Иррациональности условие

Так как обе функции, и и 5, содержат h п а, то, казалось бы, естественно ожидать, что путем выбора начальных условий всегда можно получить как периодические, так и апериодические движения. Такая гипотеза, однако, оказывается несостоятельной. Мы знаем, что существуют системы, которые всегда совершают периодические движения, и системы, которые никогда не движутся периодически. Оба типа систем встречаются в теории малых колебаний. Если отношение периодов есть число рациональное, то траектория системы всегда периодична, каковы бы ни были начальные условия если же это отношение есть число иррациональное, то траектория никогда не является периодической (исключая, разумеется, тот случай, когда система совершает главные колебания). Другой достаточно ясный пример — это ньютоновская орбита, которая всегда периодична, каковы бы ни были величина и направление начальной скорости планеты (если, конечно, начальная скорость не превышает того значения, которое она имела бы при движении из бесконечности в начальную точку под действием притяжения к центру). В 18.8 мы вернемся к этому вопросу и выясним причину встречаюш ейся здесь особенности. [c.308]

Начнем с простого случая, когда изображающая точка Р движется по окружности по направлению часовой стрелки с постоянной (единичной) угловой скоростью. 1) Если t изменяется непрерывно и в качестве области а берется дуга с углом раствора Р, то справедливость теоремы Пуанкаре (теоремы возвращения) очевидна. Далее, если х ( ) есть доля интервала времени от О до г, в течение которого изображающая точка находится в области а, то отношение % (Ь)/Ь, очевидно, стремится к пределу р/2я, и этот предел не зависит от положения начальной точки А на окружности. 2) Если мы имеем дискретную последовательность моментов времени г = О, т, 2т,. .. ( 22.7) и обозначим через V (п) число точек А, Ах, А2%, . , лежащих в области а, то отношение v (п)/п прп ->-00 будет стремиться к тому же пределу (3/2л прп условии, что отношение т/2л есть число иррациональное. Действительно, при этом условии точки Л, Ах, А2х, , отстоящие на угловых расстояниях О, т, 2т,. . . от точки А, стремятся к равномерному распределению по окружности. Предел не зависит ни от положения точки А па окружности, ни от величины основного интервала т, если только X не является соизмеримым с 2п. [c.443]

Такие условия разрешимости справедливы, например, для оболочки, имеющей форму однополостного гиперболоида ( 18.37) в этом случае требование А заключается в том, что отношение длин сторон прямоугольника G (рис. 51) должно быть иррациональным числом. [c.307]

Так как число — иррационально по условию, то возможно одно из двух либо [c.22]

По условию теоремы число — иррационально, поэтому в силу [c.24]

В этом примере помимо рассмотренных интегралов движения (т. е. полной энергии и а — ао) еще один интеграл получается исключением t из (6.10). Проекция поверхности уровня на физическую плоскость есть не что иное, как траектория, соответствующая заданным начальным условиям из рис. 9 ясно, что траектория будет проходить достаточно близко к любой точке прямоугольника, если отношение (6 os ао)/(а sin ао) не является рациональным числом если это отношение иррационально, то траектория подходит сколь угодно близко к любой точке прямоугольника. Это справедливо также и для плоскости (u,v), в которой траектории не кусочно прямые, а кривые здесь уравнения (6,10) представляют траектории движения, получаемого наложением двух ортогональных гармонических движений с частотами / /(4а), R/ 4h), т. е. в результате возникают общеизвестные фигуры Лиссажу, которые, как мы знаем, являются плотными в квадрате —1 < < 1, —1 < < 1, если отношение между частотами — иррациональное число. [c.38]

Используя эту схему, проанализируем теперь случай, когда М иррационально. При этом формально периода с не существует, т. е. с — оо и с О, что означает отсутствие слоевых линий ( бесконечно частое их расположение). Однако практически М можно аппроксимировать каким-то рациональным соотношением р д, которое и определит все особенности дифракционной картины. Более того, если отношение р д определяется большими числами, например 71/20, то основные особенности картины практически определятся наиболее близким отношением р q малых чисел при выполнении условия р 1д plq, в данном примере отношением 7/2. [c.151]

