Выражение для Н в функции канонических переменных

Выразить. .. в канонических переменных. Ввести в выражение функции. .. канонические переменные. [c.27]

Функция Гамильтона, выраженная в канонических переменных, определяется выражением (131.5) [c.368]

Функция Гамильтона, выраженная в канонических переменных, имеет вид [c.386]

Здесь Ь — функция Лагранжа, выраженная через канонические переменные а — параметр, с помощью которого уравнения кривых представляются в виде дг = qi a), Рг = Рг а), г = 1,..., п, = (а). [c.137]

При исследовании движения механических систем методом канонических уравнений Гамильтона полезно придерживаться следующего порядка вычислений. Как и в методе уравнений Лагранжа 2-го рода, прежде всего устанавливаем число степеней свободы рассматриваемой механической системы точек. Затем выбираем независимые обобщенные координаты и составляем выражения для кинетической и потенциальной энергии в функции обобщенных координат и обобщенных скоростей. Составив функцию L = T+U T—V, по формулам (62) находим обобщенные импульсы pi, р2,. .Ps. Разрешая полученную систему линейных уравнений относительно обобщенных скоростей, мы можем по формуле (64) найти И в функции канонических переменных qu 2,. , qs, pu р2,. .., Ps H времени t Зная функцию H = H qu Ръ Ps, 0. можно написать канонические уравнения (67) и затем интегрировать полученную систему уравнений. [c.515]

Это условие записано с помощью дифференциального выражения, обозначенного символом [/, Я]. Вообще для двух функций канонических переменных можно составить выражение [c.395]

Выражение для Н в функции канонических переменных. Нам остается теперь выразить характеристическую функцию Н через д, и Мы имеем [c.390]

Сравнивая функции Е q, q t) к H q, p t), убеждаемся в том, что H представляет собой обобщенную энергию, выраженную в канонических переменных. [c.286]

Функция Гамильтона будет равна полной механической энергии, выраженной в канонических переменных [c.294]

Здесь и в дальнейшем обозначение одной и той же функции, выраженной В обобщенных координатах и в канонических переменных, принято одинаковым. [c.367]

Функ и1Я H называется функцией Гамильтона. Функцию Гамильтона можно выразить также и в канонических переменных. Введем в выражение этой функции (131.4) вместо обобщенных координат и скоростей канонические переменные q/ и р/. Получим выражение функции Н в канонических переменных [c.368]

Выражение характеристической функции Н= Т — U в канонических переменных будет [c.260]

Таковы выражения величин Р, Q, Р в функции от канонических переменных р, д. Выражения эти не содержат переменной д [c.263]

Всякая система дифференциальных уравнений первого порядка этого вида, какова бы ни была функция H p q t), называется канонической или гамильтоновой системой переменные р к q называются каноническими переменными, причем величины р называются переменными первой серии (это те функции, производные которых в выражении посредством Н имеют явно знак минус), а величины q — переменными второй серии ясно, конечно, что речь идет о различии совершенно несущественном, так как обе серии переменных обменяются местами, если изменить знак у функции Гамильтона. [c.242]

Из условия, что канонические преобразования образуют группу [163], вытекает, что а, Р как функции t, также являются каноническими переменными и, следовательно, выполняются необходимые и достаточные условия каноничности преобразования типа (17), выраженные с помощью скобок Пуассона [c.203]

Примечание. Главная функция Гамильтона представляет собой действие по Гамильтону, вычисленное при переменном верхнем пределе и выраженное через начальные и текущие значения обобщённых координат. Будучи производящей функцией канонического преобразования начальных значений обобщённых координат и импульсов в их текущие значения, главная функция позволяет ответить на вопрос какие [c.219]

Используя разделение специальных канонических переменных в функции Гамильтона задачи Эйлера-Пуансо, Ю.А.Садов получил явные выражения для переменных действие-угол [18]. Отметим, что формулы, определяющие переменные действие, были найдены иным способом в квантовой механике уже в начале XX в., в связи с исследованием спектров многоатомных молекул [19]. Дело в том, что свободно вращающееся твердое тело является в классической квантовой механике простейшей моделью невозбужденной молекулы. Как известно, переменные действие играют определяющую роль в условиях квантования Бора - Зоммерфельда. [c.54]

Подставив эти выражения в формулу (7.54), мы и получим нужное выражение живой силы, а следовательно, и характеристической функции Н в канонических переменных. [c.380]

