Геодезические потоки на группах Ли

Козлов В. В, О группах симметрий геодезических потоков на замкнутых поверхностях // Матем. заметки,—1990, т. 48, М 5, 62-67, [c.421]

Эта группа называется геодезическим потоком на М. Геодезический поток может быть описан следующим образом преобразование за время Ь переводит единичный вектор е Т М, приложенный в точке X, в единичный вектор скорости геодезической, выходящей из точки х по направлению приложенный в точке на этой геодезической, лежащей на расстоянии Ь от точки х. Заметим, что в Т М естественно определяется элемент объема и что геодезический поток его сохраняет по теореме Лиувилля. [c.278]

Теорема 5.4.14. Пусть Г — такая дискретная группа изометрий О, не имеющих неподвижных точек, что фактор М = Г 0 компактен. Тогда периодические орбиты геодезического потока на ЗМ плотны в ЗМ. [c.223]

Теперь мы можем показать, что если фундаментальная группа растет экспоненциально, то множество минимальных геодезических достаточно велико для того, чтобы обеспечить положительную топологическую энтропию геодезического потока. [c.381]

Рассмотрим теперь компактные ориентируемые поверхности с бесконечной фундаментальной группой, т. е. сферы с д > 1 ручками. Читатель может найти описание фундаментальных групп и универсальных накрытий таких поверхностей в 5 дополнения. Мы рассмотрим свободные гомотопические классы замкнутых геодезических. Полезно заметить, что понятие степени такого гомотопического класса корректно определено. Следующее утверждение представляет собой аналог предложения 9.3.14 для геодезических потоков на поверхностях. [c.382]

В п. 5.4 е были установлены некоторые свойства геодезических потоков на компактных факторах гиперболической плоскости, характерные для систем с гиперболическим поведением, а именно плотность периодических орбит, топологическая транзитивность и эргодичность относительно гладких инвариантных мер. Теперь мы хотим показать, что геодезический поток на компактном факторе гиперболической плоскости является потоком Аносова. Будем использовать обозначения из 5.4. Рассмотрим геодезический поток на компактном факторе т полуплоскости Н, т. е. геодезический поток на поверхности т, полученной в результате факторизации Н по такой дискретной группе изометрий без неподвижных точек Г, что фактор Г И компактен так как пространство т локально изометрично Н, мы получаем, используя предложение 5.4.13 и компактность т, следующую теорему. [c.549]

Важный класс многообразий отрицательной кривизны получается с помощью алгебраической конструкции, которая обобщает алгебраическое описание поверхностей постоянной отрицательной кривизны из 5. Геометрическое свойство, которое дает нам возможность описывать геодезический поток на сфере, торе и гиперболической плоскости, — наличие группы изометрий, действующей транзитивно на единичных касательных векторах (лемма 5.4.1). Пространства, обладающие таким свойством, называются (глобально) симметрическими пространствами. Сначала дадим традиционное определение, а затем докажем транзитивность группы изометрий в случае ненулевой кривизны. [c.555]

Определение 1.6. Группа Gt называется геодезическим потоком на У. [c.12]

Частные примеры 1.7. Описание геодезического потока на обычном торе в евклидовом пространстве имеется в приложении 2, на эллипсоиде — в работе Кагана [1] и на группах Ли, снабженных левоинвариантной метрикой, — в приложениях 3 и 4. [c.12]

Геодезические потоки па группах Ли [c.119]

Если М — группа Ли, снабженная инвариантной слева (или справа) метрикой, то геодезический поток имеет важные приложения. [c.119]

Если М = 50(3) — связная составляющая единицы группы вращений трехмерного пространства то геодезический поток представляет вращения твердого тела вокруг неподвижной точки. Каждая орбита соответствует какому-нибудь движению. [c.119]

Группа гомотетий с положительными коэффициентами и трансляций п-мерного аффинного пространства порождает геодезический поток (гг + 1)-мерного пространства постоянной отрицательной кривизны. [c.119]

Пусть V = W — универсальное накрытие W с прообразом римановой метрики W под действием канонической проекции тг —) W, Пространство V удовлетворяет предположению предыдущего раздела. Следовательно, геодезический поток на Т У удовлетворяет условиям У-потока условие (0) является тривиально выполненным условие (1) следует из теоремы П21.16 условие (2) следует из теоремы П21.18. Завершаем доказательство проверкой того, что тг является совместимым с тремя слоениями У = и TiW, Первая гомотопическая группа Tri(M ) изоморфна группе автоморфизмов W, поскольку W связ- [c.187]

