Уравнения плоскости пространственных кривых

Линия характеризуется порядком. Порядок алгебраической кривой равен степени её уравнения. Графически порядок плоской кривой определяется числом возможных точек её пересечения с произвольной прямой, включая и мнимые точки. Порядок пространственной кривой определяется числом возможных точек её пересечения с плоскостью, включая и мнимые точки. [c.118]

Уравнения равновесия полностью совпадают с уравнениями, полученными в задаче 1.2, кроме проекций сил. Получим выражения для проекций сил. Так как вектор ускорения а не лежит в плоскости чертежа, то форма осевой линии стержня в нагруженном состоянии будет пространственной кривой. При малых углах поворота связанных осей матрица L< > (П.57) имеет вид [c.271]

Длина фронта L в представленном уравнении определена как проекция пространственной кривой линии на плоскость, перпендикулярную плоскости пластины. Полученное соотношение указывает на существенную зависимость формы фронта трещины от максимального уровня напряжения, а не от амплитуды напряжения. [c.107]

Из трех уравнений (13) каждая пара определяет проекцию пространственной кривой на соответствующую координатную плоскость [c.283]

Пусть пространственная кривая линия — ребро возврата касательного торса — задана в виде x=x(t), y—y t), z=z t), тогда уравнение соприкасающихся плоскостей этой кривой можно записать как [c.72]

Отметим, что, строго говоря, каждая область, отождествляемая с листами фазовой плоскости, есть проекция на плоскость фазового пространства. Уравнение (24) показывает, что фазовая траектория представляет собой пространственную кривую, расположенную на трех ци- [c.25]

Следует подчеркнуть, что приведенные траектории получены интегрированием усредненных уравнений, которые описывают так называемое медленное движение. Поэтому реальное движение пузырьков будет носить более сложный, чем показано на рис. 3, характер. Оно может отличаться колебаниями с частотой, кратной частоте внешних вибрационных воздействий, и амплитудой, пропорциональной амплитуде колебаний жидкости. Кроме того, следует иметь в виду, что при попадании траекторий пузырьков в зону, где интегральное многообразие, совпадающее с плоскостью Сз = О становится неустойчивым (рис. 2 б), движение перестает быть плоским, пузырек сходит с плоскости и траектории его становятся еще более сложными пространственными кривыми. Такими же сложными пространственными кривыми будут траектории пузырьков, не лежащих в начальный момент времени на устойчивых частях интегральных многообразий. [c.324]

Степень уравнения, которое выражает алгебраическую кривую, определяет порядок кривой. Геометрически порядок плоской кривой определяется числом точек ее пересечения прямой линией (как действительных, так и мнимых точек). Порядок пространственной кривой определяется числом точек пересечения кривой с плоскостью. [c.55]

Траектория движущейся точки Р в этом случае есть пространственная кривая, лежащая, очевидно, на некоторой поверхности вращения вокруг оси Ог, уравнение которой получим, исключая т из двух уравнений (7.72), которые представляют уравнения меридианного сечения этой поверхности. Так как вид поверхности вращения вполне определяется этим сечением, то нам остается только исследовать кривую, лежащую в плоскости, проходящей через ось Ог и параметрические уравнения которой суть уравнения (7.72). [c.331]

Интегрируя уравнения (22.30) и (22.31), для каждого as и а получим двухпараметрическое семейство пространственных кривых в трехмерном пространстве напряжений (01, ог, т). Эти пространственные кривые можно построить, если будут известны их проекции на каждую из двух плоскостей (аь г) и (ог, г), которые не параллельны. Учитывая вид уравнений (22.30) и [c.192]

Трансцендентные линии — линии, которые задаются неалгебраическим уравнением. Плоские трансцендентные линии, за исключением логарифмических, пересекаются с прямой, лежащей в плоскости кривой, а пространственные — с плоскостью, в бесконечном количестве точек. [c.23]

