О существовании и единственности решения основной системы уравнений

О существовании и единственности решения основной системы уравнений [c.408]

Для стационарных краевых задач движения вязкой несжимаемой жидкости О. А. Ладыженской было доказано [33], что они имеют решения при любых числах Ке, причем даже для нерегулярных границ. Нестационарные краевые задачи имеют единственное решение [33], если в них отсутствует зависимость от одной из координат или есть аксиальная симметрия. В остальных случаях нестационарных задач имеется ряд ограничений на начальные данные и числа Ке. В частности, исследования О. А. Ладыженской подтвердили достоверность основной системы уравнений вязкой жидкости для не слишком больших чисел Яе. Это подтверждают и эксперименты, указывающие на существование в определенном диапазоне чисел Яе ламинарной формы движения жидкости (газа), описываемой приведенными системами уравнений. [c.408]

Вопросам усреднения уравнений с частными производными и их приложениям посвящена обширная литература. Настоящая книга почти не имеет пересечений с другими монографиями, в которых излагаются задачи усреднения дифференциальных операторов. Особое внимание в ней обращено на задачи, связанные с линейной стационарной системой теории упругости. Поэтому для удобства читателя первая глава книги содержит материал, относящийся к исследованию стационарной системы теории упругости. В ней рассматриваются вопросы существования и единственности решений основных краевых задач теории упругости, неравенства Корна и их обобщения, априорные оценки решений и их свойства, краевые задачи в так называемых перфорированных областях и свойства их решений, а также приводятся некоторые вспомогательные сведения из функционального анализа. Все эти результаты используются в последующих главах, многие из них излагаются впервые. [c.6]

К числу наиболее сложных и актуальных с точки зрения приложений проблем динамики деформируемых тел относится проблема дифракции упругих волн на различного типа неоднородностях. Это объясняется тем обстоятельством, что практически во всех возникающих задачах наличие неоднородности (включения, полости, выреза, локального изменения свойств и т. д.) является почти непременным условием и информация о динамической напряженности возле этих неоднородностей необходима для различных целей. В то же время задачи дифракций упругих волн на неоднородностях входят в состав классических задач динамики деформируемых тел, а их решение требует привлечения сложного математического аппарата. Последнее обстоятельство наряду с другими не позволило на протяжении длительного времени исследовать широкие классы задач с оценкой динамической напряженности вблизи неоднородностей и основные достижения получены в основном в трех традиционных направлениях. Первое направление связано с построением точных аналитических решений отдельных весьма немногочисленных задач в большинстве случаев без анализа динамической напряженности вблизи неоднородностей. Второе направление состоит в сведении весьма широких классов задач дифракции упругих волн к системам многомерных сингулярных и регулярных интегральных уравнений с последующим доказательством существования и единственности решения. Третье направление связано с развитием асимптотических методов решения задач дифракции упругих волн, в большинстве случаев не позволяющих определить динамическую напряженность вблизи границ раздела свойств (вблизи неоднородностей). [c.5]

Интегральные уравнения граничных задач. Теоремы существования и единственности. Рассмотрим первую и вторую основные граничные задачи с постановкой этих задач мы познакомились в 2 гл. II. Правда, здесь речь идет уже о построении решения системы уравнений (8.4). Разыскивая решение первой задачи в виде потенциала двойного слоя первого рода, а решение второй — в виде потенциала простого слоя первого рода, получим на основании [c.265]

При решении проблемы числа форм равновесия системы в основном стараются выяснить пределы изменения параметров нагрузки, при которых данная упругая система имеет единственную форму равновесия. Можно было бы предполагать, что эти пределы определяются первой точкой ветвления решений тех нелинейных уравнений, которые описывают деформацию упругой системы, а сама первая точка ветвления определяется как наименьшее собственное значение соответствующей линеаризованной краевой задачи. На пути отождествления этих трех понятий точки, определяющей область существования единственной формы равновесия упругой системы точки ветвления решений уравнений деформированного состояния упругой системы и наименьшего собственного числа линеаризованной задачи — и решались задачи устойчивости еще со времени Эйлера [27]. В некоторых случаях такая концепция получила теоретическое обоснование. Эти вопросы рассматривались в известной работе Ф. С. Ясинского [28] и окончательно решены для шарнирно-опертого стержня в работе [1]. Вместе с этим совершенно очевидно, что отождествление всех трех указанных понятий далеко не всегда правомерно, и этот вопрос должен быть рассмотрен в первую очередь. [c.257]

До появления ЭВМ основное внимание уделялось эллиптическим уравнениям. Первое строгое математическое доказательство сходимости и оценку погрешности итерационного метода Либмана для решения эллиптических уравнений дали Филлипс и Винер [1923]. В 1928 г. появилась классическая работа Куранта, Фридрихса и Леви. Эти авторы в основном интересовались использованием конечно-разностных методов как инструмента для исследований в чистой математике. Дискретизируя дифференциальные уравнения, доказывая сходимость дискретной системы к дифференциальной и, наконец, устанавливая существование решения дискретной системы алгебраическими методами, они доказывали теоремы существования и единственности для эллиптических, гиперболических и параболических систем дифференциальных уравнений 2). Эта работа определила направление практического получения конечно-разностных решений в последующие годы. [c.18]

Строго говоря, система определяющих параметров веегда должна быть полной. Это означает, что основные уравнения процесса и краевые условия к ним должны образовывать замкнутую систему, в которой число уравнений равно числу неизвестных величин. При этом должно быть выяснено и существование единственности решения такой системы уравнений. [c.24]

Несмотря на нелинейный характер основной системы уравнений в большинстве случаев удается доказать существование и единственность решения приведенных выше систем уравнений при соответствующих граничных условиях. Эти исследования проводились для конкретных типов задач. Во всяком случае, для систем (2.176), (2.177), (2.181а) и (2.1816) они известны. Сложнее обстоит дело с вязкой жидкостью (газом). [c.408]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...