Теперь рассмотрим, каким образом соответствие между фазовым потоком задачи Кеплера и геодезическим потоком на связано с наличием дополнительных первых интегралов, отсутствующих в случае произвольной центральной силы (7). Поверхности Ми в высшей степени однородны на каждой из них действует трехпараметрическая группа движений, т. с. преобразований, не меняющих метрику, а, следовательно, и сохраняющих геодезический поток. Согласно теореме Нетер, каждой однопараметрической подгруппе из этой группы, а точнее говоря, ее инфинитезимальной образующей, т. е. элементу алгебры Ли, отвечает первый интеграл. Известно, что геодезические, параметризованные длиной дуги, являются экстремалями интеграла действия ([7], 12) [c.31]

Раскладывая представление группы О на неприводимые представления и вычисляя спектр Ut в каждом неприводимом представлении, можно таким образом вычислить спектр геодезического потока, что и было сделано впервые в [20]. [c.165]

Для того, чтобы провести классификацию динамических систем, естественно искать их инварианты относительно соответствующей группы группы аффинных преобразований для геодезических потоков, группы канонических преобразований для гамильтоновых систем, группы сохраняющих меру диффеоморфизмов для классических систем. Абстрактные инвар нты име1ё более г окий смысл и задаются следующим определением. [c.19]

Гамильтоново векторное поле 20, 22 Геодезически выпуклая область 142 Геодезический поток 150 Г простат 42 Группа монодромии 358 -- приведенная 360 [c.427]

Как будет показано далее, эта система является интегрируемой (случай Шоттки-Манакова). Система (2.11) описывает также интегрируемый геодезический поток некоторой метрики на группе [c.184]

Сдвиги на компактных коммутативных группах ( 1.3 и 1.4) и линейные потоки на торе ( 1.5) являются примерами соответственно сдвигов и потоков на однородных пространствах. В 17.5 мы покажем, что геодезический поток на компактном факторе плоскости Лобачевского (п. 5.4 е) можно представить естественным образом как поток на однородном пространстве группы Р5Ь(2, Е) всех преобразований Мёбиуса по некоторой компактной (равномерной) решетке Г. Напомним, что Р5Ь(2, Е) — это факторгруппа группы 5Ь(2, К) всех (2 х 2)-матриц с определителем единица по центру, который состоит из двух элементов Ы. Читатель, интересующийся этим конкретным примером, может сразу после окончания этого параграфа перейти к чтению 17.5. В 17.7 мы разовьем этот метод и рассмотрим важные потоки на однородных пространствах, возникающие из геодезических потоков некоторых весьма специальных римановых многообразий размерности больше двух. [c.241]

Мы показали, что чисто топологическое свойство компактных многообразий гарантирует существование минимальных геодезических относительно любой римановой метрики на этом многообразии. Далее мы выразим эту связь количественно, показав, что при наличии более сильного топологического свойства, а именно экспоненциальной скорости роста фундаментальной группы 7T,(Af), можно гарантировать определеннуто данамиче-скую сложность множества минимальных геодезических для любой метрики на М, а именно положительность топологической энтропии геодезического потока, суженного на это множество. [c.379]

Общее алгебраическое описание геодезического потока на симметрическом римановом пространстве ранга один некомпактного типа таково. Пусть G — простая некомпактная группа Ли вещественного ранга один. Такими группами являются SO(n, 1), SU(n, 1), Sp(n, 1) и F.. Пусть К — максимальная компактная подгруппа группы G. Тогда G/K —глобально симметрическое пространство и его единичное касательное расслоение имеет вид G/T, где Г — компактная подгруппа группы К (а именно подгруппа изотропий касательного вектора). Соответствующие симметрические пространства суть п-мерное вещественное, комплексное и кватернионное гиперболические пространства и двумерная гиперболическая плоскость Кэли. Геодезический поток соответствует правому действию однопараметрической подгруппы, коммутирующей с Т. (Заметим, что в двумерном случае T = Id .) [c.558]