В каждом конкретном случае для заданных параметров пружины (г з, с, К, [X и др.) решение можно реализовать с помощью ЦВМ. Наиболее просто такое решение получается для условного шарнирного опирания концов, когда поворот концов разрешен только относительно нормали. На рис. 8 показаны графики частотного уравнения для этого случая [9]. При решении уравнения не учтены инерция поворота сечений проволоки, сжатие и срез проволоки, т. е. параметры, практически не оказывающие заметного влияния на частоту. Две сплошные кривые 1 на рисунке соответствуют двум сериям частот винтового пространственного стержня при г з = 5° две прямые линии 2 и 3 в левой части рисунка соответствуют частотам продольных и крутильных колебаний эквивалентного бруса в правой части штриховыми линиями 4 ц 5 показаны две серии поперечных частот эквивалентного бруса две кривые (ij) = 0) соответствуют частотам кольца в продольном направлении и в собственной плоскости. [c.58]

Ниже исследуются течения за пространственными ударными волнами, причем предполагается, что образом поверхности разрыва является некоторая кривая в пространстве годографа, а течение за ударной волной принадлежит к классу двойных волн. Естественно, рассматриваются лишь ударные (детонационные) волны постоянной интенсивности, так как течение за фронтом волны предполагается изэнтропическим. Для системы уравнений, описывающей двойные волны, вдоль некоторых линий в плоскости независимых компонент скорости ставится задача Коши. Рассматриваемая система уравнений оказывается эллиптической за фронтом ударных волн и гиперболической за нормальными детонационными волнами. Показывается, что в стационарном случае за поверхностью сильного разрыва скорость звука как функция компонент скорости такая же, как и в случае конического автомодельного течения. Это дает возможность получить некоторые точные решения для установившегося пространственного обтекания некоторых тел специальной формы при наличии ударных фронтов. [c.71]

Получим уравнения малых случайных колебаний стержней, осевая линия которых есть плоская кривая. На рис. 8.1, б ъ качестве примера показана спиральная пружина, осевая линия которой как в естественном состоянии (q = 0), так и в нагруженном (q Ф 0) есть плоская кривая. Если пружину отклонить от состояния равновесия, она начнет совершать колебания. Если ее отклонить в плоскости чертежа, то малые колебания будут происходить в плоскости чертежа если пружину отклонить относительно плоскости - возникнут малые пространственные колебания. Соответствующие уравнения можно получить из системы (8.58)—(8.62), положив [c.347]

Пространственно-сложные поверхности также могут быть заданы уравнениями или координатами опорных точек. При задании поверхности, координатами опорных точек берется ряд сечений —п ,. . ., —п (рис. 1.4), расположенных с интервалами у, и для каждого сечения задаются координаты опорных точек кривых, получающихся в результате пересечения поверхности с секущей плоскостью. [c.12]

Выделим случаи, когда нормальное сечение цилиндрической поверхности представляет собой кривую второго порядка ). Такая цилиндрическая поверхность относится к числу поверхностей второго порядка. Точки любой поверхности второго порядка удовлетворяют в декартовых пространственных координатах уравнению второго порядка. Любая плоскость пересекает такую поверхность по кривой второго порядка ). Прямая линия пересекает поверхность второго порядка всегда в двух точках. [c.193]

Кривые линии в начертательной геометрии рассматриваются как непрерывная совокупность последовательных положений движущейся точки, а также как линия пересечения поверхностей. Если все точки кривой линии лежат в одной плоскости, то такая кривая называется плоской. Примером могут служить окружность, эллипс, парабола. Если кривая не лежит всеми своими точками в плоскости, то она называется пространственной, например винтовые линии. Кривые линии подразделяются и по другим признакам. Кривая может быть описана (задана) аналитически, т. е. уравнением (алгебраическим или трансцендентным), например эллипс, парабола и др. Если образование кривой не имеет строгой закономерности, то она задается графически, например горизонтали на плане местности. [c.55]

Эти уравнения ничем не отличаются от уравнений движения при с =5 = О, но в последнем случае кривая, определяемая уравнениями (7.13), представляет собой проекцию пространственной траектории точки Р на какую-либо меридиональную плоскость, т. е. на плоскость, проходящую через ось симметрии гравитационного поля. [c.310]

