в идеальной несжимаемой жидкости, ограниченной круговой областью. Показано, что при определенных условиях движение пассивных жидких частиц может проявлять хаотические свойства, которые приводят к интенсивному перемешиванию жидкости. Для идентификации таких областей использовались различные критерии и методы анализ фазовых траекторий, спектральных и корреляционных характеристик, построение сечений Пуанкаре, вычисление наибольшего показателя Ляпунова. [c.441]

При хаотическом движении две близлежащие траектории с течением времени расходятся экспоненциально. Мерой такого расхождения траекторий служат спектры показателей Ляпунова [8, 10], которые описывают изменение во времени длин, площадей или объемов в фазовом пространстве. Наиболее простым и эффективным методом исследования является наибольший показатель Ляпунова, который оценивает усредненное изменение расстояния между двумя близлежащими траекториями в фазовом пространстве. Для вычисления наибольшего показателя Ляпунова необходимо совместно с уравнениями движения интегрировать линеаризованное уравнение вида [c.448]

С другой стороны, количественные критерии позволяют провести количественные сравнения различных параметров движения жидких частиц. К ним относятся построение сечения Пуанкаре и локальных карт растяжений контуров, вычисление наибольшего показателя Ляпунова. Вычисление количественных критериев требуют специальных вычислительных методов. [c.465]

Построение сечений Пуанкаре позволяет эффективно определять области хаотического движения жидких частиц. Однако сечение Пуанкаре не предоставляет никакой информации об интенсивности перемешивания (размешивания) внутри хаотической зоны движения частиц. Напротив, локальные карты растяжения контуров предоставляют приближенные оценки растяжения контуров на ближайший временной интервал, но не могут зарегистрировать хаотические зоны перемешивания (сравни рис. 4 и 8). Действительно, сильное растяжение контура не является обязательным условием хаотического движения пассивных жидких частиц. С другой стороны, вычисление наибольшего показателя Ляпунова позволяет оценить степень расходимости двух близлежащих траекторий. Однако значение показателя Ляпунова не связано с растяжимостью исходного контура, который сформирован из большого числа жидких частиц, часть из которых может двигаться регулярно, а часть — хаотично. [c.465]

В цитированной работе также приведены зависимости показателей Ляпунова (для конечного промежутка времени), вычисленные для маркеров, пронумерованных в подписи к рис. 6. [c.484]

Наглядным критерием стохастичности служит метрическая энтропия, характеризующая среднюю скорость разбегания траекторий и сложность всей системы в целом. Так как точно определить значение энтропии в реальной ситуации практически невозможно, приведем здесь лишь формулу для ее приближенного вычисления. Точнее говоря, по этой формуле вычисляется максимальный показатель Ляпунова (а), положительность которого свидетельствует и о положительности колмогоровской энтропии. [c.275]

Формула для вычисления приближенного показателя Ляпунова была взята из работы [c.295]

Важной качественной характеристикой расходимости изначально близких траекторий является показатель Ляпунова, для вычисления которого на конечном промежутке времени использовался предложенный в [36] простейший алгоритм. Полезную информацию дает также т.н. ляпуновское время , определяемое как величина, обратная к соответствующему показателю Ляпунова [40]. Па рис. 11 представлены приведенные к начальному положению маркеров рапределения времен выноса (слева) и накопленного за конечный промежуток ляпуновского времени (справа). В обоих случаях выделяются области, из которых маркеры не вымываются при последующем [c.492]

Для систем большой размерности, в том числе бесконечномерных, отыскание численных значений показателей Ляпунова, как и непосредственное вычисление величин а, d ж К, является сложной задачей. Поэтому представляет интерес сравнительно простая вычислительная процедура, которая позволяет оценить ляпуновские показатели, размерность аттрактора и метрическую энтропию, зная реализацию лишь одной из координат фазового пространства. Эта процедура была предложена Паккардом [600] и Такенсом [657]. Использование такой процедуры особенно удобно при обработке экспериментальных результатов для распределенных систем, где знать весь бесконечномерный вектор x(i) просто невозможно [681]. [c.235]

Теория показателей Ляпунова [262] использовалась для анализа стохастического движения Оселедецем [323]. Связь показателей Ляпунова с энтропией Колмогорова рассматривалась Бенет-тином и др. [19] и была установлена Песиным [334]. Метод вычисления показателей Ляпунова развит Бенеттином и др. [20] и описан в 5.3. Здесь же мы обсудим их свойства, следуя в основном [c.294]

Ошибки округления. При исследовании гамильтоновых отображений с их сложной структурой хаотического и регулярного движения широко используется численное моделирование, причем число итераций отображения достигает многих миллионов. Возникает вопрос в какой степени численное моделирование с конечной точностью арифметических операций, ошибками округления и прочим шумом соответствует реальной динамике системы Существенное влияние этих ошибок на такие характеристики движения, как распределение в фазовом пространстве, мера стохастической компоненты и другие, легко определить, изменяя точность счета. Фактически такие проверки составляют неотъемлемую часть любого численного эксперимента. Так, например, Грин [165] исследовал влияние ошибок округления на определение границы стохастичности и нашел, что оно пренебрежимо мало (см. п. 4.4а). Бенеттин и др. [17] показали, что для систем Аносова численные ошибки несущественны при вычислении временных средних, например, показателей Ляпунова. Однако системы Аносова структурно устойчивы, и вопрос о влиянии численных ошибок на другие системы остается пока открытым ). [c.308]

