Геодезический на группах

В этом добавлении кратко изложены результаты вычислений, связанных с геодезическими на группах с односторонне инвариантными метриками. Доказательства и дальнейшие подробности можно найти в следующих работах [c.284]

Согласно принципу наименьшего действия, движение твердого тела по инерции (в отсутствие внешних сил) есть геодезическая на группе вращений с указанной выше левоинвариантной метрикой. [c.290]

Геодезические на группах Ли с левоинвариантной метрикой [c.146]

Ключевой вопрос применимости общей теории вихрей, развитой в главе II, состоит в нахождении инвариантных многообразий, однозначно проектирующихся на конфигурационное пространство. Этот вопрос легко и естественно решается для волчка Эйлера — задачи о вращении по инерции твердого тела с неподвижной точкой в трехмерном евклидовом пространстве. Многие результаты этого параграфа непосредственно обобщаются на более общую задачу о геодезических на группах Ли с левоинвариантной метрикой. [c.154]

Геодезические на группах Ли с левоинвариантной метрикой 169 В результате переходим к тождеству [c.169]

Геодезические на группах Ли с левоинвариантной метрикой 175 Следствие 4. Если f,g = О, то [vf,v = 0. [c.175]

Следовательно, для существования стационарного движения частицы в некотором римановом групповом многообразии О вдоль Еь требуется внешняя сила (44 ). Другими словами, лй (суммирование по /, но не по А) есть геодезическая кривизна однопараметрической подгруппы ехр (Ен) на группе О. Если мы выберем нормальный ортогональный базис Е, . .., Еп в метрике < 5 при О, то эта кривизна будет равняться просто с/, [c.226]

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК НА ГРУППАХ ЛИ И ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [c.283]

Мы будем теперь рассматривать геодезические произвольной левоинвариантной римановой метрики на произвольной группе Ли как движения обобщенного твердого тела с конфигурационным пространством G. Такое твердое тело с группой G определяется своей кинетической энергией, т. е. положительно определенной квадратичной формой на алгебре Ли. Точнее, мы будем представлять себе геодезические левоинвариантной метрики на группе G, заданной квадратичной формой <со, со> на алгебре, как движения твердого тела с группой G и кинетической энергией <со, со>/2. [c.290]

Принцип наименьшего действия (который в математическом отношении есть определение идеальной жидкости) утверждает, что течения идеальной жидкости являются геодезическими описанной правосторонне инвариантной метрики на группе диффеоморфизмов. [c.296]

М. Обсуждение. Естественно ожидать, что кривизна группы диффеоморфизмов связана с устойчивостью геодезических линий на этой группе (т. е. с устойчивостью течений идеальной жидкости) таким же образом, как кривизна конечномерной группы Ли — с устойчивостью геодезических на ней. А именно, отрицательность кривизны вызывает экспоненциальную неустойчивость геодезических. При этом характерный путь (средний путь, на котором в е раз нарастают ошибки в начальных условиях) имеет порядок величины l/ i —К. Таким образом, значение кривизны группы диффеоморфизмов позволяет оценить время, на которое можно предсказывать развитие течения идеальной жидкости по [c.306]

Так как концы любого отрезка геодезической переставляются симметрией, соответствующей его середине, и любые две точки могут быть соединены геодезической ломаной, группа изометрий глобально симметрического пространства, равно как и компактного локально симметрического пространства, очевидным образом, действует транзитивно на самом пространстве. [c.555]

Частные примеры 1.7. Описание геодезического потока на обычном торе в евклидовом пространстве имеется в приложении 2, на эллипсоиде — в работе Кагана [1] и на группах Ли, снабженных левоинвариантной метрикой, — в приложениях 3 и 4. [c.12]

Уравнения (1.11) составляют половину уравнений движения. К ним следует добавить геометрические уравнения (1.2). С дифферен-циально-геометрической точки зрения эти уравнения описывают геодезические линии левоинвариантной метрики на группе Ли. [c.154]

Основные идеи вихревой теории волчка Эйлера переносятся на более общую задачу о геодезических линиях левоинвариантных метрик на группах Ли. [c.163]

По информативности все методы геодезического контроля надземных подкрановых путей подразделяют на три группы [c.10]

Для прямых геодезических измерений рельефа используют оптические и электронные нивелиры, тахеометры, а также специальные приборы. К группе специальных следует отнести приборы, позволяющие со скоростью 2—3 км/ч производить измерения вертикальных координат поверхности искусственного покрытия через каждые 5-50 см (рис. 12.11 и 12.12). Замеряемые данные записываются на магнитный носитель или компьютер с возможностью их последующей обработки. [c.467]

Это перечисление не должно создать впечатление, что группа ученых, занимавшихся в то время колебаниями и волнами, акустикой и оптикой, была многочисленной счет пока надо вести на десятки, а для лиц, которые интересовались такими исследованиями или были в состоянии найти им при случае применение, — на сотни. Медленным темпом шел обмен сведениями, новые взгляды и результаты становились сначала известными немногим и лишь постепенно вытесняли прежние воззрения. Немало было ошибочных выводов, чрезмерно упрощенных толкований, неудачных схем, и продвижение вперед требовало их разъяснения и опровержения. История показывает нам, что поступательный ход науки происходил по траектории, далеко не прямолинейной. Только если выделить основные достижения, шагая но вершинам , создается обманчивое ощущение непрерывного продвижения по геодезической линии от успеха к успеху. [c.262]