При Ц2 = О полученное начальное решение переходит в решение ньютоновой задачи. Если начальные условия таковы, что е < 1, а со иррационально, то траектория не будет замкнутой. Замкнутая траектория получится в случае рационального со и е < 1. [c.379]

Следовательно, условие невырожденности в нашей задаче не выполняется, но условие изоэнергетической невырожденности выполняется. Итак, теорема Колмогорова применима, и мы заключаем, что большинство инвариантных торов с иррациональным отношением частот сохраняется в случае, когда масса возмущающей планеты (Юпитера) отлична от нуля, но достаточно мала. [c.383]

Если к условиям, рассмотренным в предыдущей главе, добавить некоторые условия дифференцируемости, то можно установить несколько новых фактов из теории отображений окружности. В конце п. 11.2.6 мы наметили топологическую классификацию гомеоморфизмов окружности с иррациональными числами вращения. Если сосредоточить внимание на достаточно гладких диффеоморфизмах (см. теорему 12.1.1), ситуация существенно изменится. Предложение 12.2.1 показывает, что условие на гладкость является почти точным. Число вращения тогда становится полным инвариантом топологического сопряжения. Это несколько напоминает случай гиперболических динамических систем (см., например, теоремы 2.6.1 и 2.6.3). С другой стороны, классификация диффеоморфизмов окружности с точностью до дифференцируемого сопряжения возможна только для чисел вращения, удовлетворяющих дополнительным арифметическим условиям. В 12.3 мы докажем локальный результат такого типа в аналитической ситуации, а в 12.5 и 12.6 покажем, что в отсутствии такого арифметического условия сопряжение может обладать разного рода патологиями. В заключение в 12.7 мы покажем, что определенный аспект поведения преобразования поворота на иррациональный угол, а именно егО эргодичность относительно меры Лебега, сохраняется для всех достаточно гладких диффеоморфизмов окружности. [c.405]

Достаточная иррациональность и умеренная нелинейность. Предполагая, что сумма в (3.2.29) сходится к некоторому а, мы видим, что инвариантные кривые не существуют, если а = со /соа лежит внутри одного из заштрихованных на рис. 3.2, в интервалов ). Так как ширина этих интервалов пропорциональна (еС) - и убывает с ростом д, то необходимо, чтобы величина а лежала достаточно далеко от любого рационального значения р д. При малых 8 это условие легко выполнимо, но с ростом е инвариантные кривые существуют лишь для таких иррациональных а, которые наиболее плохо аппроксимируются рациональными числами. С этой точки зрения самым иррациональным числом является золотое сечение а = (д/5—1) 2 = а2. Грин [165] дал очень точный критерий возникновения сильной стохастичности в предположении ), что инвариантная кривая с а = разрушается последней (с ростом г). Мы опишем метод Грина и его результаты в гл. 4. [c.194]

Третий метод определения границы стохастичности базируется на анализе линейной устойчивости движения вблизи центра резонанса (его периодической траектории). Идея метода состоит в следующем. Поскольку потеря линейной устойчивости для резонансов с наиболее низкой гармоникой ( = 1) является слишком жестким условием, более эффективным критерием может служить линейная устойчивость для тех резонансов на высоких гармониках к, которые расположены вблизи некоторой инвариантной поверхности. Эта гипотеза была численно проверена и подтверждена Грином [164, 165]. Более конкретно, гипотеза Грина состоит в том, что существование инвариантной кривой с иррациональным числом вра- [c.247]

Сформулированная теорема принадлежит А. П. Колмогорову и В. И. Арнольду [2-5]. Полезно отметить, что условие иррациональности (21) налагается не на данную гамильтонову систему, а на вектор со = [и)1,. .., и ), выбранный в области изменения Ну. Теорема утверждает существование квазипериодических решений в П(и ), и в связи с этим условие (20), которое обеспечивает возможность контролировать частоты и)к = Ну, у) за счет выбора у, является решающим. Имеется еще один вариант этой теоремы, в котором (20) заменяется другим [c.346]