Вычисление всех показателей Ляпунова ). Следуя Бенеттину и др. [20 ] ), покажем, каким образом вычисляется полный набор показателей Ляпунова в Л1-мерном фазовом пространстве. Ясно, что любая попытка определить 0 2, Оз и т. д., выбирая касательный вектор га вдоль векторов е , и т. д. (см. рис. 5.2), обречена на неудачу из-за неустойчивости этих направлений, так что любые ошибки повернут в конце концов И) (/) вдоль е . Вместо этого выберем начальный базис из р ортонормированных касательных векторов и численно определим р-мерный объем Ур (/), заданный этими векторами. Отсюда можно найти показатель Ляпунова 01 порядка р (5.2.14). Проделав эту процедуру для р = , 2,. . . , М, из (5.2.15) определим все показатели о , [c.315]

В первом параграфе этой главы обсуждаются основные свойства диссипативных систем, такие, как сжатие фазового объема и регулярное движение на простых аттракторах. Затем вводится понятие странного аттрактора со стохастическим движением. В 1.5 уже приводился пример странного аттрактора. Здесь же обсуждаются два других примера диссипативных систем со странными аттракторами система Рёслера и отображение Хенона. Особое внимание обращается на те свойства хаотического движения, которые связаны с возможностью перехода к одномерному отображению, а также с геометрической структурой странного аттрактора. Эта геометрия описывается в терминах канторовых множеств дробной фрактальной размерности. Обсуждаются способы вычисления такой размерности и ее связь с показателями Ляпунова. [c.410]

Численные данные для отображения Хенона показывают, как мы видели выше, что структура аттрактора повторяется на все более и более мелких масштабах. Ее можно сопоставить с канторовым лгаожеством, свойства которого позволяют значительно лучше понять природу странного аттрактора. Рассмотрим вначале размерность кантор она множества. Для этого нам понадобится общее определение фрактальной размерности. Затем мы рассмотрим простой пример канторова множества и найдем его размерность. И наконец, обсудим некоторые методы вычисления и измерения фрактальной размерности странных аттракторов, уделяя основное внимание ее связи с показателями Ляпунова. Наше изложение следует частично обзорам Треве [411 ] и Отта [324]. [c.422]

Превосходный обзор по показателям Ляпунова и их использованию в экспериментах для диагностики хаотического движения опуб. ликованы Вулфом и др. [209]. В этом же обзоре помещены две полезные компьютерные программы для вычисления показателей Ляпунова. [c.198]

Экспоненциальная расходимость хаотических траекторий может быть только локальной, так как если система ограниченна (а большинство физических экспериментов ограниченно), то d t) Ht может возрастать до бесконечности. Следовательно, для того чтобы определить меру расходимости траекторий, необходимо усреднить экс поненциальный рост по многим точкам вдоль траектории, как показано на рис. 5.26. Вычисление показателя Ляпунова начинается в выбора реперной траектории [Вулф и др. [209] называют ее опор-ной траекторией], точки на соседней траектории и измерения величины d( O/dg. Когда расстояние d( t) становится слишком большим (т. е. рост его отклоняется от экспонешшального поведения), экспериментатор находит новую соседнюю траекторию и определяет новое начальное расстояние dgi /). Показатель Ляпунова мож- [c.198]

Существуют два общих метода вычисления показаталей Ляпу, нова один для данных, порожденных известной системой дифференциальных или разностных уравнений (потоков или каскадов), второй — для данных из экспериментальных временных рядов. В работе Вулфа и др. [209] обсуждаются оба эти метода, но, как показывает наш собственный опыт, создание надежного алгоритма для определения показателя Ляпунова по экспериментальным данным требует проведения дополнительных исследований. Мы краг-но рассмотрим метод вычисления показателя Ляпунова для системы дифференциальных уравнений вида [c.202]

Твблица 5.1. Сравнение вычисленных значений показателя Ляпунова для уравнения Дуффинга X + кх + = Всхк1 при различных значениях к к В [c.205]

Показатели Ляпунова и функции распределения. Вычисление показателя Ляпунова (5.4.3) можно рассматривать как усреднение по времени, или итерацию, отображения (5.4.5). Если известна функция плотности вероятности, позволяющая находить вероятность того, что определенные траектории окажутся в заданной области фазового пространства, то усреднение по времени можно заменить усреднением по пространству (в фазовом пространстве). Эту идею использовали несколько исследователей Эверсон [35] Хсу [84]. По-ижем, в чем здесь дело, на примере двумерного отображения (следуя работе Эверсона [35]). [c.205]

Фч>мер и др. [36] дают аналитическое определение полног -спектра показателей Ляпунова и приводят пример, когда спектр может быть вычислен явно. Оставшуюся часть этой главы мы п . святим краткому изложению схемы вычисления показателей Ляпунова для двумерного отображ 1ИЯ. Многие из деталей мы опускаем. Те из читателей, для которых эти подробности представляют интерес, могут найти их в статье Фармера и др. [36]. Начнем с рассмотрения общего Т -мерного отображения [c.208]

Каплан и Йорке [90] (см. также работу Фармера и др. [36] 0 дредложили способ вычисления размерности аттрактора по показателям Ляпунова. Для двумерного отображения такая размерность определяется по формуле [c.227]

Если у вас имеется программа для вычисления показателей Ляпунова, то полезно иметь в виду, что в литературе приводится зна-ч 1ие показателя Ляпунова X, = 0,2, а фрактальная размерность аттрактора в отображении Энона равна = 1,264. Варьируя параметры в иЬ, можно попытаться определить область тех значений, при которых аттрактор существует, и найти область удвоения периода на плоскости (а,Ь) [57, с. 268 151]. [c.280]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...