Эйлерово движение твердого тела можно описать как движение по геодезическим на группе вращений трехмерного евклидова пространства, снабженной левоинвариантной римановой метрикой. Значительная часть теории Эйлера связана лишь с этой инвариантностью и потому переносится на случай других групп. [c.283]

ЧТО для типичного гладкого начального поля скорости в D классическое решение уравнения Эйлера движения идеальной жидкости существует лишь конечное время (зависящее от начальных данных), т. е. что почти все геодезические на группе SDiff D нельзя неограниченно продолжать. [c.313]

Как уже отмечалось в гл. III ( 3), правые сдвиги включаются в фазовые потоки левоинвариантных полей. Левоинвариантные поля на группе SDiff М — это соленоидальные поля на М, удовлетворяющие уравнению Эйлера (6). Следовательно, по теореме Нетер уравнения геодезических на группе SDiff М допускают бесконечную серию линейных интегралов (8) w,v) = onst. [c.221]

Тем не менее интересно посмотреть, к каким выводам приводит формальное перенесение свойств геодезических на конечномерных группах Ли на бесконечномерный случай. Эти выводы носят характер априорных предложений (тождеств, неравенств и т. п.), которые должны выполняться при всяком разумном понимании решений. В некоторых случаях получаемые 8десь выводы удается затем строго обосновать непосредственно, минуя бесконечномерный анализ. ( [c.283]

Как будет показано далее, эта система является интегрируемой (случай Шоттки-Манакова). Система (2.11) описывает также интегрируемый геодезический поток некоторой метрики на группе [c.184]

Xi = n(D,). Утверждается, что группы гомологий i(Ai) накрывают почти всю группу Н (М), за исключением, быть может, элементов из Н (М), принадлежащих некоторому конечному множеству одномерных подгрупп. Это можно вывести из одной теоремы Е. В. Гайдукова (1966) для любого нетривиального класса свободно гомотопных путей на М существует геодезическая полутраектория y t), выходящая из точки х и асимптотически приближающаяся к некоторой замкнутой геодезической из данного гомотопического класса. Если скорость y(0) не является критической, то y(t) замкнута. Исключительные одномерные подгруппы в Л 1Л), о которых говорилось выше, порождаются как раз замкнутыми геодезическими, на которые наматываются не совпадающие с ними асимптотические полутраектории. Поскольку непрерывное отображение [c.266]

Перенос связанных с конечномерным о. т. т. формул на гидродинамический случай иногда дает полезную информацию. Например, из формул для гауссовой кривизны группы С с односторонне инвариантной метрикой Арнольд получил оценки степени непредсказуемости переноса масс некоторыми периодическими по пространству двумерными течениями (см. [5] [8], Добавление 2). С уравнениями гидродинамики естественно связаны бесконечномерные группы. Но не все свойства конечномерных о. т. т. автоматически применимы к гидродинамическим уравнениям. Например, на конечномерных группах Ли с односторонне инвариантной метрикой геодезические этой метрики неограниченно продолжимы в обе стороны (по времени). Решения уравнения Эйлера движения идеальной однородной жидкости в трехмерной области О можно рассматривать как зависимость от времени касательного вектора к геодезической правоинвариантной римановой метрики (задаваемой кинетической энергией жидкости) на группе 50 О сохраняющих объемы взаимно однозначных преобразований 0- 0, гладких вместе с обратным преобразованием. Имеются основания предполагать, [c.312]

Геодезический поток на С — это группа Г преобразова- ний пространства М такая, что каждое отдельное преобразование Р состоит в сдвиге линейного элемента х= ц,у) вдоль определяемой им геодезической на расстояние t. Мера ц на М. с дифференциалом d i,=da q)d(йq, где da q) —элемент римано-ва объема, Шд — мера Лебега на единичной сфере 5 " в инвариантна относительно 7 . [c.11]

Четвертая группа задач связана с построением разверток поверхностей (точных, приближенных и условных). Построение разверток поверхностей имеет как самостоятельное значение с точки зрения изготовления их из листового материала, так и вспомогательное значение при решении ряда метрических задач на построение отдельных линий или сетей линий на поверхности. К ним относятся задачи на построение кратчайших (геодезических) линий, криволинейных фигур с заданными метрическими свойствами, при-надлежашими той или иной поверхности. [c.145]

Одним из основных факторов, оказывающих влияние на выбор и возможность осуществления той или иной методики геодезической съемки подкрановых путей, является их доступность для непосредственных измерений ширины колеи, определения непрямолинейнос-ти рельсов и их нивелирования. С этах позиций все надземные подкрановые пути мостовых кранов следует разделить на три группы лосгунные, труднодоступные и недоступные. [c.9]

Смотреть страницы где упоминается термин Геодезический на группах : [c.33] [c.151] [c.221] [c.362]

Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 (1999) -- [ c.12 , c.119 ]

ПОИСК

Геодезические

Геодезические на группах Ли с левоинвариантной метрикой

Геодезические потоки на группах Ли

Добавление 2. Геодезические левоинвариантных метрик на группах Ли и гидродинамика идеальной жидкости

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...