Эйлера-Пуансо уравнения

Погрешность решения для медленных переменных будет порядка 8 на интервале времени порядка е" , что соответствует числу оборотов спутника по орбите порядка 8" (так как Av 8" ). Для построения осреднен-ной системы (6.7.12) нужно осреднять правые части уравнений движения (при фиксированных медленных переменных и V) по движению Эйлера — Пуансо. Эти правые части — периодические функции д, ф, г ) с периодами 2я, а периоды т и т несоизмеримы. В этом случае, как можно показать [71], осреднение по времени эквивалентно независимому осреднению по периоду т и периоду т, то есть [c.227]

Таким образом, возмущенное движение спутника складывается из движения Эйлера — Пуансо вокруг вектора кинетического момента и движения самого вектора кинетического момента, описываемого уравнениями [c.228]

Будем считать параметр ц малым. Тогда рассматриваемая задача является возмущением интегрируемой задачи Эйлера-Пуансо. Отметим, что исследование канонической системы уравнений с гамильтонианом 3 + при малых значениях параметра /х математически эквивалентно исследованию быстрых вращений тела в умеренном поле тяготения. [c.37]

Теория рождения периодических решений в канонических системах дифференциальных уравнений, близких к интегрируемым, была разработана А. Пуанкаре для целей небесной механики. В данной главе устанавливается применимость этих результатов к классической задаче о движении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Тем самым удается существенно расширить класс известных периодических решений. В этой же главе исследовано воздействие возмущения на сепаратрисы неустойчивых периодических решений задачи Эйлера-Пуансо — постоянных вращений вокруг средней оси эллипсоида инерции. Сложное поведение траекторий уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки (в частности, рождение многочисленных изолированных периодических решений и расщепление сепаратрис) несовместимо с существованием нового независимого аналитического интеграла. [c.74]

Согласно теореме 3 вековое множество совпадает с множеством 9 резонансных торов задачи Эйлера-Пуансо, которые удовлетворяют условиям теоремы Пуанкаре о рождении изолированных периодических решений. Ниже будет показано, что как раз рождение большого числа невырожденных периодических решений уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой несовместимо с интегрируемостью этой задачи. [c.97]

Если написать динамические уравнения Эйлера для случая движения Эйлера — Пуансо в виде [c.454]

Так как 0—интеграл задачи, то для /j, ф, получается система с двумя степенями свободы и двумя частотами. Применяя принцип усреднения, получаем, что действия />—интегралы, а фазы ф испытывают равномерное вращение, близкое к вращению в задаче Эйлера—Пуансо. Из анализа уравнения ё = = е< Я /( 0 легко следует, что в рассматриваемом приближении изменение угла д близко к равномерному вращению с угловой скоростью порядка е. Итак, получается, что в системе координат, связанной с вектором кинетического момента и вертикалью, тело совершает движение почти по Эйлеру—Пуансо , а сам вектор кинетического момента медленно прецессирует вокруг вертикали. Д [c.184]

Одной из классических задач механики является задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта задача имеет первостепенное значение для теории гироскопов, нашедшей широкое применение в различных областях современной техники. Эйлер дал аналитическое решение этой задачи в простейшем случае, а именно в случае движения тела вокруг неподвижной точки по инерции. Пуансо дал для того же самого случая наглядную геометрическую интерпретацию. Лагранж решил эту задачу в том случае, когда твердое тело имеет динамическую ось симметрии, проходящую через неподвижную точку. После Эйлера и Лагранжа многие ученые пытались найти новый случай решения этой задачи, т, е. новый случай интегрируемости дифференциальных уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки, но безуспешно. [c.17]

В случае симметричного твердого тела нетрудно получить аналитическое решение, которое подтверждает прецессионный характер рассматриваемого движения, исследованного нами с помощью интерпретации Пуансо. Примем ось симметрии за ось 2. Тогда будем иметь 1 =1ъ и уравнения Эйлера (5.36) примут вид [c.183]

Первые интегралы. Мы видели в предыдущем пункте, что в настоящем случае, для движения Пуансо, второе основное уравнение (1) или эквивалентные ему уравнения Эйлера (5) допускают интеграл (векторный) момента количеств движения [c.84]

Перманентное вращение. Посмотрим, имеются ли между бесконечно разнообразными движениями по Пуансо, возможными для твердого тела, закрепленного в точке О, равномерные вращения. Это равносильно вопросу возможно ли удовлетворить уравнениям Эйлера (5 ) или эквивалентному векторному уравнению (18 ). полагая ш равным постоянному вектору в теле (а следовательно, также и в пространстве т. I, гл. IV, п. 11) Но а таком, случае в силу [c.88]

Проверить на основании уравнений (5) Эйлера (п. 1) и уравнений (35 ) Пуансо (п. 22), что существует также интеграл [c.180]

