Пространство симплектическое линейное

Пространство К вместе с симплектической структурой I,] называется симплектическим линейным пространством. [c.191]

Но поскольку всякая симплектическая линейная структура записывается в стандартном виде в симплектической системе координат, определитель симплектического преобразования любого симплектического пространства равен единице, ч.т.д. [c.194]

Определение 5.5.1. Пусть Е — линейное пространство. 2-тензор а Е X Е Ш называется невырожденным, если а v>-+ а(v, ) — изоморфизм Е на двойственное пространство Е. Этот тензор называется антисимметричным, если a v, w) = —a w, v). Невырожденная антисимметричная 2-форма называется симплектической формой. Линейное пространство с фиксированной симплектической формой называется симплектическим векторным пространством. Если (Е, а) и (F, ) — симплектические векторные пространства, то линейное отображение Т Е F называется симплектическим, если Т /3 = а [c.226]

Определение 5.5.3. Подпространство V симплектического линейного пространства Е, а) называется изотропным, если а ,,=0. Изотропное подпространство размерности п = dim Е /2 называется лагранжевым. [c.227]

Пара (М, Е) называется симплектическим (каноническим) многообразием. Функция f,g называется скобкой Пуассона функций /ид. Скобка Пуассона превращает линейное пространство С М) в бесконечномерную алгебру Ли над полем R. Ее центр (множество элементов, коммутирующих со всеми элементами алгебры) состоит лишь из постоянных функций. [c.19]

Симплектические преобразования. Рассмотрим линейное преобразование В SR " SR векторов симплектического пространства. [c.308]

Рассмотрим линейное преобразование 1 = , 2,...,п, пространства определяемое преобразованием векторов симплектического базиса 82т по следующим формулам [c.319]

Линейные канонические преобразования. Линейные КП фазового пространства г г = Аг называются симплектическими, если А является матрицей, удовлетворяющей условию (26.4). [c.268]

В. Симплектическая группа. С евклидовой структурой связана ортогональная группа линейных отображений, сохраняющих евклидову структуру. В симплектическом пространстве аналогичную роль играет симплектическая группа. [c.193]

Теорема. Преобразование 8 К " К " стандартного симплектического пространства (р, д) симплектическое тогда и только тогда, когда оно линейное и каноническое, т. е. сохраняет дифференциальную 2-форму [c.194]

Рассмотрим с этом точки зрения линейное симплектическое пространство. [c.194]

В настоящем параграфе проведен аналогичный анализ поведения собственных чисел линейных симплектических преобразований фазового пространства любого числа измерений. Результаты этого анализа (принадлежащего М. Г. Крейну) применяются при исследовании условий возникновения параметрического резонанса в механических системах со многими степенями свободы. [c.197]

А. Симплектические матрицы. Рассмотрим линейное преобразование симплектического пространства 5 Пусть Ри , Рп1 Яи Яп — симплектическая система координат. В этой системе координат преобразование задается матрицей 5. [c.197]

Из результатов 25 следует, что условия возникновения параметрического резонанса в линейной канонической системе с периодически меняющейся функцией Гамильтона состоят как раз в том, что соответствующее симплектическое преобразование фазового пространства перестает быть устойчивым. Из доказанной [c.200]

Примером применения методики Пуанкаре к системе с большим чем 2 числом степеней свободы является теорема Биркгофа о существовании бесконечного числа периодических решений, близких к данному линейно-устойчивому периодическому решению общего вида (или о существовании бесконечного числа периодических точек в окрестности неподвижной точки линейно-устойчивого невырожденного симплектического отображения пространства на себя). Доказательства заключаются в том, что сначала отображение аппроксимируется своей нормальной формой, а потом используется связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции. [c.391]

В. Индексы замкнутых кривых. Индексы замкнутых кривых на лагранжевых подмногообразиях линейного фазового пространства можно вычислять также с помощью комплексной структуры. Введем в линейном фазовом пространстве R = (р, 9) , кроме симплектической структуры, dp Д dg еще евклидову структуру (со скалярным квадратом р -j- д ) и комплексную структуру, заданную умножением на мнимую единицу [c.413]

После этих предварительных замечаний вернемся к нашему лагранжеву многообразию и лежащей на нем замкнутой ориентированной кривой. В каждой точке кривой имеется касательная плоскость к лагранжеву многообразию в линейном симплектическом пространстве. Квадрат определителя унитарного преобразования, переводящего вещественную плоскость в касательную, есть комплексное число, по модулю равное единице. При движении точки по нашей замкнутой кривой это комплексное число меняется. За время полного обхода кривой квадрат определителя совершит некоторое целое число оборотов вокруг начала координат на плоскости комплексного переменного, ориентированной от 1 к Это целое число и есть индекс рассматриваемой замкнутой кривой. [c.414]

Предложение 5.5.2. Пусть Е —линейное пространство. Если а —симплектическая форма на Е, то dim Е = 2п для некоторого neN и существует такой базис. .., в2 пространства Е, что (е , J = = 1, если г = 1,..., п, и а(е,., е ) =0, если i-j ф п. Следовательно, если скалярное произведение в Е, относительно которого векторы е,,..., в2 [c.226]

Предложение 5.5.17. Пусть (М, и>) — симплектическое многообразие. Тогда линейное пространство С°°(М) со скобкой Пуассона , является алгеброй Ли. [c.233]

Пусть А — линейное симплектическое отображение канонического пространства Отображение А называется устойчивым, если последовательность А ограничена. Отображение А называется параметрически устойчивым, если все симплектические отображения, близкие к А, устойчивы. [c.219]

