Малые деформации удлинения, изменения углов

Примем, что в процессе деформирования удлинения сдвиги и углы поворота остаются малыми по сравнению с единицей. Порядки малости этих величин, вообще говоря, различны и будут уточнены ниже. При этих условиях малыми будут и компоненты тензора деформаций. В частности, если в недеформирован-ном состоянии система координат декартова, то относительные удлинения волокон материала, направленных до деформации вдоль координатных осей отождествляются с одноименными компонентами тензора деформаций, а изменение углов между двумя координатными осями — с соответствующими разноименными компонентами. Кроме того, условие малости удлинений и сдвигов позволяет пренебречь изменением объемов, площадей и линейных размеров тел в процессе их деформирования и отождествить компоненты симметричного тензора обобщенных напряжений [206 ] с истинными напряжениями в лагранжевых переменных. [c.41]

В реальных строительных материалах относительные удлинения обычно измеряются тысячными, а то и десятитысячными долями. Поэтому их произведениями можно пренебречь. Можно показать, что деформации сдвига дают изменение объема, пропорциональное квадрату и более высоким степеням угла сдвига у. Поэтому при малых деформациях этими изменениями объема также пренебрегают. Следовательно, [c.373]

Величины в совокупности образуют тензор малых деформаций. Совокупность девяти величин е (t, / = 1,2, 3), среди которых ввиду условия симметрии е,-у == i имеются шесть независимых, образует единый комплекс, обладающий такими свойствами, что они полностью описывают деформированное состояние в окрестности точки. По этим шести величинам могут быть определены удлинения в любом направлении, исходящем из данной точки, и изменения углов между двумя любыми направлениями, исходящими из этой точки. Совокупность этих величин образует тензор и может быть представлена в виде матрицы [c.104]

Усилия N и определены с учетом деформируемости стержней, т. е. по деформированной схеме, а и найдены без учета деформируемости стержней, т. е. по недеформированной схеме. В случае малости р и малого отличия а от а величина N практически не отличается от N , а — от М . Как видно, под малой в данном случае понимается такая деформация, при которой изменение углов наклона стержней практически не приводит к изменению тригонометрических функций этих углов такое малое изменение углов связано с малостью перемещения узла А, а последнее, в свою очередь, — с малостью удлинения стержня J и укорочения стержня 2. [c.85]

Рассмотрим деформацию элементарного кубика с ребрами длиной Iq и направим оси х, у, z вдоль ребер. При его деформации изменяются длины ребер и углы между ними. Конструкционные материалы (металлы, дерево, композитные материалы и т.п.) допускают обычно небольшие деформации до разрушения. Поэтому мы ограничимся изучением таких деформаций кубика, при которых изменения длин его ребер (удлинения) малы по сравнению с начальной длиной ребер /о, а, изменения углов между ребрами (сдвиги) малы в сравнении с начальными прямыми углами между ними. В этих ограничениях произвольная малая деформация кубика (с точностью до величин высшего порядка малости) сводится к превращению его в косоугольный параллелепипед. Такую деформацию кубика можно [c.40]

Существенное отличие удлинений и сдвигов состоит в том, что наибольшие удлинения (и укорочения) возникают по направлениям главных осей, в то время как наибольшие сдвиги, так же как и наибольшие касательные напряжения, возникают под углами 45° к главным направлениям. Например, при испытаниях цилиндрических образцов на кручение принимают длину образца неизменной и потому оценивают угол сдвига как отношение длины дуги (при относительном повороте двух сечений) к расстоянию между этими сечениями. Всякая малая деформация может рассматриваться как результат удлинений (и укорочений) и сдвигов. Знать деформированное состояние в данной точке тела, значит уметь для любого направления, исходящего из этой точки, определить происшедшие в результате деформации изменение расстояния между двумя близкими точками, лежащими на этом направлении, и изменение угла между любыми двумя направлениями. [c.45]

Теперь по 0,, . и легко вычислить удлинения и изменения углов для малых деформаций. Линейный элемент ОР в направлении возрастания имеет до деформации длину [c.58]

