Случай двух вихрей

Применяя тот же метод, можно также обобщить результаты Гельмгольца, относящиеся к случаю двух вихрей. [c.260]

Упражнения. 1. Найти уравнение линий тока для случая двух вихрей одинаковой интенсивности. [c.205]

Случай двух вихрей ЛГ = 2 [c.556]

Простейшим примером движения системы точечных вихрей является задача о движении двух вихрей. Хотя такая ситуация рассмотрена еще в работе Г.Гельмгольца 135], кратко приведем результаты ее решения для последовательного изложения общей проблемы динамики точечных вихрей. Система уравнений (3.6) для случая двух вихрей с интенсивностями К и К] имеет вид [c.82]

Важным частным случаем двух вихрей является случай так называемой вихревой пары , для которой К,+К2=0, т.е. к,=-к2=к>0. [c.84]

Особенно интересен тот частный случай, когда вихри в Tj и Гд противоположны. Мы знаем, что в случае двух бесконечно тон- [c.249]

Для теоретического обоснования возможности композиции двух вихрей проанализируем рещение (2.68) для функции тока элементарной винтовой нити. Если исключим слагаемое, содержащее щ в (2.68), го нетрудно заметить, что рещение инвариантно относительно знака /. В сущности, иа есть константа интегрирования и должна определяться отдельно для каждой зоны. Следовательно, нет проблемы с учетом члена, содержащего щ/1 в (2.68). Тогда мы можем сконструировать модель вихря путем комбинации областей, состоящих из левых и правых винтовых нитей (исключая случай пересечения левых и правых нитей). Введенные выще кольцевые области не противоречат этому требованию. [c.416]

Динамика двух вихрей на сфере вполне аналогична плоскому случаю. Здесь общей ситуацией является вращение вокруг оси, проходящей через центр сферы и центр завихренности (3.1) (расположенный на хорде, соединяющей два вихря с радиус-вектором), который, как следует из (2.10), также неподвижен. [c.44]

Случай положительных интенсивностей. Рассмотрим бифуркационную диаграмму для случая Г1 7 Г2 7 Г3 7 Г1 (см. рис. 14а,а ). Томсоновские конфигурации (штрихпунктирная кривая) существуют лишь при В т (3.55). При В = т, достигнув максимально возможного значения Ет < Ет, томсоновская конфигурация сливается (рис. 14, точка А) с коллинеарной конфигурацией, определяемой наиболее верхней из веток (рис. 14 а, а ) бифуркационной диаграммы для плоскости. При этом все три вихря лежат в экваториальной плоскости, и расстояния между ними равны друг другу. При увеличении В, проходя через максимум энергии Е при В = т, эта (коллинеарная) конфигурация в дальнейшем эволюционирует по мере увеличения В либо к задаче двух вихрей при В = (рис. 14 а). [c.76]

Поведение угловой скорости вращения коллинеарных конфигураций от момента О является достаточно сложным (рис. 17). К монотонному спаданию графиков, характерному для плоского случая, накладывается их слияние, что приводит к достаточно запутанным кривым. Стоит отметить бесконечную величину угловой скорости, возникающую в момент рождения нового вихря из задачи двух вихрей. В рамках принятой модели это увеличение угловой скорости (ш оо при О (1к,к = 1, 2, 3) относится к разным траекториям, но если присутствует слабая диссипация, и константы энергии и момента медленно эволюционируют, то их возможно наблюдать и для конкретного движения (при этом в системе происходит также скачки давления). Конечно, дополнительным условием наблюдаемости [c.77]

Милн-Томсон [5] изучил случай взаимодействия вихревой пары (Fi = = —Г2) с круговым цилиндром, когда выполнено условие симметрии, т.е. перпендикуляр к середине отрезка, соединяющего вихри, проходит через центр круга. Он нашел равновесные конфигурации и рассмотрел влияние равномерного потока. В работе [12] для случая вихревой пары уравнения движения проинтегрированы в квадратурах. Кроме того в этой работе найдены частные решения для случая двух вихревых пар (четыре вихря с интенсивностями Fl = —F2, F3 = —F4), обладающие осью (плоскостью) симметрии, проходящей через центр круга. [c.429]