Когда движение по тору становится неустойчивым из-за изменения управляющего параметра и не выполняются специфические условия иррациональности отношения частот, поток q (/) может [c.69]

Итак, требуется найти такие со/, отношения которых, так сказать, достаточно иррациональны . Математически это условие можно выразить по-разному. Часто ему придают вид неравенства [c.95]

Если onst на взятом интервале, условия минимума Л,, и А совпадают. Выбрав (/, можно получить выражение А,, (ji , р,) взвешенного отклонения очень простого вида и использовать его вместо А. Например, если отклонение от заданной функции записывается в виде иррациональной функции А = К piX + р.,х + —Рл< неудобной для вычисления неизвестных коэффициентов р , то, приняв q = Y PiX - - PiX Ь Ря + Pi, получим другую функцию взвешенного отклонения А,, = Aq [c.78]

НЕСОРАЗМЕРНАЯ СТРУКТУРА — суперпозиция неск. периодич. структур, в к-рой хотя бы одно из отношений периодов разл. составляющих X. непрерывно зависит от внеш, условий, напр. темп-ры Т. При непрерывном изменении Т эта величина может пробегать иррациональные значения. Н. с. широко распространены в природе. Это нек-рые сегнетозлектрики, пироэлектрики, интеркалированные соединения графита, адсорбир. монослои, несоразмерные магнитные структуры и др, [c.334]

Использование того факта, что все малые знаменатели для большинства в смысле меры Лебега (см. [92]) иррациональных частот удовлетворяют некоторым оценкам снизу, вытекающим из арифметических свойств иррациональных чисел [114]. Если частоты. ..,п т суть рациональные числа, то очевидно, что всегда найдется целочисленный вектор к, для которого выполняется условие точного резонанса (0-резонапса) к, " ) = = О, но множество рациональных чисел счетно и, следовательно, мера Лебега этого множества равна пулю. [c.132]

Приведенное выше условие деформации с инвариантной плоскостью в общем случае не выполняется, так что обычно две решетки ае имеют ни рациональной, ни иррациональной плоскости сопряжения. Отсюда следует, что изменением формы исходной решетки нельзя получить решетку конечной фазы. Впервые это было отмечено Гренингером и Трояно в работе [32], сыгравшей большую роль в разработке теории мартенситного превращения. Затруднение это устраняется, если разграничить изменение деформацию) формы, являющееся однородной деформацией в масштабах, значительно превышающих атомные, и деформацию решетки, однородную в масштабах, определяемых расстоянием между эквивалентными узлами решетки. [c.317]

Плоскость двойникования и направление двойникования, удовлетворяюш ие критерию Боулза — Маккензи, совпадают с предполагаемыми элементами механического двойникования. Более примечательным примером является мартенситное превра-ш ение в сплавах золото — кадмий как установлено, конечная фаза в этом случае представляет собой пакет тонких двойников с плоскостью двойникования типа 111 ромбической решетки, а направление двойникования, как и предсказывает кристаллографическая теория, является иррациональным. Как уже указывалось, самые простые предположения относительно S в ряде мар-тенситных превраш,ений приводят к весьма хорошему совпадению между, теоретическими и экспериментальными данными, в других же случаях это не так. Изменение теоретических результатов можно получить, либо меняя элементы S, либо отказываясь от условия, что полное изменение формы является деформацией с инвариантной плоскостью. [c.322]

Если при некоторых условиях а - рациональное число и движение периодическое, то при сколь угодно малых изменениях начальных данных или уравнения поверхности а становится, вообще говоря, иррациональным числом, и движения на торе становятся условно-периодическими. Верно и обратное. Так как рациональные числа плотны на множестве вещественных чисел, сколь угодно малой вариацией начальных данных условно-перио-дическое движение можно сделать периодическим (возможно с очень больгпим периодом). [c.269]

Из условия У1 (п. 5.2) следует, что найдется 1с такое, что отногиение 7 ( с)/72 ( с) иррационально. Тогда в интервале Е [c.201]

