Сфероид в координаты

Для того чтобы эти формулы применить к рассматриваемой задаче, допустим теперь, что внешним сфероидом является океан, плотность которого рдв-на Г, а внутренним ядром — земля, имеющая плотность Г Г притягиваемую точку поместим па поверхности океана, заставив координаты указанной точки X, у, Z совпасть с координатами а, Ь, с внешней поверхности сфероида. В таком случае для равновесия этой поверхности должно существовать уравнение [c.265]

Важными примерами сопряженных систем, описываемых уравнением (А.16.1), являются системы координат вытянутого сфероида, сплюснутого сфероида, биполярные координаты, тороидальные координаты и параболоидальные координаты. Они будут рассмотрены в следуюш их разделах. [c.583]

Рис. А. 17.la. Координаты вытянутого сфероида в меридиональной плоскости

Рис. A.lS.la. Координаты сплюснутого сфероида в меридиональной

Параболоидные координаты можно также получить как предельный случай координат вытянутого сфероида. Этот подход полезен для получения решений различных задач, включающих параболоиды вращения, когда известно решение соответствующей задачи для вытянутого сфероида. В разд. А. 17 z заменено на Z + 2ск , с на 2ск и и г) соответственно на g/Z и г к. Тогда координаты вытянутого сфероида определяются на основе преобра-вования [c.598]

Составим еще уравнение нормального сфероида в цилиндрических координатах р, Имеем по (13) [c.210]

Фиг. 125. Изменение объема пузырчатого сфероида во времени в полулогарифмических координатах (спирт)

Все сопряженные координатные системы вращения, приведенные в приложении А, удовлетворяют этому условию. Например, в системе координат сплюснутого сфероида (см. разд. А. 18) имеем [c.139]

Системой координат, соответствующей данной задаче, является система координат сплюснутого сфероида т], ф, рассматриваемая подробно в разд. А.18. Для краткости положим [c.170]

Декартовы координаты x , y , выбираются таким образом, что поверхность одного из сфероидов, центр которого расположен в начале координат 0 , задается уравнением [c.321]

Далее выбирается другая система декартовых координат х , у , Z2 так, чтобы центр другого сфероида, имеющ,его ту же форму, что и первый, был в начале координат 0 , а его поверхность задавалась уравнением [c.321]

Теперь можно выяснить геометрический смысл эллиптических координат 5 и Г]. Это можно установить без труда при помощи геометрической интерпретации, приведенной в разд. А.17, для координат вытянутого сфероида. [c.571]

Каждая точка в пространстве представима в этих координатах, по крайней мере один раз и, за исключением точек, упоминаемых ниже, только один раз, если области изменения координат 5, л Ф вытянутого сфероида ограничены следуюш им образом [c.583]

Каждая точка пространства описывается единственным образом, за незначительным исключением, при значениях координат сплюснутого сфероида т), ф, лежаш,их в пределах [c.587]

С мемуаром Лагранжа О притяжении эллиптических сфероидов (1773) и Приложением к этому мемуару мы уже целиком в эпохе торжества аналитических методов механики. Лагранж начинает с записи составляющих силы притяжения материальной точки к любому телу в виде тройных интегралов (в декартовых координатах) и затем дает правила замены переменных в тройных интегралах,— вопрос, которым Лагранж занялся именно в связи с задачей о притяжении эллипсоидов. Вся трудность задачи — в выполнении 152 необходимого интегрирования. Лагранж получает аналитически основные результаты (Ньютона, Маклорена, некоторые обобщения Даламбера) для задачи о притяжении эллипсоидом внутренней точки. Так же, как его предшественники, для внешней точки Лагранж ограничивается случаем, когда точка находится на продолжении одной из осей эллипсоида (вообще говоря, трехосного). [c.152]

Найти в этих координатах граничные условия, если сплющенный сфероид движется вдоль своей оси со скоростью 11 в неограниченной покоящейся жидкости. [c.463]