На рисунке 3 изображена бифуркационная диаграмма для случая Г1 = = Гг = 1 и фазовые портреты приведенной системы соответствующие различным областям на диаграмме (этот случай приводит к дополнительной симметрии). Фазовый портрет при малых значениях интеграла момента (рис. 3 а) определяется одной устойчивой эллиптической неподвижной точкой и одной особенностью в точке I = 0, Ь = 0. Особенности соответствует слияние двух вихрей, а неподвижной точке — вращение вихрей по одной и той же окружности вокруг центра цилиндра, при котором они находятся на одной прямой с центром круга по разные стороны от него. При увеличении интеграла момента радиус этой окружности растет, и при некотором критическом значении данная конфигурация становится неустойчивой (рис. [c.431]

По аналогии с задачей о движении двух вихрей внутри круга можно выполнить полный качественный анализ данной системы. Здесь мы ограничимся рассмотрением движения вихревой пары (Г1 = —Г2) вокруг цилиндра. Па рисунке 1а приведена бифуркационная диаграмма для этого случая. Как видно из диаграммы, при всех значениях интеграла I фазовый портрет системы определяется одной неподвижной точкой (рис. 7 б,в) и качественно не меняется при изменении I. Исключение составляет значение / = О при приближении к которому неподвижная точка стремится к особенности гамильтониана, а оба вихря начинают касаться стенок цилиндра. Па бифуркационной диаграмме такое поведение соответствует асимптоте при / = 0. [c.438]

Кирхгоф продолжил рассматривать задачу двух взаимодействующих вихрей и воспроизвел решение, которое уже дал Гельмгольц. Случай двух противоположных вихрей, поступательно движущихся вперед под воздействием взаимной индукции, а также атмосфера , переносимая такого рода парой, были подробно рассмотрены Кельвином (см. [17]). [c.687]

Мы можем применить вышеизложенное к движению в сферическом слое. Простейший случай — это тот, когда пара изолированных вихрей находится в диаметрально противоположных точках линии тока будут тогда малые параллельные круги, а скорость будет обратно пропорциональна радиусу круга. Для пары вихрей, которые находятся в двух произвольных точках А я В, линии тока будут окружности с общей осью, как и в 80. Методом стереографической проекции легко найти, что скорость произвольной точки Р есть результирующая из двух скоростей [c.297]

Функция тока в двумерном движении задается в виде ф=С/- 0, где г, 0 —полярные координаты. Найти вихрь и скорость в любой точке. Далее показать, что это движение соответствует случаю обтекания двух плоских границ, поворачивающихся вокруг нх линии пересечения, раскрываясь или закрываясь, как две створки. [c.120]

Задача 5.7. Поле вихревого диполя. Рассмотреть предельный случай поля от двух изолированных в плоскости вихрей, одинаковых по величине, но разных по знаку интенсивностей Т, когда расстояние 5R между вихрями стремится к нулю, aux ин тенсивности бесконечно возрастают, но существует предел [c.168]

Рассмотрим другой случай движения трех вихрей, при котором также выполнено условие компактности (А > 0), но интенсивность одного из вихрей имеет противоположный знак по сравнению с двумя другими (например, Г1 < О см. рис. 4Ь, 8й). Условие А > О в этом случае означает, что —Г1 < Г2 + Гз, т. е. интенсивность выделенного вихря больше интенсивности двух оставшихся. Нетрудно видеть, что все остальные возможные случаи, при которых условие А> О справедливо, сводятся к двум рассматриваемым. [c.61]

Кирхгоф, Густав Роберт (1824-1887). В своих лекциях по математической физике Кирхгоф [26] (первое издание относится к 1876-му году) вывел общие уравнения движения N точечных вихрей (называемых иногда уравнениями Кирхгофа), указал их гамильтонову форму, а также получил для них все возможные первые интегралы. По сравнению с небесномеханической задачей N тел эти уравнения имели первый порядок относительно координат вихрей, роль масс в них играют некоторые параметры, называемые циркуляциями. Он также более подробно (по сравнению с Гельмгольцем) проинтегрировал случай двух вихрей, включая случай вихревой пары. [c.19]