Обобщенные силы, по предыдущему, представляют собой производные от свободной энергии по параметрам а, /3, ., и, взятые с обратным знаком. Этот вывод имеет многочисленные приложения. Пусть мы хотим, например, составить уравнения равновесия упругого тела. Для этой цели мысленно выделим в упругом теле некоторый прямоугольный параллелепипед и рассмотрим напряжения, действующие на его грани, и некоторые величины а, определяющие деформацию, т. е. изменение линейных размеров и изменение углов. Свободная энергия, представленная как функция параметров а, для малых деформаций может быть разложена в ряд по возрастающим степеням а. Дифференцируя полученный ряд, мы определим напряжения. Из тщательно проведенных исследований видно, что вполне достаточно ограничиться в ряде для Ф членами второго порядка. Если за нормальное состояние тела принять его недеформированное состояние, то пропадет член ряда, не зависящий от параметров. Поскольку в нормальном состоянии никаких напряжений нет, то обратятся в нуль и члены с первой степенью а, так что Ф можно считать однородной квадратичной формой от деформаций . Представим себе, например, растянутый и в то же время закрученный стержень. Обозначим через А удлинение, а через из — угол кручения. При заданном А, стержень обладает одинаковыми внутренней энергией и энтропией, а следовательно, и свободной энергией, независимо от того, закручен ли он на данный угол вправо или влево поэтому Ф не содержит нечетных степеней ш. Итак, [c.72]

Компоненты нормальных деформаций е х, Syy, е характеризуют относительные изменения длины бесконечно малых линейных элементов в направлениях осей х, у viZ соответственно. Нормальные деформации считаются положительными при удлинении (т. е. при растяжении). Компоненты деформаций е у = еу, e z = и Syz — представляют собой сдвиговые деформации. Они характеризуют половину изменения прямого угла между двумя бесконечно малыми линейными элементами, первоначально параллельными осям координат. Сдвиговые деформации считаются положительными при увеличении прямого угла между любыми двумя положительными (или любыми двумя отрицательными) осями координат. [c.22]

В этом случае введенные перемещения для большинства рассматриваемых систем являются малыми по сравнению с геометрическими размерами тела. Метод определения деформаций заключается в том, что по перемещениям вычисляются линейные удлинения вдоль осей, а также сдвиговые деформации, равные половине суммарного изменения прямого угла между осями координат. В общем случае компоненты деформации связаны с малыми перемещениями соотношениями Коши [c.28]

Если подобные частицы представить, к примеру, в виде бесконечно малых кубиков, деформацию последних с достаточной точностью можно описать, задавая изменение линейных размеров ребер и искажение прямых углов между гранями. Такое рассуждение приводит к необходимости вводить в точке тела два вида деформаций — относительное удлинение и относительный сдвиг. [c.54]

Разобьём тело, деформация которого подлежит изучению, на множество очень малых частей в форме кубиков. При деформации тела составляющие его кубики также деформируются, причём деформация каждого из элементарных кубиков выразится в удлинении или сжатии рёбер и искажении первоначально прямых углов между рёбрами. Если представить себе, что для каждого из элементарных кубиков, на которые разбито изучаемое тело, известны изменения длин рёбер и искажения углов, то построив модель каждого кубика после его деформации и сложив затем эти кубики, можно получить модель всего тела в целом после его деформации. [c.10]

Малые деформации удлинения, изменения углов, дилатация. Теория упругости ограничивается рассмотрением деформаций столь малых, что производными перемещений по сравнению с единицей и произведениями двух перемещений или их производных по сравненню с линейными комбинациями этих величин можно пренебречь. Таким образом, выражения для составляющих тензора деформации упрощаются, и мы получаем [c.26]

Деформации. Деформацией сплошного тела называют такое изменение положений его точек, при котором изменяются расстояния между ними. Деформация, выраженная в единицах длины,. называется абсолютной. Отношение абсолютной деформации к некоторому начальному размеру наэывяюг относительной деформацией. Относительные деформации делят на относительные удлинения и относительные деформации сдвига. Деформация в плоскости ск.аадывается из двух деформаций удлинения и одной деформации сдвига. На рис. 18 показано влияние деформации удлинения в направлении оси х на деформацию линейного элемента Длины г, расположенного под углом а к оси х. При деформации точка А перемешается в точку А и при малых деформациях [c.35]

Чтобы составить дополнительное уравнение, рассмотрим деформацию системы. Под действием нагрузки стержни 1 и 2 удлинятся, вследствие этого брус АС немного повернется вокруг точки А и вся система займет положение, изображенное на рис. 2.40, а штриховыми линиями. Точка В опишет дугу радиуса АВ, но так как рассматривались весьма малые перемещения, то дугу можно заменить прямой, перпендикулярной к А В, т. е. вертикальным перемещением BBi- Удлинение стержня / найдем, проведя дугу ВВ радиусом DB. По малости перемещений дугу можно заменить прямой BB J DB . Отрезок DB. равен начальной длине стержня 1, следовательно, В В, будет его удлинением. Из треугольника ВВ В2 найдем зависимость между удлинениями стержней 1 и 2 изменением угла при деформации можно пренебречь и считать, что / Вфф= DBE [c.69]