Предположим, что во всех точках сфероида, имеющих одни и те же координаты г и Ф, но разные значения долготы %, плотность одна и та же (в точках, симметричных относительно плоскости экватора, плотность может, вообще говоря, оказаться различной). Потенциал сфероида на точку Р можно представить бесконечным рядом [c.35]

Задача о влиянии сжатия Земли на колебания спутника рассмотрена в [63] следующим образом. Используя направляющие косинусы 1 главы 1 между орбитальной и абсолютной системами координат и кинематические соотношения Пуассона для этих направляющих косинусов, а затем используя еще уравнения в оскулирующих элементах движения центра масс спутника в поле сжатого сфероида [61], можно получить выражения для проекций ри Яи П абсолютной угловой скорости вращения орбитальной системы координат на орбитальные оси X, у, г в виде [c.134]

Решение задачи о движении точки в плоскости экватора сжатого сфероида, использованное в главах 2 и 4, основывается на существовании двух интегралов движения для случая любой центральной силы, зависящей от расстояния, вследствие чего задача может быть сведена к квадратурам [80] или подвергнута непосредственному качественному анализу [47]. Небезынтересно рассмотреть это решение применительно к конкретной задаче о движении экваториального искусственного спутника Земли. Решение этой задачи в полярных координатах выражается в эллиптических функциях. Учитывая, что общую задачу о движении спутника удобно решать в оскулирующих элементах [61], полезно выявить характер их изменения в случае, допускающем точное решение, чтобы проследить связь между свойствами движения и поведением оскулирующих элементов. [c.400]

Поэтому для протонных пучков требуются поля в 43 раза больше, чем для электронных. Тем не менее фокусировка продольным магнитным полем оказывается целесообразной и для протонных (ионных) ускорителей, если мощность питания фокусирующей системы удается сделать умеренной по сравнению с высокочастотной мощностью ускорителя. Фокусировка продольным магнитным полем была применена в ряде линейных ускорителей ионов, рассчитанных на большие токи и непрерывный режим работы. Эта фокусировка может применяться и в ускорителях с импульсным режимом — при глубоком охлаждении или импульсном питании соленоидов. Применяемое фокусирующее магнитное поле постоянно во времени, осесимметрично и имеет только две составляющие и В Вь = 0). Сгустки ускоряемых частиц ввиду осевой симметрии ускоряющего и фокусирующего полей также осесимметричны и согласно сделанному выше предположению представляют собой равномерно заряженные эллипсоиды вращения (сфероиды). Поэтому целесообразно воспользоваться цилиндрической системой координат. Уравнения поперечного движения частиц в этой системе, согласно (1.12) и (1.13), [c.220]

Довольно неожиданное упрощение заключается в том, что в случае сфероида появляется множителем одна общая функция от координата , у, [c.115]

Пуанкаре показал, что при дальнейшем росте углового момента определённые фигуры равновесия на последовательности Маклорена становятся вековым образом неустойчивыми относительно гармоник более высокого (чем п = 2, Б. К.) порядка. Эти результаты для сфероидов определяются известными свойствами зональной и тессеральной гармоник, к которым сводятся эллипсоидальные функции Ламэ в более простых координатах, когда эллипсоид имеет две равные оси. Конечно, исследование самих эллипсоидов Якоби опирается на общие функции Ламэ. Аналогичным образом Пуанкаре смог показать, что и эллипсоиды Якоби теряют вековую устойчивость сначала от гармонической деформации третьего порядка, а затем, при большем растяжении и моменте вращения, появляются конфигурации, проявляющие неустойчивость относительно гармонических функций Ламэ четвёртого, пятого и т.д. порядков ). [c.16]

Для того чтобы установить существование сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби как возможных форм равновесия, в первую очередь нам потребуется выражение для гравитационного потенциала таких фигур во внутренних точках. Рассмотрим эллипсоид, главные оси которого совпадают с осями координат его уравнение [c.64]

