Уравнения дифференциальные объемного элемента

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ОБЪЕМНОГО ЭЛЕМЕНТА В ОРТОГОНАЛЬНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ [19, 20, 25] [c.34]

Дифференциальные уравнения движения объемного элемента сплошной среды [c.96]

В первом разделе рассмотрена общая процедура решения задач статики, динамики и теплопроводности с помощью МКЭ, даны методы, формулы и библиотека подпрограмм вычисления соответствующих матриц и векторов простых типовых конечных элементов прямолинейных стержней постоянного поперечного сечения (рис. 1.2), прямоугольных в плане оболочек (рис.. 3), тонких треугольных, четырехугольных и прямоугольных в плане пластин (рис. 1.4), круговых колец треугольного, четырехугольного и прямоугольного поперечного сечения (рис. 1.5), четырех-, пяти- и шестигранных объемных элементов (рис. 1.6). Изложены методы и алгоритмы расчета приведена библиотека подпрограмм решения систем линейных алгебраических уравнений, нелинейных функциональных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.11]

Установим физический смысл полученного дифференциального соотношения. Как видно из 7, три уравнения системы (7.17) выражают равенство нулю сумм проекций на оси X, У, Z (соответственно) всех сил, действующих на объемный элемент, выделенный из дефор- [c.88]

Система дифференциальных уравнений (9.8), подобно системе (9.7), имеет определенный физический смысл, который поясним без доказательства. Если система (9.7) формулирует условие равенства нулю главного вектора всех сил, действующих на объемный элемент тела, путем приравнивания нулю сумм их проекций на направления 1у, г , то система (9.8) формулирует это же условие путем приравнивания нулю сумм их составляющих по тем же направлениям. Поскольку векторы г , 1у, не ортогональны, системы (9.7) и (9.8) не тождественны, хотя констатируют один и тот же факт. [c.90]

Дифференциальная система (13.3) описывает движение бесконечно малого объемного элемента, выделенного из сплошного тела. Эта система выведена без каких-либо пренебрежений и является точной математической формулировкой указанной выше задачи. Из нее, путем дополнительных упрощений, могут быть получены приближенные уравнения, относящиеся к случаю, когда малы удлинение и сдвиги или когда, кроме того, малы также и углы поворота. Соответствующие рассуждения уже были приведены в 10, 11, 12, и здесь их нет необходимости повторять. [c.97]

Короче говоря, в предыдущих рассуждениях не играл никакой роли характер взаимосвязи, существующей между частицами сплошной среды, также как и все физические обстоятельства, могущие оказывать влияние на эту взаимосвязь. Однако хотя ряд важных соотношений и формул, необходимых для описания деформации сплошного тела под действием заданных внешних сил, и может быть получен без учета механических свойств его материала, полностью решить данную задачу, оперируя лишь представлениями статики и геометрическими соображениями, разумеется, нельзя. Математически это следует из того, что для описания напряженно-деформированного состояния тела надо знать в каждой его точке три компонента перемещения и, V, гю тл шесть компонентов приведенных напряжений Между тем для определения этих девяти неизвестных пока что нами получено всего лишь три дифференциальных уравнения II (7.17). Таким образом, как это уже неоднократно упоминалось, для того чтобы рассматриваемая задача могла быть математически сформулирована, необходимо установить еще шесть соотношений, связывающих между собою перечисленные выше девять неизвестных и выражающих тот физический закон, по которому объемный элемент рассматриваемой сплошной среды сопротивляется всевозможным видам деформации. [c.125]

Рассмотрим равновесие малого элемента тела (рис. 7.9). Составляющие объемной силы в радиальном и тангенциальном направлениях обозначим Проецируя действующие силы на радиальное и перпендикулярное ему направления, получим дифференциальные уравнения равновесия элемента тела в полярных координатах [c.150]

Из кривого бруса с радиусом его оси —В, подверженного общему случаю нагружения, выделен бесконечно малый элемент, показанный на рис. 18 там же показаны компоненты напряжений. Составить дифференциальные уравнения равновесия указанного криволинейного параллелепипеда, полагая объемные силы отсутствующими ). [c.36]

