Монодромия

Рассмотрим задачу об отыскании собственных векторов и собственных значений оператора монодромии. Эта задача сводится к решению системы двух линейных алгебраических уравнений [c.239]

Собственные значения р для этой системы называются мультипликаторами. Они суть решения характеристического уравнения монодромии [c.239]

Теорема 3.10.1. (Флоке). Пусть / , и p2 — корни характеристического уравнения монодромии и [c.240]

Матрица монодромии оказывается треугольной [c.242]

Следствие 3.10.2. Характеристическое уравнение матрицы монодромии имеет вид [c.242]

Предположим теперь, что корни характеристического уравнения монодромии кратные — Р- Согласно теореме Флоке будем [c.243]

Для вычисления мультипликаторов Д1, требуется найти след матрицы монодромии Б = оц 022- Пусть базисные функции хД/), X2(t) удовлетворяют начальным условиям [c.244]

Если В < 4, то корни будут комплексно сопряженными и различными, но р1 = р21 = 1, и резонанса не возникает. Если В — 4, то корни будут кратными и р — I. Как следует из сказанного выше, если при этом 012 = 21 = то резонанс отсутствует, а если матрица монодромии треугольная, то резонанс будет иметь место. Предположим теперь, что В = 4, но 012 21 Ф О- Тогда собственную функцию монодромии можно взять в виде [c.244]

Таким образом, для функций у , У2 матрица монодромии принимает треугольный вид, что влечет наличие резонанса. [c.245]

Если В < АЛ, то они будут различными и комплексно сопряженными, причем р1 = р2 = УЛ < 1. В этом случае резонанс будет отсутствовать. Если В = АЛ, то корни характеристического уравнения монодромии будут действительными и кратными. Собственные решения имеют структуру [c.245]

Рассмотрим теперь случай кратных корней уравнения монодромии. Согласно теореме 3.10.2, резонанс в этом случае отсутствует тогда и только тогда, когда одновременно выполнены равенства [c.248]

Теперь мы можем воспользоваться критерием параметрического резонанса. Как и в примере 3.10.2, построим матрицу монодромии. Пусть решения у 1(<) и р2 () таковы, что [c.252]

Отметим в заключение, что информация о преобразованиях монодромии стандартным образом переводится на язык дифференциальных уравнений неподвижным или периодическим точкам соответствуют замкнутые траектории, инвариантным окружностям — инвариантные торы или бутылки Клейна и т. д. [c.55]

Чтобы в этом убедиться, нужно применить теорему Русса-ри к соответствующему семейству преобразований монодромии. [c.79]

Пример 2. Рассмотрим векторное поле на R", имеющее цикл с мультипликатором (—1). Неподвижная точка преобразования монодромии трансверсали, соответствующая циклу, обладает одномерным центральным многообразием, на котором преобразование монодромии может быть записано в виде —х- -ах - -Ьх - -.... Квадрат этого преобразования записы- [c.90]

Преобразование монодромии имеет двумерное центральное многообразие, на котором (в координатах x- riy= z) оно может быть записано, в виде z>- vz-l-azj v=e f. [c.91]

Пара (о, Q) называется топологической схемой Бернулли. Надстройка над топологической схемой Бернулли — это периодическое векторное поле Х , преобразование монодромии которого совпадает с о. Это поле получается из стандартного векторного [c.112]

Рис. 47. Графики факторизованных преобразований монодромии в главных

М 1°. Заменой времени добиваемся равенства Я,= 1 докажем, что а — топологический инвариант. Рассмотрим преобразование монодромии Д гомоклинической траектории седла у. Для этого выберем произвольную точку Рву Q y) достаточно близко к седлу на его устойчивом двумерном многообразии (неустойчивом одномерном многообразии W "). Требования близости формулируются ниже. Многообразие W делит окрестность седла на две части. Ту часть, в которую траектория у входит при t- —оо, обозначим U. Возьмем две трансверсаль-ные гладкие двумерные площадки ГЭР и T 9Q (рис. 48а). Обозначим через Г+ пересечение [/+ПГ. Если площадка Г+. достаточно мала, то определено отображение соответствия Ai точка РбГ+ переходит в конец дуги фазовой кривой рассматри [c.133]

Теорема. Пусть в теореме пункта 5.2 оба условия 1 и 2 нарушены, то есть при 0<О (о>0) ведущее неустойчивое (соответственно, устойчивое) направление комплексно (и двумерно). Тогда все векторные поля семейства достаточно близкие к критическому, имеют гиперболические инвариантные множества преобразование монодромии поля имеет при е=5 0 конечное число подков Смейла, неограниченно растущее при стремлении е к нулю и равное бесконечности для поля Vo. Каждое из полей при достаточно малом е имеет счетное множество гиперболических предельных циклов, устойчивые многообразия которых имеют такую же размерность, как устойчивое многообразие гиперболического седла. [c.137]

Очевидно, поле гладко и гладко зависит от е. При е<0 поле Ve задает систему Морса—Смейла, поскольку поле w этим свойством обладает, и преобразования монодромии дна трубки В на ее крышку у полей и w совпадают. При е О поле имеет бесконечное множество неблуждающих траекторий, заполняющих четыре тора. Семейство d построено. [c.155]

Матрица М называется матрицей монодромии фундаментальной матрицы F t). Для фундаментальной матрицы R(t) матрица монодромии равна К (а) это сразу следует из того факта, что Д (0) = 1 . [c.465]

Выясним, какова матрица монодромии Ж другой фундаментальной матрицы G (t) = F(t) С. Имеем [c.465]

Следовательно, фундаментальной матрице G (t) соответствует матрица монодромии [c.465]

