Примеры использования уравнений Лагранжа

Примеры использования уравнений Лагранжа [c.284]

ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 285 [c.285]

Характерные черты приближенного метода расчета частот свободных колебаний, в котором учитывается зависимость массы и жесткости от номера тона, показаны ниже на примере с использованием уравнений Лагранжа II рода. [c.445]

В примере 17.28 при использовании первого варианта обобщенных координат на основе уравнений Лагранжа второго рода составляются дифференциальные уравнения движения (колебаний) и находятся собственные частоты и формы свободных колебаний. [c.150]

В примере 17.30 (17.31) при использовании первого варианта обобщенных координат находятся дифференциальные уравнения колебаний прямым (обратным) способом и дается сопоставление их с уравнениями, полученными на основе уравнений Лагранжа второго рода. Здесь же показывается инвариантность частотного уравнения по отношению к способу вывода уравнений. [c.150]

Выводятся три формы уравнений Лагранжа для относительного движения механических систем. Для некоторых частных случаев относительных движений полученные уравнения имеют компактный вид, удобны для составления дифференциальных уравнений движения и могут использоваться на занятиях со студентами по теоретической механике. Получены три формы уравнений Нильсена для относительного движения. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие эффективность использования полученных уравнений. [c.108]

Отсюда видно, что использование полного функционала Эпз(е, it) можно рассматривать как инструмент для получения общего решения уравнений равновесия, более универсальный, чем статико-геомет-рическая аналогия. Преобразование функционала Лагранжа Элз (е, ц) в Э з(е, ц, t )) привело к преобразованию условий стационарности Элэ (уравнений равновесия в деформациях) к форме, являющейся их общим решением. Этот пример показывает, какое богатство возможностей заключено в вариационных формулировках и их преобразованиях. [c.121]

Данное пособие состоит из двух глав и приложения. В первой главе изложены методики, приведены примеры и программы получения с помощью системы аналитических вычислений REDU E, а также численных методов основных уравнений аналитической динамики (уравнений Лагранжа, Гамильтона, Рауса и др.). Рассмотрена задача вывода уравнений Эйлера - Лагранжа с использованием общих теорем динамики, а также уравнений относительного движения в обобщенных координатах. [c.3]

Динамика твердого тела изучается на основе общих теорем об изменении кинетической энергии, кинетического момента и количества движения, а также с помощью основных понятий геометрии масс. Показывается, что аппарат динамики системы материальных точек применим для описания движения твердого тела и систем твердых тел. Проясняется вычислительная экономность использования уравнений Эйлера. Традиционно анализируются случаи Эйлера-Пуансо, Лагранжа-Пуассона, Ковгияевской [24]. В качест)зе примера методики по.чучения частных случаев интегрируемости приводятся случаи Гесса и Бобылева-Стеклова [6]. С целью демонстрации приложения развитых методов к практике даются основы элементарной теории гироскопов [14, 41], достаточные для качественного анализа действия гироскопических приборов. [c.12]

В главе строится нелинейная теория жесткогибких оболочек без использования гипотез Кирхгофа. Ее главное отличие от квази-кирхгофовской теории (гл. 3) и теории типа Тимошенко-Рейсснера (гл. 9) заключается в учете вариаций параметров поперечного обжатия Статическая гипотеза заменяется известным приемом подчинения нормальных поперечных напряжений граничным условиям на лицевых поверхностях оболочки. Поперечные сдвиги учитываются по линейной теории, что естественно для тонких жесткогибких оболочек. Показано, что в граничном вариационном уравнении Лагранжа независимыми являются вариации, вообще говоря, шести геометрических величин — компонент вектора перемещения и их производных по тангенциальной нормали к граничному контуру. Как частный случай получены уравнения уточненной теории пологих оболочек. На примере показано, что слагаемые, связанные с вариациями параметров А , могут иметь принципиальное значение для контактных задач со свободной границей. [c.232]

Историческим примером чрезвычайно плодотворного использования подобных аналогий служит деятельность английского ученого Максвелла [4]. Воспользовавшись аналогией между явлением самоиндукции электрического тока и инерцией движущегося тела, он ввел понятие электрокинетической энергии и распространил чисто механические уравнения Лагранжа второго рода на электрические и электромехани-ческе системы. Эти уравнения, названные уравнениями Лагранжа — хМаксвелла, дали возможность сделать ряд выводов в области электродинамики и сейчас имеют немаловажное значение [5]. Их изучение невозможно без знаний теоретической механики. Поэтому вполне закономерно включение вопросов электромеханических аналогий и электромеханических систем в разделы курса теоретической механики [6]. [c.7]