Важно отметить, что мы рассматриваем систему с тремя неравными осями, поэтому для её задания нужны две координаты. Если начать со сфероидов Маклорена, то мы ограничены случаем а = Ь, требующим только одну координату, а эллипсоиды Якоби вообще себя не обнаруживают. Именно по этой причине для форм Маклорена в таблице I нет максимального или критического значения углового момента, соответствующего точке В. С другой стороны, для ряда Якоби величина Н в точке В имеет критическое значение. Очевидно, сфероиды можно рассматривать как специальный случай эллипсоидальных форм, так что существует два ряда эллипсоидальных форм, пересекающихся в точке В, — это ряды Маклорена и Якоби. Но к сфероидальным формам относится лишь один из них. [c.79]

Между экватором и полюсом имеется место, где притяжения в точности одинаковы. Найдем широту этого места. Координаты этой точки должны удовлетворять уравнению сфероида, поэтому [c.128]

При наличии вращательной симметрии а — Ь. Пусть а > с. Тогда компоненты (X, У, Z) силы на единицу массы в точке с координатами х, у, г внутри сфероида определяются следующим образом [c.498]

Здесь расстояние d считается функцией и поэтому обозначается как (r s). Пусть x s-,Uus-> us) или r usi Zus) обозначают такую точку поверхности, в которой нормаль к земному сфероиду проходит через небесную точку х, у, 2), или (гг, z). Для этой точки (ж 8, Uus us) небесная точка х, у, z) находится в зените, т. е. на вертикали, проходящей через нее вверх. Если небесная точка (х, у, z) есть спутник, то соответствующую ей точку (2 us, J/us, Zas) на поверхности будем называть подспутниковой точкой. Как показано на рис. 4А,2, координаты этой точки следующие [c.119]

Геодезические координаты. Основу географической системы геодезических координат составляет поверхность эллипсоида вращения, аппроксимирующая реальную поверхность Земли. Параметры этой фундаментальной поверхности относимости являются частью системы астрономических постоянных (см. 4.01). Необходимо иметь в виду, что непосредственные результаты аст-рономо-геодезических измерений на местности всегда дают куски уровенной поверхности, которые нельзя точно расстелить на эллипсоиде вращения. Поэтому за математическую поверхность Земли принимают уровенную поверхность, совпадающую при определенных условиях со средней поверхностью воды спокойного океана. Эта поверхность называется геоидом . Наиболее близкий к геоиду эллипсоид, наилучшим образом представляющий фигуру и гравитационное поле всей Земли в целом, называется общим земным эллипсоидом, или сфероидом-, однако используемые в различных странах для обработки отдельных рядов геодезических измерений референц-эллипсоиды не совпадают, как правило, с общим земным сфероидом. В систему астрономо-геодезических постоянных включают параметры (экваториальный радиус Ое и сжатие а) общего земного сфероида, принятого во всем мире для астрономических и геодезических работ. Положение любой точки поверхности Земли относительно такого стандартного сфероида определяется расстоянием по нормали от поверхности сфероида и положением основания этой нормали на поверхности сфероида. [c.48]

Так как общие ( юрмулы для и г-у переходят одна в другую нри перестановке я я, то при поверхностном рассмотрении можно было бы подумать, что при Й2 = Й, будет также = но, как мы видим, г то никоим ибралом не случится. Формулы, которые имеют тогда место, будут то же, которые получатся, если координаты t, и Y х, меридиана сфероида кыразит . чере X, и Хд при номонц подстановки, нригоднои для плоскости, а для долготы на сфероиде ввести угол ср. [c.195]

В другой работе Вакия [62] рассмотрел движение сфероида параллельно одиночной плоской стенке, предположив, однако, что его ось симметрии образует произвольный угол со стенкой, а не параллельна ей, как это было в двух обсуждавшихся выше случаях движения между параллельными стенками. Этот случай более сложный, чем предыдущие, так как требует преобразования от системы координат х, у, 2, связанной с эллипсоидом, к системе координат X, Y, Z, связанной с направлением движения сфероида (см. рис. 7.5.2). [c.388]