Для получения уравнения однолараметрического семейства плоскостей, ось которых касается пространственной кривой, сложим два уравнения касательных плоскостей, умножив одно из них на —Я. После некоторых преобразований окончательное уравнение пучка плоскостей будет иметь вид [c.23]

Полученные выражения (14) для поперечных сил и Qy, выражения (12) для изгибающих моментов Мх и Му, выражения (15) для угловых перемещений а и (3, выражения (16) для линейных перемещений и и V полностью характеризуют криволинейные формы равновесия сжатых стержней. Существенно, что для прямолинейного (незавитого) сжатого стержня уравнения проекций упругой линии на координатные плоскости не связаны непосредственно между собой. Статические и кинематические величины, характеризующие проекцию упругой линии на плоскость уг, содержат постоянные пнтегрирования С1—Сл, а проекцию упругой линии на плоскость. гг — постоянные 1—/)4. Таким образом, если краевые условия также не связывают между собой постоянные С1—С4 и Д]—О , то криволинейная форма равновесия распадается на две плоские кривые. И только в том случае, когда краевые условия связывают между собой постоянные С1—С4 и 01—Пи, криволинейная форма равновесия действительно представляет собой пространственную кривую. В дальнейшем ограничимся рассмотрением стержней с нижним заделанным концом. [c.285]

Если 1ц1ге6раическое уравнение, описывающее линию, п-й степени, то алгебр1аическая кривая считается м-го порядка. Порядок алгебраической кривой определяется также числом точек ее пересечения с плоскостью (для пространственной линии) или прямой (для плоской линии). Г[ри этом следует иметь в виду, что в число точек пересечения включаются точки с действительными и мнимыми координатами. [c.70]

Уравнения малых колебаний стержней, осевая линия которых есть плоская кривая. На рис. 3.7 показана спиральная пружина, осевая линия которой как в естественном (Т = 0), так и в нагруженном состоянии (Т=5 0) есть плоская кривая. Если пружину отклонить от состояния равновесия, она начнет совершать колебания. Если ее отклонить в плоскости чертежа, то малые колебания будут происходить в плоскости чертежа, если отклонить относительно плоскости, то возникнут малые пространственные колебания. Если пружина (упругий элемент прибора времени) находится на ускоренно движущемся объекте, ускорение которого имеет случайную составляющую Аа( ), то это приведет к появлению вынужденных случайных колебаний, в общем случае пространственных, Постоянная составляющая ускорения ао нагружает стержень, т. е. в этом случае <310=7 =0, <Э2о 0 и уИзо 0. [c.62]

В связи со свойствами уравнения (37.68) может быть исследована и задача, поставленная Кошп пусть. лежащая в плоскости х, у кривая I задана уравнением g x, у) = 0. Отложим по этой линии I на перпендикулярах к плоскости аг, у данные значения переменной s и проведем через-концевые точки ординат z в направлениях нормалей к кривой I прямые линии, имеющие заданные уклоны dzjdn. Эти линип определят полосу развертывающейся поверхности, проходящей через пространственную [c.622]

К задаче о брахистохроне И. Бернулли возвращался многократно . Искал новые регпения, ставил вопрос о единственности решения. Но в августе 1697 г. в Journal des S avans он опубликовал постановку еще одной экстремальной задачи, обсуждавшейся им в переписке с Лейбницем, — о геодезических линиях найти кратчайшую траекторию между точками на выпуклой поверхности. Задача оказалась непростой. Бернулли опубликовал свое решение только в 1742 г., хотя основная идея метода была высказана в письме Лейбницу в 1715 г. Первым же решение этой задачи опубликовал Эйлер ( Комментарии Петербургской академии наук , 1732). В процессе решения задачи И. Бернулли ввел понятия пространственных координат и уравнения новерхности Под данной кривой поверхностью я разумею такую, отдельные точки которой (подобно точкам данной кривой линии) определяются тремя координатами X, у, Z, отношение между которыми выражается данным уравнением эти же три координаты суть не что иное, как три перпендикулярных отрезка, проведенных из какой-либо точки поверхности к трем плоскостям, данным по положению и взаимно пересекающимся под прямыми углами [64, с. 100]. [c.157]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...