Следовательно, напряжение общего вида можно представить как результат наложения (суперпозиции) всестороннего расширения и трех напряжений сдвига по направлениям, образующим с соответствующими главными направлениями углы в 45 . Под действием всех этих составляющих напряжения произойдет деформация, которая будет состоять из объемного расширения (сжатия) и трех сдвигов. Пренебрегая малыми второго порядка, найдем, что относительное изменение элементарного объема, или относительная объемная деформация, раша 6 = = 3е, где е — относительное удлинение при всестороннем расширении. Заменяя в (6.15) Ох, и Оз на (ох + Оа + Оз)/3 и полагая бх = Вз = ед = е, найдем [c.156]

Коши исследз ет также и возможные в области точки О деформации упругого тела (рис. 58) и показывает, что если эти деформации малы, то относительное удлинение в каком-либо направлении и изменение прямого угла между двумя произвольными, первоначально взаимно-перпендикулярными, напра- лениями могут быть выражены через шесть компонент деформации [c.135]

Перечисленные и другие простые следствия непрерывной диф-ференцируемости закона движения х=<р(х, t) при внимательном их анализе оказываются очень полными и содержательными для исследования физических свойств, термодинамики и уравнений состояния тела. Выбранная в начальный момент в лагранжевых координатах частица, скажем, в виде кубика фиксированных малых размеров, движется и деформируется так стенки кубика остаются плоскими непроницаемыми для внутренних частиц, относительное движение которых однородно (аффинно) и полностью определяется удлинениями ребер и изменениями относительных углов наклона граней косоугольного параллелепипеда, в форме которого кубик пребывает в любой момент 1>и. Следовательно, содержимое частицы представляет как бы замкнутую равновесную систему в смысле статистической механики (гл. I). Состояние такой системы зависит от внешних параметров и температуры, т. е. от положения и движения границ частицы, т. е. от эво-люции во времени векторов лагранжева репера Эг(1) ( =1, 2, 3) или эволюции аффинора A(t). Но ясно, что Эг(0 и Л(t), кроме собственно деформации частицы (параллелепипеда), включают и переносное движение, что собственно деформация определяется метрическим тензором лагранжева репера Э1(1) ( ==1, 2, 3) с симметричной квадратной матрицей [c.71]

Рассмотрим бесконечно малый эле мент базовой поверхностн, показанный на рис. 1.11. В процессе нагружения этот элемент может смещаться и поворачиваться как твердое тело, искривляться и претерпевать деформации, вызывающие удлинение или укорочение его сторон и изменение прямых углов между ними. Поскольку Б конструкционных материалах и, в частности, композитах, использующихся для изготовления несущих конструкций, большие деформации не допускаются в силу накладываемых требований по жесткости или в силу свойств самих материалов (предельная деформация волокон в композитах не превышает 2,5%), исключим из рассмотрения нелинейные эффекты, связанные с деформациями материала. Кроме того, будем считать малым угол поворота элемента вокруг нормальной оси 7 (см. рис. 1.11). Тогда система уравнений, обобщающая уравнения [c.324]

Тензор Пги называется тензором деформации. Очевидно, тензор й симметричен, т. е. Нгй=Ий(- Обратим внимание на то, что нелинейно зависит от производных вектора смещения. Поскольку такого рода нелинейность не связана с физическими свойствами тела, ее принято называть геометрической нелинейностью. В большинстве случаев деформации г/гй малы по сравнению с единицей, поэтому нелинейная добавка в выражении (1.1) представляет собой величину второго порядка малости. В линейных задачах этой добавкой пренебрегают и оперируют с линеаризованным тензором деформации иц1 = /2 ди1/дх дик/дх1). В таком приближении из (1.1) следует, что диагональные компоненты тензора — величины ц, 22. Нзз — представляют собой относительные удлинения (йх —йх1)/с1х1 вдоль соответствующих осей, а недиагональные компоненты (при 1фк) — половины углов сдвига выделенного элемента объема тела в плоскостях х х.,, х,Хз и Х1Х3. След тензора — сумма диагональных компонент иц — представляет собой относительное изменение объема тела иц=(с1У —йУ) йУ. В соответствии со сказанным величины й при =к называют деформациями растяжения (сжатия), а при 1= к — деформациями сдвига. [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...