Показатель характеристический Ляпунова

Общий характер устойчивости стационарных решений для параметрических генераторов всех типов следует из анализа вещественной и мнимой частей характеристического показателя Я. Если вещественная часть для ненулевых решений отрицательна, то соответствующий стационарный режим является устойчивым по Ляпунову, причем наличие или отсутствие мнимой части характеристического показателя выявляет характер этой устойчивости. [c.181]

Каждый из этих пределов равен вещественной части одного из собственных значений оператора А (и называется характеристическим показателем Ляпунова для уравнения в вариациях). Множество векторов задаваемых любым из неравенств и представляет собой плоскость без 0. Раз- [c.129]

Алгоритм нормализации гамильтоновой системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Снова рассмотрим систему (3), предполагая матрицу Н( ) вещественной и непрерывной 2тг-периодической по t. Согласно теореме Ляпунова, система (3) приводима. Но матрица L( ) замены переменных (15), приводящей систему (3) к системе с постоянными коэффициентами, определяется неоднозначно. Опишем алгоритм построения такой матрицы L( ), чтобы соответствующее ей преобразование (15) было вещественным, каноническим, 2тг-периодическим по и приводило бы систему (3) к нормальной форме. Будем предполагать, что характеристические показатели Л/, системы (3) чисто мнимые (Л/. = где [c.549]

Равновесие системы устойчиво по Ляпунову, если действительные части всех характеристических показателей неположительны, причем чисто мнимые характеристические показатели с нулевой действительной частью — либо простые, либо имеют простые элементарные делители. [c.95]

Если Рз О, то правая часть будет положительной и, следовательно, х(0 —> при t—>o . Решение х(/)Ы) будет неустойчивым по Ляпунову. Если Рг<0, то это решение асимптотически устойчиво. В линейном приближении правые части уравнений не зависят от параметра Р2, а матрица 6 имеет чисто мнимые характеристические показатели А.] 3 = +з Р . Нулевое решение линейной системы устойчиво по Ляпунову. Следовательно, суждение об устойчивости решений нелинейной системы по уравнениям первого приближения не всегда приводит к верным выводам. [c.459]

Положение равновесия х(/) = 0 линейной системы (7.2.3) с постоянной матрицей С устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда действительные части характеристических показателей неположительны, т.е. [c.463]

Оселедец В. И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем Ц Тр. Моск. мат. об-ва,—1968.—Т. 19,—С, 179—210, [c.407]

Таким образом, в рассмотренных двух случаях задача об устойчивости периодического невозмущенного движения решается полностью рассмотрением только уравнений первого приближения, т. е. системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. А задача об устойчивости нулевого решения линейной системы с периодическими коэффициентами, как было указано выше, приводится к определению характеристических показателей, которые всегда могут быть вычислены, по крайней мере приближенно, с помощью рядов Ляпунова. [c.112]

Как мы видели в предыдущих разделах, задача об устойчивости периодического движения, приводящаяся к исследованию устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, может быть разрешена при помощи построения соответствующей функции Ляпунова или вычислением характеристических показателей, являющихся корнями характеристичного уравнения. [c.116]

Если функция р может принимать только положительные или равные нулю значения, то функцию Ляпунова построить не удается и вопрос об устойчивости приходится решать исследованием корней характеристичного уравнения, т. е. нахождением характеристических показателей. [c.117]

Рис. 5.2. Характеристические показатели Ляпунова (по данным работы [18]).

Это и есть характеристические показатели Ляпунова. Они не зависят от выбора метрики фазового пространства [323], и их можно упорядочить по величине > сга >. . . > Стд,. [c.296]

Напомним (см. рис. 5.2) определение характеристического показателя Ляпунова а для траектории X (t) и близкой к ней х w, где [c.310]

Следуя соотношению (5.4.3), определить показатель Ляпунова (или характеристический показатель) как [c.199]

Прежде чем переходить к задаче о параметрическом резонансе, рассмотрим зависимость мультипликаторов (и характеристических показателей) от параметра е. Так как функция Гамильтона (6.1) предполагается аналитической относительно 8, то правые части системы (1.1) также аналитичны. Тогда, как известно, любое решение X ( г) системы (1.1), для которого начальное значение не зависит от 8, будет аналитическим относительно е. В частности, аналитическими будут элементы x j ( 8) фундаментальной матрицы решений X (Р, г). Отсюда получаем следующую теорему А. М. Ляпунова если правые части системы (1.1) аналитичны относительно 8, то коэффициенты характеристического уравнения (4.3) будут аналитическими функциями г, причем область их аналитичности совпадает с областью аналитичности правых частей системы (1.1). [c.43]

Отсюда, в частности, следует, что если почти все (по отношению к (х) значения характеристического показателя Ляпунова равны нулю, то /гц(5)=0. Для произвольной борелевской меры IX, вообще говоря, имеет место строгое неравенство (см.. [70]). Точное же равенство можно доказать, например, для мер Синая. [c.153]