Так как h sh то координатные поверхности 5 = представляют семейство вытянутых софокусных сфероидов, имеющих общий центр в начале координат. Сфероиды этого типа называются также яйцеподобными, или удлиненными эллипсоидами, и получаются путем вращения эллипса относительно его большой оси — в данном случае относительно оси как показано на рис. А.17.1а и А.17.16. Фокусы и 2 системы софокусных эллипсоидов расположены на оси z в точках р = О, 2 = для которых соответственно = 0, Т1=0ия . Большая [c.584]

Старые карты, примерно до 1920 г., составлялись в различных проекциях. Так, очень распространенная старая карта в масштабе в 1 дюйме 3 версты составлена корпусом военных топографов в проекции Бонна, конической и равновеликой, так как она сохраняет равенство площадей в натуре и на карте именно эта карта основана на простой конической проекции, у которой параллели идут в виде концентрических кругов через 20 по ширине. причем размеры этих 20 откладываются по действительной их величине, сообразно размерам сфероида Бесселя, на среднем меридиане Пулкова, а для получения меридианов по параллелям откладываются соответствующие широте размеры дуг параллелей через каждые 20 долготы намеченные таким образом меридианы будут иметь вид кривых линий, сходящихся на полюсе. На такой карте сохраняются площади, но искажаются азимуты и углы до 2 , а длины линий до 2 1ц на краях карты. На рамках листа карты расстояния между меридианами и параллелями разделены на 20 частей, по одной минуте, так что положение меридиана или параллели данной точки на карте можно определить с точностью до О.Г широты и долготы. Тоже старая карта в масштабе 10 в. в дюйме построена по проекции Гаусса ввиде измененной простой конической проекции. Меридианы имеют вид прямых линий, сходящихся в полюсе, а параллели представляют дуги, постепенно расходящиеся к краям карты, так как для сохранения равенства углов отрезки меридианов между параллелями постепенно увеличиваются с тем, чтобы отношение части меридаана к прилегающей части дуги было равно отношению соответствующих величин на земной поверхности. Сетка меридианов на десятиверстной карте проведена через 30 по долготе от Пулкова, а сетка параллелей—через 30 от экватора, и расстояние между меридианами и параллелями разделено на 10 частей по 3 минуты, поэтому географические координаты любой точки карты можно определить с точностью до 0,3 минуты по широте и долготе. [c.676]

СИЛЫ тяжести в данной точке, т. е. зависящим от него направлением астрономической вертикали, или отвесной линии, либо к системе геодезических координат, вычисляемых на основе определенной математической поверхности (например, эллипсоида вращения), аппроксимирующей реальную физическую поверхность Земли и называемой фундаментальной поверхностью относимости (см. ниже общий земной эллипсоид, или сфероид, и референц-эллипсоид). [c.46]

Геодезические координаты определяются относительно направления геодезической вертикали, которое нельзя получить непосредственно из наблюдений. Поэтому геодезические координаты непосредственно измерить нельзя — их можно вычислить по измерениям расстояний и углов на поверхности Земли, т. е. по результатам геодезических съемок. Эти вычисления производятся на основе определенного общепринятого земного сфероида — стандартного референц-эллипсоида, определяемого конкретными числовыми значениями большой полуоси производящего эллипса и сжатия — параметра, характеризующего отклонение от сферы. Поэтому координаты в геодезической системе относятся, как правило, к этому принятому земному сфероиду (см. табл. 1 элементов земных эллипсоидов, принятых в различных геодезических системах). [c.49]

При попытке построить решение в пограничном слое на поверхности гладкого тела с помощью уравнений Прандтля с заданнь1м градиентом давления [152] для иллюстрации формирования особенности в конечный момент времени используются лагранжевы координаты. Приложением развитой в [152] теории является исследование процесса отрыва в экваториальной плоскости сфероида, мгновенно приведенного во вращение вокруг оси симметрии [153]. [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...