При иррациональном п ннтеграл можно разложить в ряд по степеням т, чего мы не рассматриваем. Но чтобы проиллюстрировать это на простом примере, предположим, что п равно двум. Мы получаем в этом случае из предыдущего условия, что [c.188]

Решение ур-ий 1-й степени становится всегда возможным только при условии введения в вычисления наряду с положительными целыми и дробными числами, изучаемыми в арифметике, также отрицательных целых и дробных чисел подобным же образом решение квадратных ур-ий становится всегда воаможным только при условии введения иррациональных и комплексных чисел. Окончательная форма решения квадратного ур-ия была выработана постепенно различными учеными 16 в., тогда же появились и мнимые величины (Кардан, 1545 г.) современная запись ур-ий и неизвестных восходит к Декарту ( La geo-metrie , 1637 г.). В настоящее время решение ур-ий 1-й и 2-й степени вместе с общей теорией отрицательных чисел и основами теории чисел иррациональных и комплексных и теорией вычислений с буквенными выражениями составляет т. н. элементарную А. Дальнейший прогресс в решении алгебраич. уравнений был сделан в 16 в. Тарталья и Карданом, которые нашли общую формулу решения уравнений 3-й степени. Можно показать, что решение всякого уравнения 3-й степени вида [c.261]

Если число 7 окажется рациональным (это может случиться только при некоторых начальных условиях), то траектория финитного движения частицы, описываемая уравнением (19.25), будет замкнутой. В качестве иллюстрации на рисунке 19.7 приведены замкнутые кривые (19.25), соответствующие значениям V = 3/2 (кривая а) и у = 4/3 (кривая б). Однако чаще всего число V оказывается иррациональным и мало отличающимся от единицы (при2 лр < ). В этом случае финитное движение в поле (19.23) происходит по розеточной траектории [c.122]

Легко видеть, что одного обращения в нуль периодических препятствий может быть недостаточно для существования приемлемых решений непод-крученного когомологического уравнения. Например, поскольку иррациональные повороты окружности не имеют периодических точек, нет и никаких периодических препятствий, хотя имеется другое, очевидно, необходимое условие если д х) = p R x))—tp x) и функция р интегрируема, то [c.114]

Мы уже встречались с гомеоморфизмами окружности в предыдущих главах. Повороты (см. 1.3) представляют собой достаточно простой пример, который можно систематически исследовать. Пуанкаре поставил вопрос о том, при каких условиях данный гомеоморфизм или диффеоморфизм сопряжен повороту. Оказывается, что по крайней мере для достаточно гладких отображений единственный модуль — число вращения — полностью описывает топологический класс, если он является иррациональным, и трудности, возникающие для рациональных значений, легко могут быть описаны. Даже в топологическом случае иррациональность числа вращения гарантирует полусопряженность с соответствующим поворотом. [c.391]

Измените конструкцию, приведенную в этом параграфе, так, чтобы для данного /3>0 получить нетранзитивный С -диффеоморфизм с данным иррациональным числом вращения, производная которого удовлетворяет следующему условию, являющемуся более сильным, чем а-гёльдеровость для любого а < 1 [c.409]

Теперь мы можем полностью описать структуру отображения, например поверхность сечения нелинейного осциллятора с двумя степенями свободы. Очень схематично топология такого отображения дана Арнольдом и Авезом [14]. Рассмотрим случай умеренного возмущения, когда многие невозмущенные инвариантные кривые (/ = onst, см. рис. 3.1, б) сохраняются и при наличии возмущения. Будем считать для определенности, что JdJ, а а = = 0(,i/ 0o2 = 1/л (иррациональное число) при = 0. С ростом JI частота oi уменьшается, пока не достигнет значения, соответствующего первому существенному резонансу со = СО2/4. При этом на поверхности сечения образуется цепочка из четырех островков. Другими словами, если начальные условия траектории совпадают [c.200]