Можно показать, что (7.34) влечет (7.33) вдоль геодезической у ( ). Кроме того, для любого б +(у) характеристический показатель Ляпунова а для е -(и) имеем <0. Если условие (7.34) выполняется для векторов V, образующих множеств. Лс=Л1 положительной меры, то поток 5 А является НПГ-потоком. Оказывается, что при некоторых ограничениях геометрического характера на риманову метрику (выражаемых посредством так называемой аксиомы видимости) имеет место альтернатива либо х(Л)=0, либо х(Л) = 1 (и тогда поток 5 изоморфен потоку Бернулли). Вторая возможность реализуется, например, для геодезических потоков на поверхностях рода >0 с римановой метрикой без сопряженных точек, на многообразиях с римановой метрикой без фокальных точек, удовлетворяющих аксиоме видимости, и в некоторых других случаях. [c.162]

Из условия 1) и теоремы 2.7 (см. гл. 1, 2) вытекает, что х-почти любая точка x6M N является правильной по Ляпунову (см. гл. 7, 2). Из 2) следует, что [Ai(iV)=0. Условия 1)—4) дают возможность построить локальные многообразия для любой регулярной точки x6M N, в которой характеристические показатели отличны от нуля. Условие 5) необходимо для доказательства свойства абсолютной непрерывности, а условие 6 — для получения точной оценки сверху для энтропии рассматриваемой динамической системы. Доказательства во многом повторяют доказательства соответствующих утверждений для гладких систем, рассмотренных в главе 7. Сформулируем основные результаты, полученные на этом пути. [c.192]

Наиболее труден для исследования случай устойчивости по Ляпунову при кратных показателях с нулевыми действительными частями. Техника установления структуры элементарных делителей связана с приведением матриц к нормальной форме Ж ордана и излагается в руководствах по линейной алгебре. Здесь ограничимся указанием на то, что неустойчивость при кратных чисто мнимых показателях iiwyj. с непростыми элементарными делителями связана с наличием у уравнения (1) частных решений вида Р (I) sin o/,/, Q(t) osoii,t, где P(t) и Q t) — полиномы, степень которых не больше, чем степень кратности показателя минус единица. Если матрицы А, В и С симметричные, то все кратные чисто мнимые характеристические показатели имеют простые элементарные делители. [c.95]

К полученным таким упрощенным способом результатам следует относиться с осторожностью. Случай чисто мнимых характеристических показателей является сомнительным по Ляпунову, если рассматривать линейные уравнения как результат линеаризации соответствующих нелинейных задач. Даже введение сколь угодно малого демпфирования может существенно изменить выводы об устойчивости, полученные упрощенным методом [II, 100]. Исключение составляет случай внешнего трения. Если ввести в систему внешнее трение, а затем устремить его к нулю, то получатся условия устойчивости, совпадающие с темн, которые дает упрощенный метод. Чтобы избежать недоразумений, случай нахождения всех характеристических показателей на мнимой оси следует называть квазиустойчивостью, а значения параметров, при которых первая пара показателей покидает мнимую ось, — квазикритически ми параметрами. [c.244]

В большинстве работ этого направления нахождение всех характеристических показателей на мнимой оси квалифицировалось как устойчивость. Критические параметры определялись из условия, что в окрестности их значений хотя бы один из характеристических показателей переходит на правую полуплоскость. Но уравнения линейной теории устойчивости следует рассматривать как резуш1тат линеаризации некоторых нелинейных уравнений, описывающих физическую задачу. С точки зрения теории Ляпунова, случай нахождения всех показателей на мнимой оси должен трактоваться как сомнительный, когда линеаризированные уравнения не дают ответа на вопрос об устойчивости. Таким образом, большинство парадоксов дестабилизации вследствие трения являются результатом некритического применения динамического метода. Чтобы устранить двусмысленность в терминологии, было предложено [66] называть случай, когда все характеристические показатели находятся на мнимой оси, квазиустойчивостью, а значении параметров, при которых хотя бы один из показателей переходит на правую полуплоскость, - квазикритическими. Термины устойчивость и критические значения сохраняют при этом строгий смысл. [c.481]

Отметим, что сумма рх р2= Н--1 не зависит от степени квазиоднородности интеграла. Это не случайно показатели Ковалевской для квазиоднородных гамильтоновых систем разбиваются на пары, сумма которых равна /1—1. Это утверждение является аналогом известной теоремы Пуанкаре — Ляпунова о возвратности характеристического уравнения для мультипликаторов периодического решения уравнений Г амильтона. Доказательство основано на простом замечании о том, что уравнения в вариациях (3.5) в рассматриваемом случае будут гамильтоновыми [c.343]