Когда начальрюе расстояние велико, взаимодействие происходит аналогично случаю одинаковых вихрей. При уменьшении / вихрь с меньшей циркуляцией начинает деформироваться, а угловая скорость вращения вихрей относительно центра завихренности оказывается больше, чем для системы двух точечных вихрей с теми же циркуляциями. Если начальное расстояние между вихрями меньше критического, то характер взаимодействия определяется соотношением их циркуляций. При Г] Гг вихрь с меньшей циркуляцией начинает накручиваться на вихрь с большей циркуляцией и разрушаться (рис. 6.2). Форма вихря с большей циркуляцией при этом остается неизменной. Со временем формируется вихревая структура с ядром, образованным вихрем большей циркуляции, окруженным облаком частиц, принадлежавших ранее вихрю с меньшей циркуляцией. Если же циркуляции вихрей - величины одного порядка, то здесь также вихрь с меньшей циркуля1щей начинает накручиваться на более интенсивный вихрь, но при этом последний деформируется и разрушается. [c.342]

Эти вихри, сбегаюп1ие почти с концов крыла, должны состоя ib, на основании теорем Гельмгольца, из одних и тех же частиц жидкости, так что крыло, движущееся в жидкости с некоторой скоростью V, оставляет, в первом прибтжепии, позади себя систему из двух вихрей, изображенную на фиг. 155. При этом для того, чтобы сначала рассмотреть возможно более простой случай, мы предполагаем, что подьем-ная сила, следовательно, и цирку.- ягщя, по всей длине крыла постоянна, а на концах крыла внезапно падает до нуля. Далее, если учесть, [c.194]

Случай одной отрицательной интенсивности. Бифуркационная диаграмма при (Г1 < о, -Г1 > Г2 + Гз) приведена на рис. Ай. В этом случае поведение бифуркационных кривых при увеличении О аналогично поведению в уже рассмотренных ситуациях. Существующие в случае плоскости томсоновская и коллинеарная конфигурации сливаются в точке А (см. рис. 14(/), а затем, по мере увеличения О, исчезают, слившись с одной из коллинеарных веток, родившихся из задачи двух вихрей. Отличие от случая только положительных интенсивностей заключается в том, что возможные значения интеграла к = неограничены сверху, и [c.79]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

Рассмотрим, следуя Фёпплю [10], частный случай задачи о движении двух вихрей за цилиндром в набегающем потоке, когда интенсивности вихрей равны по величине и противоположны по знаку Fi = —Г2 = Г. Как известно, в этом случае в рассматриваемой задаче существуют симметричные относительно направления потока положения равновесия (статические конфигурации) вихрей, когда они неподвижно стоят за цилиндром. В общем случае положение равновесия вихрей определяется системой уравнений [c.427]

Пусть вертикальные оси двух двухслойных вихрей, каждый из которых, в свою очередь, состоит из двух круговых вихревых пятен (верхнего и нижнего слоев) единичного радиуса, разнесены на расстояние Ь. Диаграмма их возможных состояний в указанной части плоскости параметров (7, Ь/2) представлена на рис. 24. Здесь штриховой линией отмечена граница, определяемая решением уравнения (3.27) и разделяющая данную плоскость на части с финитным (слева) и инфинитным (справа) поведением дискретных вихрей. Как видно, эта линия вполне удовлетворительно отвечает и случаю распределенных вихрей между областями Ss и Si. Важно отметить, что подобный эффект получен и в [151], где расчеты велись с помощью разностного псевдо-спектрального кода и с учетом диссипации (бигармониче-ского трения) . Однако ясно, что взаимодействие распределенных вихрей значительно сложнее и имеет множество специфических отличий. Приведем только три примера, относящиеся, соответственно, к типам S2, Si и Ul, которым на диаграмме отвечают круглые маркеры (здесь расстояние между центрами вихревых пятен фиксировано, а параметр стратификации 7 принимает различные значения). [c.587]

Уравнение шестого порядка /(г)=°0 имеет равные корни лишь тогда, когда А. принимает значения О, 1/2 или 1. Для случая Х.<>0 все сводится к взаимодействию двух вихрей, случай А. соответствует равностороннему треугольнику и рассмотренвыше, а к Х - 1/2 обратимся ниже. [c.92]

Движение 2я вихрей, симметричных отиосительне я плоскостей. Естественным обобщением задачи о движении вихревой пары, т.е. двух вихрей одинаковой по модулю интенсивности и симметричных относительно одной плоскости, является движение 2п вихрей, объединенных в п пар, симметричное относительно п плоскостей. Эти плоскости образовывают между собой равные углы п/п. Такая задача впервые рассмотрена В.Гребли [130] и А.Гринхиллом (129), которые показали, что условия симметрии позволяют свести задачу к одной квадратуре и получить траекторию каждого вихря в явном виде. Общая схема расположения пар вихрей показана на рис. 43 для случая п 4. [c.144]