Если Ж есть матрица монодромии для фундаментальной матрицы, то матрица Ж будет матрицей монодромии для другой фундаментальной матрицы тогда и только тогда, когда имеет вид С МС. Поэтому все матрицы монодромии имеют одни и те же собственные значения и элементарные делители, и все они приводятся к одной и той же нормальной форме Жордана. Собственные значения [Xi, Ца, -. Н т называют множителями. Ни один из множителей не обращается в нуль, поскольку [c.465]

Для нахождения множителей можно воспользоваться матрицей монодромии R(o). [c.465]

Пусть М — матрица монодромии фундаментальной матрицы F (it) всегда можно найти матрицу К (не обязательно вещественную) такую, что будет выполняться равенство [c.465]

Рассуждения упрощаются, если ограничиться рассмотрением случая, когда нормальная форма матрицы монодромии является диагональной. При этом для любой фундаментальной матрицы F (г) будем иметь [c.466]

Тем самым матрица монодромии задает линейный оператор моно-дромии в пространстве решений уравнения с периодическими коэффициентами. Для конкретной матрицы А роль базисных векторов играют функции Х2 1). [c.239]

В примере 3.10.2 для уравнения Хилла с двухступенчатым кусочно-постоянным коэффициентом ш t) в случае = —1, 77 = 1 найти собственные векторы матрицы монодромии, резонансные соотношения интервалов <1, <21 точки на фазовой п.лос-кости, где происходят переключения функции (<). [c.301]

Бифуркации фазовых портретов в окрестности цикла полностью описываются бифуркациями соответствующего Преобразования монодромии. Поэтому основным объектом изучения в этой главе являются бифуркации ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке. Локальные семейства ростков диффеоморфизмов, их эквивалентность, слабая эквивалентность, индуцированные и нереальные деформации ростков определяются так же, как и для ростков векторных полей (см. п. 1.5). Для ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке справедливы аналоги теорем сведения ([26, п. 2.4, гл. 6] и п. 1.6, гл. 1). Ограничение ростка диффеоморфизма на центральное многообразие называется редуцированном ростком диффеоморфизма. Отметим, что редуцированный росток может менять ориентацию, даже если исходный росток ее не менял пример diag(l —1 [c.42]

Нормальная форма в случае унипотентной жордановой клетки. Росток диффеоморфизма в неподвижной точке на плоскости с унипотентной линейной частью может быть реализован как преобразование монодромии периодического дифференциального уравнения с нильпотентной линейной частью [c.56]

В каждом из главных Zg-эквнвариантных семейств при некоторых значениях параметров, образующих линии на плоскости е, возникают сепаратрисные многоугольники. Сдвиг по фазовым кривым поля семейства за единицу времени приближает -ю степень преобразования монодромии предельного цикла, теряющего устойчивость с прохождением пары мультипликаторов через сильный резонанс. Особым точкам полей семейства соответствуют неподвижные точки -й степени преобразования монодромии и 2я9-периодические циклы периодического уравнения входящим и выходящим сепаратрисам седел — устойчивые и неустойчивые многообразия неподвижных точек. Две сепаратрисы особых точек, раз пересекшись, должны совпадать на всем своем протяжении. Не так обстоит дело с инвариантными кривыми неподвижных точек диффеоморфизмов. Эти кривые пересекаются, вообше говоря, трансверсально, а для диффеомор- [c.60]

Функциональные инварианты семейств векторных полей. С -гладкая классификация деформаций ростков векторных полей в особой точке с парой чисто мнимых собственных значений также имеет функциональные инварианты. Ограничим семейство на его центральное многообразие. Получим (конечно гладкую) деформацию ростка векторного поля с линейной частью типа центр на плоскости. Преобразование монодромии, соответствующее продеформированному ростку, имеет две гиперболические неподвижные точки (для тех значений параметра, которым соответствует цикл продефор миров а иного уравнения) одна точка — особая, другая принадлежит циклу. Функциональный инвариант С -классификации таких преобразований построен выше. [c.77]

Действительно, соответствующее семейство преобразованпй монодромии имеет двупараметрическое подсемейство, состоящее из диффеоморфизмов с двумя двукратными неподвижными точками. [c.79]

Пример 1. Для векторного поля на R", имеющего цикл/, С мультипликатором -j-l. неподвижная точка преобразования монодромии трансверсали D в окрестности L обладает одномерным центральным многообразием, и ростки множеств SiP D, St lD ь неподвижной точке такие же, как ростки S o, So векторного поля на R" в особой точке с одномерным центральным многообразием (см. пример 1, п. 1.2). Росток же множества 51 (S ) на L диффеоморфен ростку на окружности 0 х5 прямого или косого произведения s-мерного (к-мерного) полупространства с нулем на границе на окружность S . Здесь s = dimU> i, u = В частности, если Z, — устойчивый узел [c.90]

Предположим для простоты, что преобразование монодромии цикла L (как функция от начальных условий и параметра) может быть продолжено в окрестность пгргсечения плоскости, транс-версальной к полю, и объединения гомоклинических траекторий цикла. На этой плоскости циклу соответствует неподвижная точка Q диффеоморфизма /о. соответствующего полю Vq. Один мультипликатор этой неподвижной точки разен 1, остальные по модулю меньше 1. Объединение гомоклинических траекторий высекает на трансверсали кривую Sq, которая становится замкнутой при добавлении точки Q (рис. 42). Сильно устойчизое слоение, соответствующее полю г)о, высекает на трангверсаля сильно устойчивое слоение Fq диффеоморфизма /о кризая Sq касается некоторых слоев этого слоения. [c.119]

Краевая задача (2.IS) впервые была сформулирована в 1857 г. Б.Ринаном в связи с задачей отыскания дифференциального уравнения, интегралы которого при обходе особых точек претерпевают заданную линейную подставовку (уравнение с заданной группой монодромии). [c.23]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...