Для решения таких задач эффективным является применение интегралыных форм уравнений количества движения и момента количества движения. Методика их использования проиллюстрирована ка конкретных примерах в гл. 6, 7 н др. в данном параграфе приведены уравнения количества движения и момента количества движения в общей форме, удобной для практического применения. Закон количества движения сформулирован в гл. 3, где в общей форме получено соответствующее уравнение (3.8). Оно, однако, малоудобно для практического применения из-за необходимости вычислять объемный интеграл, требующий знания закона распределения скоростей в этом объеме. Более удобную форму уравнения количества движения можно получить, если перейти от описания потока по методу Лагранжа к описанию по методу Эйлера. [c.110]

Выше мы показали возможность вывода основных уравнени й теории пластин исходя из вариационного принципа Лагранжа. Однако главное значение вариационных принципов в расчете пластин состоит в том, что с их помощью можно получить приближенные решения сложных задач, не прибегая к составлению и решению дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые примеры расчетов с использованием прямых методов вариационного исчисления рассмотрены в 8. Точное аналитическое решение общих уравнений изгиба пластины может быть выполнено лишь в частных случаях — для прямоугольных и круглых пластин постоянной толщины, а также для пластин, [c.67]

В разд. 1.2 описаны исходные допущения модели и дана постановка задачи. Б разд. 1.3 дан вывод основных уравнений, исходя из принципа возможных перемещений Лагранжа, а также сформулированы граничные условия задачи. Указан способ преобразования исходной системы уравнений к разрешающей системе, основанный на введении функций напряжений с помощью соотношения (1.21). Такой анализ несколько отличается, судя по литературе, от наиболее распространенных подходов и, в частности, от подхода, изложенного в статье [8]. В разд. 1.4 решается задача для пластины с двумя ребрами и различными граничными условиями. Даны численные расчеты. В разд. 1.5 содержится решение системы разрешающих уравнений для случая, когда число ребер произвольное. Использован известный способ решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приспособленный к специфике данной системы. В разд. 1.6 рассмотрены частные случаи пластин с пятью и шестью ребрами. Приведены подробные численные расчеты и дан анализ влияния параметров пластины и ребер иа характер напряжений. В разд. 1.7 рассмотрена задача оптимального подкрепления пласти-пы произвольным числом ребер переменного сечения. Закон изменения сечения ребер по их длине определяется из условия, что напряжения в ребрах не меняются по длине каждого ребра. В разд. 1.8 и 1.9 описан метод конечных разностей Лля приближенного расчета напряжений в пластине с ребрами, сечение которых лроизвольно изменяется по длине. Точность метода иллюстрируется а примере. В последнем разделе излагается способ приближенного учета поперечной сжимаемости пластины между ребрами, который улучшает картину напряжений в окрестности угловых точек пластины. [c.7]

Пример. Однородная сфера единичной массы радиусом а подвешена на нити длиной Ь к неподвижной точке и приведена во вранхение вокруг вертикального диаметра. В состоянии этого стационарного движения сфере сообщается небольшое воэмун ,е1ше. Пусть Ьх, Ьу к Ь — координаты точки на поверхности сферы, к которой прикреплена нить, Ьх- г а , (/ -- - аг) и 6 г а — координаты центра сферы неподвижная точка принята за начало системы координат, а ось г направлена вертикально вниз. Кроме того, пусть срЧ где ф и ф имеют смысл, обычно придаваемый им при использовании кинематических уравнений Эйлера (см. т. I, гл. V). Поэтому до сообщения возмущения у/ — п. Показать, что функция Лагранжа дастся выражением [c.96]

Второй метод заключается в использовании ряда параметров (множителей) Лагранжа и решении задачи как задачи типа Майера. Этот метод непосредственно дает ряд дополнительных дифференциальных уравнений и конечных условий. Связи между экстремалями различных типов обычно определяются с помощью так называемых угловых условий Вейерштрасса—Эрдманна. Если при этом остаются еще какие-либо сомнения в правильности синтеза оптимальной траектории, то они обычно устраняются, как это будет показано на примерах, путем применения сильного вариационного критерия Вейерштрасса. Обычно достоверность максимума или минимума исследуемых характеристик достаточно ясно определяется физической интуицией, поэтому это дополнительное и достаточно трудное доказательство оказывается излишним. В частных случаях, исследованных в работе [4], это доказательство носит элементарный характер. [c.747]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...