Остается выразить характеристическую функцию Н через канонические переменные, для чего достаточно в выражение (8.3) для кинетической энергии тела подставить вместо производных от абсолютных координат и эйлеровых углов их выра- [c.410]

Таким образом, функция Rz, выраженная в новых переменных, имеет ту же форму, что и в том случае, когда применялась замена переменных из 151. Значит, замена переменных, которую мы сейчас определили и которая является канонической и линейной, может заменить в общем случае замену 151. [c.225]

Выражение в левой части (4.5) — это скобка Пуассона функций /р и /д, представленная не в канонических переменных Х1,...,Х2к- После этих замечаний лемма 3 становится следствием леммы 3 из 4 главы II. [c.209]

Условимся для краткости обозначать ф, выраженные по формулам (5.14) через канонические переменные, символом 4г. Функцию Лагранжа и другие функции, в которых все заменены по. формулам (5.14), будем отмечать тем же символом [c.283]

Итак, произвольный выбор производящей функции S, удовлетворяющей условию (129), сразу позволяет получить как формулы для соответствующих свободных канонических преобразований, так и выражение для гамильтониана преобразованной системы через новые гамильтоновы переменные. В этом смысле выбор функции S и числа с О задает свободное каноническое преобразование. [c.319]

Вариация последнего интеграла равна пулю стало быть, в новых переменных Q,, Р, дифференциальные уравнения движения имеют также канонический вид роль новой функции Гамильтона играет выражение [c.231]

Важную связь между скобками Пуассона и бесконечно малыми каноническими преобразованиями можно получить, рассматривая изменение некоторой функции u q, р) в результате такого преобразования. Здесь необходимо объяснить, что мы понимаем под словом изменение функции. Раньше, когда мы преобразовывали величину u q, р) к новым переменным, мы вместо q а р подставляли в и выражения q(Q, Р) и p(Q, Р). Таким путем мы получали зависимость и от новых переменных. При этом функциональная зависимость и от Q а Р оказывается в общем случае не такой, как зависимость и от q к р. Однако численное значение и, соответствующее данному состоянию системы, при этом не изменяется, так как u q, р) есть функция точек фазового пространства и ее значения, конечно, не зависят от вида координат, которыми мы задаем эти точки. Теперь же мы будем рассматривать изменение функции и и в другом смысле этого слова. Мы будем понимать под ним численное изменение величины и в результате замены аргумента <7 на Q и аргумента р на Р. Функциональная зависимость и от старых и новых переменных будет при этом одной и той же, но точка фазового пространства, в которой мы вычисляем и, будет при этом изменяться. Рассмотрим, например, бесконечно малое преобразование (8.65). В этом случае мы, подставляя в функцию u(q, р) переменные Q и Я вместо q и р, переходим от значения [c.287]

Обратно, если переменная q не входит в характеристическую функцию li p q t) канонической системы, то она не войдет и в выражения [c.246]

Для доказательства этого достаточно вспомнить заключения п. 11, из которых следует, что равенства (75), если их рассматривать как формулы преобразования, зависящие от t, переменных р, q в переменные тс, [х, определят каноническое преобразование и что характеристическая функция преобразованной канонической системы уравнений (5) определится выражением [c.298]

ГАМИЛЬТОНА ФУНКЦИЯ [по имени ирл. математика У. Р. Гамильтона (W. R. Hamilton)], характеристич. функция механической системы, выраженная через канонические переменные обобщённые координаты Qi И обобщённые импульсы р/. Для системы со связями, явно не зависящими от времени i, движущейся в стационарном потенциальном силовом поле, Г. ф. H qi, />,)= ги=п, где П — потенц. энергия, а Г — кинетич. энергия системы, в выражении к-рой все обобщённые скорости qi заменены на Pi с помощью равенства /), = (9 Г/5д,. Т. о., в этом случае Г. ф. равна полной механич. энергии системы, выраженной через qi и р,-. В общем случае Г. ф. H pi, qi, t) может быть определена через др. характеристич. ф Цию — Лагранжа функцию L ( , qi, t) равенством [c.107]

Резюме. Общая форма произвольного канонического преобразования связана с производящей функцией, которая определяет собой это преобразование. Любая функция переменных qi и Q,- может быть выбрана в качестве производящей функции для соответствующего канонического преобразования. В дополнение к этой функции а priori может быть задан ряд определенных соотношений между qi и Q,-. В этом случае мы получаем обусловленное каноническое преобразование. Число заданных заранее условий может меняться от одного до п. Формулы канонического преобразования имеют ту особенность, что они не задают преобразование в явном виде. Вместо выражений для новых переменных через старые либо наоборот — старых через новые мы имеем некоторое смешанное представление. Старые и новые импульсы выражаются через старые и новые позиционные координаты. [c.240]