Предложение 15. Линейное пространство наблюдаемых функций замкнуто относительно скобки Пуассона (порожденной стандартной симплектической структурой dp/ dq) тогда и только тогда, когда связи вполне интегрируемы. [c.49]

Лемма 1. Единственными симплектическими инвариантами подпространства линейного симплектического пространства (снабжённого невырожденной кососимметрической билинейной формой) являются его размерность и ранг ограничения на него симплектической формы. [c.13]

Другими словами, для двух произвольных подпространств одинаковой размерности и ранга существует линейное симплектическое преобразование объемлющего пространства, отправляющее первое под- [c.13]

Контактная геометрия составляет математический базис геометрической оптики в таком же смысле, в каком симплектическая геометрия является базисом классической механики. Оптико-механическая аналогия Гамильтона позволяет интерпретировать проблемы и результаты симплектической геометрии на языке контактной геометрии и наоборот. Тем не менее, прямой подход в терминах контактной геометрии во многих случаях предпочтительнее, по крайней мере с точки зрения геометрической интуиции он демонстрирует геометрическое содержание формул симплектической теории. Связь между симплектической и контактной геометриями подобна связи между геометрией линейных пространств и проективной геометрией для того чтобы получить контактный аналог симплектического утверждения, необходимо заменить функции гиперповерхностями, аффинные пространства проективными и т. д. [c.59]

А. Симплектическое линейное пространство. Пусть К " — четномерное линейное пространство. [c.191]

Евклидова структура в линейном пространстве задается симметрической билинейной формой, а симплектическая — кососимметрической. Геометрия симплектического пространства освежающе непохожа на евклидову,, хотя и имеет много сходных черт. [c.191]

Определение. Линейное преобразование 5 К " -> К " симплектического пространства в себя называется симплектическим, если оно сохраняет кососкалярное произведение [c.193]

Доказательство. Нунодается в доказательстве лишь невырожденность со на ТМх- Рассмотрим линейное симплектическое пространство ГВ ". Векторы Р (аг), Qг (ж) гамильтоновых полей с функциями Гамильтона рг и дг принадлежат ГВ "-Пусть I е ТМх. Производные рг и дг по направлению равны нулю. Значит, йрг ( ) = со ( , Рг) = О, йдг ( ) = со ( , О ) = 0. Итак, ТМх есть косоортогональное дополнение к Рг ( )> Ог ( ) Согласно 41, Б форма со на ТМх невырождена. Лемма доказана. [c.202]

Симплектическая структура на орбитах конрисоединенного представления определяется следующей конструкцией. Пусть х — точка из дуального пространства к алгебре, — вектор, касательный в этой точке к ее орбите. Поскольку д — линейное пространство, мы можем считать вектор принадлежащий, честно говоря, касательному пространству к д в точке х, лежащим в д. [c.287]

А. Эрмитова структура комплексного проективного простран--ства. Напомню, что п-мерное коьшлексное проективное пространство СР" — это многообразие всех проходящих через точку О комплексных прямых в п + 1-мерном комплексном линейном пространстве Чтобы построить на комплексном проективном пространстве СР симплектическую структуру, мы используем эрмитову структуру в соответствующем линейном пространстве [c.309]

Теорема Вильямсона. Линейное вещественное симплектическое пространство, на котором задана квадратичная форма Н, распадается в прямую сумму попарно косоортогоналъных вещественных симплектических подпространств так, что форма Н представляется в виде суммы форм указамных выше видов на этих подпространствах. [c.349]

Рассмотрим пространство бинарных форм (однородных многочленов от двух переменных) нечетной степени. На этом четномерном линейном пространстве действует группа линейных преобразований плоскости. С точностью до множителя существует ровно одна невырожденная кососимметрическая билинейная форма на этом пространстве, инвариантная относительно действия группы 8Ь(2) линейных преобразований с определителем единица. Эта форма задает на многообразии бинарных форм нечетной степени естественную симплектическую структуру. [c.447]

Теорема (1981). Все симплектические структуры общего положения в окрестности точки прямого произведения ласточкина евоста на линейное пространство формально диффеоморфны. [c.460]

По предложению 5.5.2 мы можем найти таюие координаты в некоторой окрестности любой данной точки х, что в индуцированных координатах в касательном пространстве Т М симплектическая форма имеет канонический вид. Это можно сделать, начиная с произвольной системы координат и применяя соответствующую линейную замену координат. Однако, в отличие от случая римановой метрики, возможно найти такую локальную систему координат, что симплектическая форма приводится к каноническому виду в каждой точке нашей окрестности. Мы приведем доказательство этого факта, предложенное Мозером, которое демонстрирует еще одно применение метода, впервые использованного нами в п. 5.1 д. [c.229]

М, Ь) является натуральной, перейдем с помощью преобразования Лежандра к уравнениям Гамильтона иа Т М. Функции /ь. .., / Т М- -Н независимы и инволютивны (в стандартной симплектической структуре на Т М) тогда и только тогда, когда поля VI,..., о независимы и коммутируют иа М. Наличие линейных интегралов налагает ограничения не только на риманову метрику и потенциал силового поля, но и на топологию пространства положений. [c.93]

Упражнение 1. Полным флагом в векторном пространстве V называется последовательность векторных подпространств Vq С Vi С. .. С qVj = V, dim Vi = i. Расклассифицируйте флаги в симплектическом векторном пространстве V2n с точностью до линейного симплектоморфизма. [c.21]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...