Показатели Ляпунова и фрактальные размерности

ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА И ФРАКТАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ [c.71]

Показатели Ляпунова играют важную роль в теории гамильтоновых и диссипативных динамических систем. Они дают вычислимую-количественную меру степени стохастичности. Помимо этого, существует тесная связь между показателями Ляпунова и другими характеристиками случайности, такими, как энтропия Колмогорова (п. 5.2в) или фрактальная размерность (п. 7.1в). [c.294]

Признаки хаотических колебаний, описанные в этой главе, носят в основном качественный характер и требуют от исследователя применения доли здравого смысла и опыта. Имеются и количественные признаки хаоса, использование которых приносит определенный успех. Два наиболее распространенных критерия — это показатель Ляпунова (см. гл. 5) и фрактальная размерность (см. [c.71]

Связь между фрактальной размерностью и показателями Ляпунова. Существует гипотеза [218], связывающая фрактальную размерность с показателями Ляпунова [c.424]

В последующих главах мы обсудим более сложные методы, в том числе измерение двух характеристик движения, именно фрактальной размерности и показателя Ляпунова. [c.46]

Еще одно соотношение между фрактальной размерностью, информационной энтропией и показателями Ляпунова была установлена Капланом и Йорке [90]. Напомним (см. гл. 5), что показатели Ляпунова характеризуют для траекторий на аттракторе скорость их разбегания друг от друга, а для траекторий вне аттрактора — скорость их приближения к аттрактору (см., например, рис. 5.30). Сказанному можно придать наглядный смысл. Малая сфера начальных условий, описанная вокруг некоторой точки на аттракторе в фазовом пространстве со временем под действием динамического [c.226]

Зная эти два показателя Ляпунова, можно вычислить для преобразования пекаря фрактальную размерность. Связь между показателями Ляпунова и фрактальными размерностями была исследована Фармером и др. [36] и кратко обсуждается в гл. 6. [c.210]

В первом параграфе этой главы обсуждаются основные свойства диссипативных систем, такие, как сжатие фазового объема и регулярное движение на простых аттракторах. Затем вводится понятие странного аттрактора со стохастическим движением. В 1.5 уже приводился пример странного аттрактора. Здесь же обсуждаются два других примера диссипативных систем со странными аттракторами система Рёслера и отображение Хенона. Особое внимание обращается на те свойства хаотического движения, которые связаны с возможностью перехода к одномерному отображению, а также с геометрической структурой странного аттрактора. Эта геометрия описывается в терминах канторовых множеств дробной фрактальной размерности. Обсуждаются способы вычисления такой размерности и ее связь с показателями Ляпунова. [c.410]

Численные данные для отображения Хенона показывают, как мы видели выше, что структура аттрактора повторяется на все более и более мелких масштабах. Ее можно сопоставить с канторовым лгаожеством, свойства которого позволяют значительно лучше понять природу странного аттрактора. Рассмотрим вначале размерность кантор она множества. Для этого нам понадобится общее определение фрактальной размерности. Затем мы рассмотрим простой пример канторова множества и найдем его размерность. И наконец, обсудим некоторые методы вычисления и измерения фрактальной размерности странных аттракторов, уделяя основное внимание ее связи с показателями Ляпунова. Наше изложение следует частично обзорам Треве [411 ] и Отта [324]. [c.422]

Проверка с применением показателя Ляпунова может использоваться как в диссипативных, так и в бездиссипативных (консервативных) системах, а фрактальные размерности имеют смысл только в диссипативных системах. [c.72]

Для описания непериодических движений, напоминающих по сложности случайные (а именно таким движениям посвящена наша книга), мы использовали термины хаотический и странный аттрактор. Называя аттрактор хаотическим, мы подчерюшаем потерю информации или предсказуемости. Называя аттрактор стран ным, мы прежде всего стремимся подчеркнуть необычность геометрической структуры, по которой движется траектория в фазе вом пространстве. В гл. 5, используя показатели Ляпунова, мы описали количественную меру хаотичности, или потери информации. В этой главе мы опишем количественную меру странности аттрактора. Эта мера называется фрактальной размерностью. Но прежде чем мы займемся фрактальной размерностью, нам необходимо ввести понятие фрактала в таком виде, чтобы его было удобно использовать для наших целей. [c.212]

Пока еще не существует приборов, электронных или каких пбудь других, которые давали бы на выходе сигнал, пропорциональный фрактальной размерности, хотя в будущем электрооптиче-ские методы, возможно, позволят построить такой прибор (см. разд. 6.5). Ныне и в численных, и в физических экспериментах фрактальную размерность и показатели Ляпунова находят, дискретизируя сигналы последовательностью равноотстоящих (по времени) точек и обрабатывая полученные данные на компьютере. Существует 3 основных метода [c.229]

Если у вас имеется программа для вычисления показателей Ляпунова, то полезно иметь в виду, что в литературе приводится зна-ч 1ие показателя Ляпунова X, = 0,2, а фрактальная размерность аттрактора в отображении Энона равна = 1,264. Варьируя параметры в иЬ, можно попытаться определить область тех значений, при которых аттрактор существует, и найти область удвоения периода на плоскости (а,Ь) [57, с. 268 151]. [c.280]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...