На рис. 57 показана деформация круга радиусом 1/ , расположенного симметрично относительно двух вихрей. Здесь отчетливо проявляется тенденция вытягивания в спираль отмеченной области. При этом форма перемещенной области при больших временах качественно слабо зависит от своей начальной формы. Это подтверждает рис.58, где показаны положения в различные моменты времени квадрата, имеющего ту же площадь, что и рассмотренный выше круг. Ьлияние близости области к тому или иному вихрю отражает рис. 59. Здесь внутри атмосферы помещен круг радиусом 0,25, центр которого удален от верхнего вихря на расстояние 0,5. При этом картина деформирования такой круговой области показывает слабое влияние на нее второго вихря и практически совпадает с рассмотренным выше случаем адвекции в поле одного вихря. Справедливы также приведенные выше оценки для характерных временных масштабов Наконец, на рис. 60 показана деформация прямоугольной области, расположенной вне атмосферы пары вблизи ее передней границы. Здесь реализуется гладкое движение, характерное для потенциального обтекания овального твердого тела. [c.177]

Изучение плоских движений. Бесконечно тонкие вихри. Мм рассмотрим в настоящей главе случай жидкости, вавлюченной в прямой цилиндр, параллельный Оз. Этот цилиндр имеет два основания, нормальные к Оз все совершается совершенно одинаковым образом в любом сечении ii = epnst, и мы можем вообразить жидкость неограниченной в направлении Оз, так что высота в наших рассуждениях не будет играть роли. Мы предпочтем в последующем именно эту последнюю интерпретацию, которая освободит нас от введения фиктивных вихревых слоев на двух плоскостях, в случае, если жидвооть была бы ограничена. [c.41]

Теория устойчивости по Карману. Карман [39, 41] дал классический анализ устойчивости двух параллельных периодических цепочек вихрей. Он показал, что в невязкой жидкости вихревая дорожка имеет неустойчивость первого порядка (т. е. смещения вихрей от первоначального положения растут по экспоненте), за иск шчением случая hja = 0,281, соответствующего h v hla) = ]/2. Поскольку этот вывод можно найти во многих работах [51, 156] и [62, 13.72], мы его здесь не приводим. [c.369]

Еще один пример течения с неоднородным тепловыделением рассмотрел В.М.Шихов [18]. Он исследовал устойчивость конвективного течения, создаваемого тепловыделением, мощность которого является линейной функцией координаты, нечетной относительно середины сечения. Профили скорости и температуры описьгоаются нечетными полиномами пятого и третьего порядков, причем имеются два встречных потока, а профиль температуры характеризуется наличием двух экстремумов. Задача имеет много общего с подробно обсужденной в гл. I. При малых Рг неустойчивость связана с гидродинамическим механизмов (стационарные вихри). При Рг > Рг =37 появляется волновая мода, развитие которой сильно затруднено по сравнению со случаем линейного распределения температуры. По-видимому, стабилизация волновой моды связана с тем, что в обсуждаемом случае она развивается в той части сечения канала, где поперечный [c.183]

Если полная циркуляция равна нулю, случай с двумя решетками не представляет интереса все конфигурации перемещаются поступательно и равномерно, то есть (zi — Z2) — постоянная движения. Однако линии уровня функции Н можно использовать для того, чтобы проследить относительное движение трех вихревых решеток. Записывая взаимные положения как tJi = = Z1-Z3, UU2 = Z2-Z3, получаем Tiu>i+T2U>2 = М = onst следовательно, для фиксированного значения М существует только одна независимая координата. Таким образом, линии уровня функции Н, как функции от шг, дают траектории точки в системе координат, движущейся с 23. Такие кривые для треугольной решетки и М = О представлены на рис. 3 и 4 для двух различных видов циркуляций в данном случае критические точки отвечают конфигурациям, перемещающимся поступательно и равномерно и> и и)2 постоянны). Три вихря в одном параллелограмме выбраны так, что все разности Zjk являются полупериодами, то конфигурация будет находиться в состоянии покоя. [c.351]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...