Региение вопроса об устойчивости по Ляпунову региения qj = pj = = О (далее будем иногда говорить об устойчивости системы (1) ) зависит от свойств функции Гамильтона. Если система (1) автономна, то функция Я будет ее первым интегралом и может быть принята за функцию Ляпунова V при региении задачи об устойчивости движения 1]. Если функция Я будет знакоопределенной, то система (1) устойчива. Если же система (1) не автономна или автономна, но п 2, и Я не является знакоопределенной функцией, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому в ней невозможна асимптотическая устойчивость, а устойчивость может быть лигиь тогда, когда характеристические показатели системы с гамильтонианом Я2 будут чисто мнимыми. Так что задача об устойчивости системы [c.114]

Отметим еще здесь, что линейную систему с ограниченными непрерывными коэффициентами преоб15 азованием Ляпунова ) (при котором характеристические числа сохраняются) можно перевести в другую линейную систему, коэффициенты которой принимают лишь два значения. Это показал Ю. С. Богданов (1965). Некоторые авторы ввоДят, кроме характеристических чисел, другие числа-показатели, иначе характеризующие поведение функций при оо. Так, например, нижний показатель вектор-функции х ( ) определяется следующим образом (Б. Ф. Былов и др., 1966) [c.84]

Для достаточно простой динамической системы, в которой области устойчивости занимают пренебрежимо малую часть фазового пространства, максимальный показатель Ляпунова кюжно получить аналитически. Для стандартного отображения при больших К это было сделано Чириковым [70]. Линеаризовав стандартное отображение вблизи некоторой точки, не обязательно неподвижной, получим из характеристического уравнения при больших К наибольшее из двух собственных значений в виде [c.311]

Для каждого динамического процесса, будь то траектория, непрерывно зависящая от времени или дискретная эволюция во времени, существует спектр показателей Ляпунова, или характеристических показателей, который говорит нам, как меняются в фазовом фостранстве длины, площади и объемы. Представление о спектре [c.201]

В главе 3 изучается устойчивость гамильтоновой системы с одной степенью свободы и 2я-периодической по времени функцией Гамильтона. К такой системе может быть, например, приведена задача об устойчивости периодических движений круговой ограниченной задачи трех тел, отличных от точек либрации. Предполагается, что линеаризованная система устойчива, а ее мультипликаторы различны. Частные случаи этой задачи рассматривались в классических исследованиях Леви-Чивита и в недавних работах Зигеля, Мермана, Каменкова и Мустахишева. В главе 3 рассматриваются как нерезонансный, так я резонансный случаи (когда характеристические показатели + X таковы, что число кХ будет целым при произвольном целом к > 3). Исследование основано на приведении функции Гамильтона к нормальной форме и последующем применении теоремы Ляпунова о неустойчивости и теоремы Мозера об инвариантных кривых [72]. Получены условия устойчивости и неустойчивости. [c.11]

Рассмотрим снова систему (1.1) с непрерывной периодической матрицей Н (i). Согласно теореме Ляпунова система (1.1) приводима. Соответствуюш ая замена переменных может быть записана в виде (3.11). Но замена переменных, приводящая систему (1.1) к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами, определяется матрицей Н (t) неоднозначно. В этом параграфе построен алгоритм отыскания линейного вещественного, 2я-периодического по t, канонического преобразования, приводящего систему дифференциальных уравнений (1.1) к нормальной форме. Будем предполагать, что характеристические показатели Kj системы (1.1) — чисто мнимые, = ia , а все мультипликаторы Pf = exp (i2n Tf ), = Pj (А = 1, 2,. . ., n) различны. Черта обозначает комплексно сопряженную величину. [c.39]

Можно показать, что функция измерима и удовлетворяет условиям определения 2.2. Тем самым она определяет некоторый характеристический показатель, называемый характеристическим показателем Ляпунова, отвечающим эндоморифзму Т и коциклу а п,х). Нетрудно показать, что функции 5 х), Xi( ). кг х) и подпространства L x), связанные с показателем уС, инвариантны относительно Т. [c.22]

Напомним, что (1]), 2а, о) —символическое представление для 5 на Л> Определение бирегулярных точек и характеристического показателя Ляпунова. см. в 2 главы 1. [c.152]

Шеннона —Макмиллана —Бреймана (см. гл. 3, 3) и свойств характеристических показателей Ляпунова вытекает, что для любого малого е>0 существует такое множество G G , что a(G )>1 — 8 и 1) число элементов разбиения л, покрывающих множество У х) П G , пропорционально ехр (А + в) п 2) диаметр каждого элемента разбиения пересекающегося с G , пропорционален ехр ( х + s) п. Далее можно показать, что разбиение является наилучшим , т. е. почти реализует inf в (7.35). Поэтому dim// ( / (х) П G ) (А е)/( 1 s). Остается перейти к пределу при е->0. [c.170]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...