Для постановки динамической задачи о движении Земли около ее центра тяжести под действием притяжения отдаленной точки Р необходимо, помимо потенциала (фиктивного), еще и выражение для живой силы. Здесь нам пригодится замечание п. 2 гл. VIII, на осно--вании которого (поскольку действие силы зависит только от ориентировки Земли относительно неподвижных осей) вращательное движение определяется уравнениями (лагранжевыми и, следовательно, каноническими), составляемыми в предположении, что центр тяжести неподвижен. Следовательно, для живой силы Земли здесь надо принять выражение (Г) в канонических переменных, приведенное в предыдущем пункте. При помощи выражений (Г) для живой силы и (101) для потенциала U мы можем получить явное представление характеристической функции Н= Т) — и. [c.321]

Это — общее условие канонического преобразования, причем любая функция и Q может быть выбрана как производящая функция канонического преобразования. В добавление к этой функции могут быть заданы некоторые условия между и Qi (число условий может изменяться от 1 до п). Формулы канонического преобразования имеют ту особенность, что они не выражают это преобразование в явном виде. Вместо определения новых переменных только через старые, или наоборот, обычно применяется смешанное представление, в котором старые обобщенные импульсы выражаются через старые и новые координаты положения. Как известно, если ввести риманово мероопределение, то гамильтонова характеристическая функция в оптике и основная функция в динамике определяют расстояние в римано-вом пространстве, выраженное в функции координат конечных точек этого расстояния. Эта функция, которая тесно связана с вариационным интегралом, является производящей функцией некоторого частного канонического преобразования. [c.877]

Решение этой системы qi = t -f onst, qk = onst [k ф 1), pk = onst (f = l,...,n) следует подставить в уравнения канонической замены, выраженные относительно старых переменных q = q q,p), р = p[q, p), чтобы получить общее решение исходой системы Гамильтона. Функция W q, р) носит название характеристической функции системы. [c.301]

Остается выразить правые части этих равенств через канонические переменные, для чего достаточно подставить вместо обобщенных скоростей их выражения (6.28"). Результаты этих подстановок можно представить в очень простом и симметричном Ёиде, если ввести вспомогательную функцию К при помощи формулы [c.291]

Хотя уравнения (3.4.1) и является точными, они не сохраняют фазовую площадь, т. е. переменные и г з оказываются неканоническими. Чтобы перейти к каноническим переменным, запишем, следуя Лихтенбергу и др. [272], разностные уравнения в переменных, относящихся к столкновениям частицы с неподвижной стенкой. Введем и = и /2юа — новую нормированную скорость частицы и 9 — фазу подвижной стенки в момент п-то столкновения частицы с неподвижной стенкой. Будем считать, что движение подвижной стенки задается выражением = аР ( 1)), где F — четная периодическая функция фазы г 5 = OI с периодом 2л. Тогда получим следующую систему неявных уравнений, аналогичную (3.4.1) [c.222]

Теперь от лагранжевой формы уравнений движения мы можем обычным путем перейти к гамильтоновой форме. С помощью (10.91) и (10.92) в выражении (10.99) можно исключить скорость ф и получить гамильтониан Я = = Я (Яц, x , t) как функцию от сопряженных канонических переменных (Рд, х ) и t. Тогда уравнения движения можно записать в гамильтоновой форме dPix, dt = — дН1дх dx4dt — дН дР и соответствующим выбором контактного преобразования использовать метод интегрирования Гамильтона —Якоби. [c.279]

При переходе к фазовому пространству, в котором положение изображающей точки определяется каноническими переменными и число измерений которого в два раза больше, мы сталкиваемся с необходимостью видоизменить выражение принципа Гамильтона, построив новую функцию Лагранжа. Причина заключается в том, что старая функция Лагранжа после перехода к каноническим переменным не будет соукфжать производных по времени от координат изображающей точки. [c.297]

Так как преобразование между первоначальными переменными и переменными (138) является вполне каноническим, то преобразованные уравнения будут также каноническими, а новая характеристическая функция получится просто путем выражения первоначальной функции Н через кеплеровы переменные. Так как на основании формул (140) имеем [c.357]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...