Таким образом, полная система уравнений, определяющая функционирование гидросистем объемного привода, состоит из обыкновенных уравнений, определяющих давления в тупиковых узлах (насоса, давления бака) дифференциальных уравнений, определяющих ход исполнительного штока гидроцилиндра, давление в гидроаккумуляторе дифференциальных уравнений проточных элементов. [c.148]

Если речь идет о задаче теории упругости, то возможные вариации напряжений и объемных сил удовлетворяют во всем объеме тела дифференциальным уравнениям равновесия элемента тела и закону парности касательных напряжений (который также представляет собой три условия равновесия), а на той части поверхности тела, где заданы поверхностные силы, — вариации напряжений и поверхностных сил удовлетворяют уравнениям равновесия элементарного тетраэдра. [c.483]

При экспериментальных исследованиях гидроприводов необходимо достаточно точно определять характеристики элементов гидросистемы. Это представляет известные трудности. Такие нелинейные характеристики, как зависимость сил трения от скорости, зависимость от давления коэффициента податливости магистралей и модуля объемной упругости рабочей жидкости, содержащей не-растворенные газовые включения, нестабильны и могут быть определены в каждом конкретном случае по экспериментальным кривым переходных процессов расчетами, методика которых приведена в гл. III. Эти расчеты, выполненные по осциллограммам, полученным на различных стадиях работы исследуемой гидросистемы (пуск холодной системы режим разогрева начальная стадия режима установившейся температуры и т. д.), могут дать картину эволюции нелинейных характеристик гидропривода в зависимости от режима работы, выявить их стабильность и диапазон изменений параметров. Знание истинных характеристик гидросистемы необходимо и для оценки влияния различных упрощений и линеаризаций исходных дифференциальных уравнений движения на точность расчетов. [c.139]

Дифференциальные уравнения равновесия элемента при отсутствии объемных сил в сферической системе координат [121 ] [c.152]

Постановка конкретной задачи нахождения температурных полей активного элемента на основе решения дифференциального уравнения теплопроводности [9,71] требует рационального выбора допущений, начальных и граничных условий с учетом конфигурации элемента, теплофизических характеристик материала и характера теплообмена с окружающей средой. Для наиболее распространенных конфигураций активных элементов характерно, что длина элемента значительно превосходит его характерный поперечный размер (рис. 1.5). Это обстоятельство, а также обеспечение достаточно равномерного теплоотвода вдоль боковой поверхности элемента позволяют сводить объемную задачу теплопроводности к одномерной. [c.14]

Если в срединной плоскости пластинки действуют, сверх того, еще и объемные силы ) нли же если по ее поверхности распределены касательные силы, то дифференциальные уравнения равновесия элемента, показанного иа рис. 191, принимают вид [c.423]

Объемное расширение определяется произведением концентрации легирующих атомов на дилатацию, обусловленную несоответствием атомных радиусов матрицы и растворяемого элемента. Концентрационный профиль определяется решением дифференциального уравнения [c.101]

Написав уравнения равновесия для какого-либо элемента (фиг. 152) так, как мы это делали раньше при плоской задаче (параграф 21), и предположив, что объемные силы здесь отсутствуют, мы придем к следующим дифференциальным уравнениям равновесия ) [c.306]

Уравнения движения сплошной среды. Дифференциальные уравнения движения жидкости выводятся исходя из применения второго закона Ньютона к произвольному жидкому объему. Этот закон связывает изменение во времени импульса объема жидкости с системой поверхностных и объемных сил, действующего на него. Векторные уравнения движения элемента сплошной среды связывают поля плотности р, вектора ускорения а и тензора напряжений Т во всех внутренних точках. Они установлены О.Коши (1828 г.) и имеют вид [c.29]

Выписывая уравнения равновесия элемента (рис. 178), как мы это делали ранее для двумерного случая ( 27), и предполг.гая, что объемные силы отсутствуют, приходим к следующим дифференциальным уравнениям равновесия ) [c.347]

Дифференциальные уравнения равновесия. В деформированном упругом теле напряжения меняются непрерывно. Выделим из него элементарный параллелепипед (рис. 2.36) с длиной ребер с1х, у, йг. На выделенный элемент, кроме напряжений, приложенных на его поверхности, будут, в общем случае, действовать объемные силы, которые зависят от массы тела (чаще всего силы веса и силы инерции). Если проекции на оси координат объемных сил, приходящихся па единицу массы, обозначать X, У и Z, то на выделенный параллелепипед, плотность которого р, будут дейст- рис. 2,36 К выводу уравнений равно-вовать объемные силы вссия элементарного параллелепипеда. [c.167]