Оно изображено на рис. 5.1, а для а = 1/5 (рациональное число) II двух начальных условий (кружки и креста). Выбрав / (6), как показано на рис. 5.1, б, легко видеть, что / = О для кружков и [ = /о для крестов. Таким образом, движение в этом случае не зрго-дично. Для иррационального а траектория покрывает всю окружность и / (л ) = (/) = /о, 2, т. е. движение является эргодическим на окружности. [c.294]

Условие на иррациональное число вращения (так называемое условие Л> Эрмана), достаточное для принадлежности 1 множеству, указанному в теореме, состоит в следующем. Пусть i=ao+ l/(ai- -l/(a2- . ..))—разложение числа ц, в непрерывную дробь. Число 4, удовлетворяет условию А, если [c.49]

О < а < 1 меру Лебега, равную единице. Множество действительных иррациональных чисел а, для которых по крайней мере один сходящийся ряд /( ) с первым коэффициентом Л = приводит к расходящемуся ряду Шрёдера (р С), имеет поэтому меру нуль. В частности, можно сказать, что вообще отображение 5 устойчиво, если только выполнено необходимое условие Л = 1. [c.243]

Дадим теперь пример такого сходящегося степенного ряда для Н, чтобы интеграл ых = ххух +... расходился в частности, тогда получится, что систему Гамильтона, образованную с этой функцией Н, нельзя перевести сходящимся каноническим преобразованием в нормальную форму. Для этого положим гг = 2, Л1 = г, Лг = гр с действительным иррациональным числом р, так что условие линейной независимости Л1, Л2 выполнено. Положим затем [c.278]

Положение таково (и именно в интересных случаях), что условие (it) нарутпается в силу появления периодических членов с несоизмеримыми периодами. Эти соображения опираются на свойства иррациональных чисел и применимы непосредственно после введения угловых переменных. Единственный полезный критерий, являюш ийся достаточным для выполнения условий (i) — (ii), относится лишь к случаю, когда исследуемое на устойчивость решение х = x t) системы х = f(x) является равновесным в смысле определения, данного в 83. [c.122]

Помимо рассмотренных выше примеров, из теоремы 1.1 вытекают существование и эргодические свойства абсолютно непрерывной меры для растягивающих эндоморфизмов компактных многообразий (см. [ЮО]). Условие I теоремы Уолтерса, в частности, предполагает у Т наличие локальной структуры прямого произведения. Этому требованию не удовлетворяют, например, такой популярный в теории чисел пример, как -преоб-разования x- x (mod 1) с иррациональным >l. [c.209]

Предположим, что наложенная связь не нарушает квазипериодического характера решений. Как было показано в предыдущем разделе на примерах (5.1.28), (5.1.30), дополнительный член I может приводить к сдвигу частот. С другой стороны, мы покажем, что адекватный учет возмущения ef возможен только в том случае, если оно не приводит к сдвигу частот со/. Ситуация, с которой мы здесь сталкиваемся, полностью аналогична ситуации, описанной нами в разд. 2.1.3, где сходимость ряда Фурье определялась условиями иррациональности отношений частот со/. Оказывается, что и в рассматриваемом случае мы возвращаемся в точности к тем же условиям иррациональности. Для выполнения их необходимо, чтобы основные частоты со/ все время оставались неизменными. Достичь этого можно с помощью формального трюка одновременно с возмущением f ввести в (5.2.1) контрчлен А (е), компенсирующий в каждом порядке по е сдвиг частот, вызываемый возмущением Следовательно, вместо уравнения (5.2.2) мы должны рассматривать уравнение [c.194]

Нерешенные задачи Хотя теоремы Брюно, Йоккоза и Перес-Марко очень точны, они не дают ответа на все вопросы о локальном поведении вблизи иррациональной нейтральной неподвижной точки. Например, вблизи любой точки Кремера существует очень сложная локальная структура (ср. [Перес-Марко, 1997]), хотя до сих пор не существует ни одного хорощо осмысленного примера. Неизвестно, имеет ли какая-нибудь рациональная функция точку Кремера без малых циклов. Также неизвестно, имеет ли какая-либо нелинейная рациональная функция диск Зигеля, для которого условие Брюно не выполняется. [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...