Упомянем еще про попытку решения проблемы дальнодействия с помощью теории скрытых движений . Основную идею можно пояснить на примере вращающегося симметричного волчка поскольку вращение волчка вокруг его оси симметрии заметить невозможно, то можно считать волчок невращающимся и странности в его поведении объяснить действием дополнительных гироскопических и потенциальных сил. В общем случае эту идею можно пытаться реализовать в рамках теории Рауса понижения порядка систем с симметриями. Предположим, что механическая система с и + 1 степенями свободы движется по инерции и ее лагранжиан, представляющий только кинетическую энергию, допускает однопараметрическую группу симметрий. Понижая порядок системы факторизацией по орбитам действия этой группы, мы видим, что функция Рауса, представляющая лагранжиан приведенной системы с п степенями свободы, содержит слагаемое, не зависящее от скоростей. Это слагаемое можно интерпретировать как потенциал сил, действующих на приведенную систему. Гельмгольц, В. Томсон (лорд Кельвин), Дж. Дж. Томсон, Герц настаивали на том, что все механические величины, проявляющиеся как потенциальные энергии , на самом деле обусловлены скрытыми циклическими движениями. Эта концепция кинетической теории наиболее полно выражена в книге Генриха Герца Принципы механики, изложенные в новой связи [20]. Оказывается, системы с компактным конфигурационным пространством действительно можно получить из геодезических потоков с помощью метода Рауса [13]. Однако, в некомпактном случае (наиболее интересном с точки зрения теории гравитации) это уже не так (см. [23, 13]). [c.13]

Как уже отмечалось в гл. III ( 3), правые сдвиги включаются в фазовые потоки левоинвариантных полей. Левоинвариантные поля на группе SDiff М — это соленоидальные поля на М, удовлетворяющие уравнению Эйлера (6). Следовательно, по теореме Нетер уравнения геодезических на группе SDiff М допускают бесконечную серию линейных интегралов (8) w,v) = onst. [c.221]

Геодезический поток на С — это группа Г преобразова- ний пространства М такая, что каждое отдельное преобразование Р состоит в сдвиге линейного элемента х= ц,у) вдоль определяемой им геодезической на расстояние t. Мера ц на М. с дифференциалом d i,=da q)d(йq, где da q) —элемент римано-ва объема, Шд — мера Лебега на единичной сфере 5 " в инвариантна относительно 7 . [c.11]

Введение. Под эргодической теорией для общих групп (иначе — под теорией динамических систем с общим временем ) понимают изучение произвольных групп преобразований с инвариантной или квазиинвариантной мерой. Классическая эргодическая теория изучает случай групп 2 и R . На первых порах переход к более общим группам мотивировался пользой для изучения классического случая. Один из наиболее ранних и интересных примеров такого рода принадлежит И. М. Гель-фанду и С. В. Фомину [14] геодезический поток на замкнутой поверхности постоянной отрицательной кривизны можно рассматривать как действие однопараметрической (гиперболи- [c.78]

Эргодическая теория геодезических потоков на многообразиях постоянной отрицательной кривизны может быть достаточ-то глубоко исследована с помощью методов теории унитарных лредставлений групп Ли. Впервые идея об алгебраической конструкции таких геодезических потоков появилась в работе И. М. Гельфанда и С. В. Фомина (см. [20]), где было получено много важных результатов. Динамические системы, к которым. применим подход Гельфанда—Фомина, иногда называют динамическими системами алгебраического происхождения. Многие относящиеся к ним результаты описаны в обзоре [22]. Здесь мы остановимся только на геодезических потоках на многообразиях постоянной отрицательной кривизны. Мы будем пользоваться моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского на верхней комплексной полуплоскости Я= z= (x+iy) г/>0 . Линия г/=0 называется абсолютом (и обозначается Я(оо)), а ее точ-зси — бесконечно удаленными. Прямыми в Я служат полуокружности с центрами на aб oJIIЮтe или лучи, ортогональные J абсолюту. Риманова метрика кривизны — К задается в виде скалярного произведения <, >л в точке z= x+iy)6H равенст-k [c.164]

Смотреть страницы где упоминается термин Геодезические потоки на группах Ли : [c.222] [c.558] [c.559] [c.79] [c.165] [c.731] [c.362]

Смотреть главы в:

Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 -> Геодезические потоки на группах Ли

ПОИСК

Геодезические

Геодезический на группах

Геодезический поток

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...