В этих условиях дифференциальные уравнения равновесия элемента пластины (фиг. 135) hdxdynpm постоянной толщине h и отсутствии объемных сил имеют вид [c.211]

Как любой другой общий численный метод, такой, как методы конечных элементов или конечных разностей, МГЭ вполне годится для решения нелинейных дифференциальных уравнений при помощи инкрементальных или итеративных процедур (которые в данном случае можно проводить, используя значения объемного интеграла по той области, в которой возникают нелинейности). Для подавляющего большинства таких задач области нелинейности ограничены главным образом малыми подобластями системы, и, как будет показано, МГЭ представляется весьма привлекательным для решения нелинейных задач, особенно трехмерных. Действительно, по-"хоже, что для большого класса задач этот метод оказывается единственным надежным средством получения достаточно подробных результатов при разумных затратах. Уже доказано, что МГЭ дает численные решения линейных задач очень эффективно, и поэтому не следует ожидать, что введение дополнительного объемного интеграла по части тела серьезно повлияет на эффективность. Это и будет показано в настоящей главе. [c.331]

Введенные выше потенциалы простого слоя, двойного слоя и их производные, как показано в 1, удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости внутри тела при отсутствии объемных сил. Частное решение, соответствующее действию объемных сил, выражается объемным потенциалом с плотностью, равной объемной силе. В связи с этим решение тон или иной краевой задачи теории упругости можно попытаться искать в виде суммы одного или нескольких граничных потенциалов и объемного потенциала. Плотности граничных потенциалов должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничные условия. Для нахождения этих неизвестных строятся интегральные уравнения на границе тела —граничные интегральные уравнения (ГИУ). Если при заданных краевых условиях доказано существование решения построенного интегрального уравнения, то тем самым обоснована использованная формула представления решения. Вопрос обоснования формулы представления решения не возникает, если в качестве ее используется формула Сомильяны, справедливая дл любого регулярного, т. е. принадлежащего классу ( (Q) n (Q)) , поля перемещений, а также для более общих классов перемещений, для которых имеет место формула Бетти. Поскольку плотности потенциалов простого и двойного слоя, входящих в формулу Сомильяны, имеют прямой физический смысл, то соответствующую формулировку метода граничных элементов (МГЭ) называют прямой формулировкой МГЭ. В противоположность этому формулировку МГЭ, использующую другие формулы представления, называют непрямой формулировкой МГЭ. [c.62]

Однозначность решения уравнений теории упругости для слзпгая тел с односвязным контуром была впервые доказана Кирхгофом Будем исходить при доказательстве из представления о естественном состоянии упругого тела. Если на элементы тела не действуют никакие объемные силы, а также не приложено никаких усилий к поверхности тела, то тело не испытывает никаких деформаций и все внутренние напряжения равны нулю. Предположим, что при заданных объемных силах рХ, рУ, рЕ и данных усилиях на поверхности Х , Уv, дифференциальные уравнения равновесия (3) имеют два решения. Пусть Хх,. .., Уг представляет систему напряжений, соответствующих первому решению, и Хк,. .., Уг — второму. Составим разности Хх = Хх — Х"х,. .., Уг == = у г — у г- Они представят собой систему напряжений Хх, У г, удовлетворяющих уравнениям [c.54]

Для того чтобы составить дифференциальные уравнения движения, возьмем прямоугольную декартову систему координат и мысленно выделим из жидкости э.темент в форме прямоугольного параллелепипеда (фиг. 210). Выражения для массы элемента, проекций его ускорения на оси координат, проекций объемных сил запишутся здесь так же, как п прп выводе уравнений Эйлера для идеальной жидкости (глава IV). Отлич1 е от вывода уравнений Эйлера будет иметь место только в выранхвнпях для поверхностных сил. [c.524]

Приравнивая сумму проекций объемных и поверхностных сил проекции силы инерции и сокращая на массу элемента рйхйуйг, получаем дифференциальное уравнение движения в напряжениях в проекции на ось Ох [c.45]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...