Рис. 74. Полодии на эллипсоиде инерции в представлении Пуансо, а также поток, задаваемый уравнениями Эйлера на уровне энергии. Видны особые точки типа центр и седло . Ассоциация с предыдущими двумя рисунками не случайна этот поток можно представить как гамильтонов

Сам Эйлер дал общее решение своих динамических уравнений для случая, когда момент приложенных к телу внешних сил равен нулю такие условия соблюдаются с величайшей точностью, если исследуется вращение небесного тела около центра масс а другие небесные тела находятся от него на большом удалении. Л. Пуансо нашел блестящую геометрическую интерпретацию случая Эйлера, представив такое движение тела с большой наглядностью. [c.138]

Аналитическое решение для случая Эйлер а— Пуансо. Было доказано, что динамические уравнения Эйлера можно записать в виде [c.456]

Уравнения Эйлера. Описание движения по Пуансо [c.127]

Динамика твердого тела изучается на основе общих теорем об изменении кинетической энергии, кинетического момента и количества движения, а также с помощью основных понятий геометрии масс. Показывается, что аппарат динамики системы материальных точек применим для описания движения твердого тела и систем твердых тел. Проясняется вычислительная экономность использования уравнений Эйлера. Традиционно анализируются случаи Эйлера-Пуансо, Лагранжа-Пуассона, Ковгияевской [24]. В качест)зе примера методики по.чучения частных случаев интегрируемости приводятся случаи Гесса и Бобылева-Стеклова [6]. С целью демонстрации приложения развитых методов к практике даются основы элементарной теории гироскопов [14, 41], достаточные для качественного анализа действия гироскопических приборов. [c.12]

Определение ориентации твердого тела в абсолютном пространстве для движения Эйлера-Пуансо. После того как в п. 102 величины р, г были определены как функции времени, можно из кинематических уравнений Эйлера (5) найти углы определяющие ориентацию твердого тела относительно неподвижной системы координат OXYZ. Задача сильно упрощается, если, как и в п. 100, ось 0Z направить вдоль неизменного кинетического момента Ко (рис. 96). При таком выборе неподвижной системы координат проекции Ар, Bq Сг вектора Ко на оси связанной с телом системы главных осей инерции Ож, Оу Oz вычисляются, согласно рис. 96, по формулам [c.202]

Покажем, что функция не зависит от угловой переменной g. Так как функция — первый интеграл невозмущенной задачи, то она постоянна вдоль траекторий невозмущенной системы уравнений. На нерезонансных инвариантных торах интегрируемой задачи траектории всюду плотны [4], следовательно, непрерывная функция постоянна на каждом нерезонансном торе. Хорошо известно [4], что в невырожденной интегрируемой гамильтоновой системе нерезонансные торы всюду плотно заполняют фазовое пространство. Так как задача Эйлера-Пуансо невырождена (теорема 3 гл. III) и функция 0 непрерывна, то постоянна на всех инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо. Очевидно, что для всех g G R точки (Х°, Р, G , g) лежат на одном и том же инвариантном торе (см. 1). Следовательно, [c.64]

К полученной натуральной системе можно применить изложенные выше результаты. При к > ш область возможных движений совпадает со всей сферой Пуассона. Поскольку на двумерной римановой сфере существуют, по крайней мере, три различные замкнутые песамопересекающиеся геодезические, то в этом случае уравнения пониженной системы имеют шесть различных периодических решений [57] . Если задача мало отличается от интегрируемого случая Эйлера-Пуансо, то эти решения суть возмущения постоянных вращений вокруг главных осей эллипсоида инерции (см. 2, 3 гл. IV). [c.145]

Уравнения движения в первых двух случаях подробно изучены с разных точек зрения в классических работах Эйлера, Пуансо, Лагранжа, Пуассона, Якоби. Случай Ковалевской нетривиален во многих отношениях. Он был найден Ковалевской из условия мероморфности решений уравнений Эйлера — Пуассона в комплексной плоскости времени. Случай Горячева — Чаплыгина намного проще его можно проинтегрировать с помощью разделения переменных. Покажем это. [c.89]

А. Чаплыгин также использовал метод Гамильтона-Якоби для интегрирования двух случаев Клебша в сфероконических координатах. При этом аналогичная процедура предлагается им для интегрирования полной (т.е. для системы уравнений для случая Эйлера - Пуансо. [c.175]

До конца XIX в. случаи движения твердого тела, исследованные Эйлером и Лагранжем, были единственными, в которых было проведено полное интегрирование системы дифференциальных уравнений (III. 12) и (III. 14). На протяжении большей части минувшего столетия изучались разные свойства движений в указанных двух классических случаях. При этом были найдены результаты, о характере которых дает представление интерпретация Пуансо движения по инерции твердого тела вокруг закрепленной точки. В этом направлении работали Максвелл, Сильвестр, Мак-Куллах, Якоби, Сомов, Дарбу и др. [c.448]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...