Степенные функции и их интегрирование

СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 275 [c.275]

Вариационными параметрами при выборе варианта построения АТК, как сказано ранее, являются тип и количество основного технологического оборудования, состав вспомогательного оборудования, количество и номенклатура функций АСУ ТП, состав комплекса технических средств АСУ, степень их интегрирования с вышестоящими уровнями управления и др. [c.250]

Чтобы можно было применять результаты главы X, необходимо рассмотреть пг (поскольку он входит в и>") и как две независимые переменные. При этих условиях наши разложения будут расположены по степеням х, но их коэффициенты будут функциями различных постоянных и, в частности, Пг. Мы видели, что интегрирование приводит к появлению малых делителей вида + Л2 2- Один из этих делителей в точности равен 2- [c.461]

Правые части этих дифференциальных уравнений в статически определимых случаях изгиба балок суть известные функции от х, а в статически неопределимых случаях содержат две неизвестные постоянные С и О. После их интегрирования появятся новые произвольные постоянные, подлежащие определению из условий (17.11) на концах балки и в точках между чисто-упругими и упруго-пластическими участками. Заметим, кстати, что дифференциальное уравнение (17.14) может быть проинтегрировано в элементарных функциях, если М выражается в виде целой алгебраической функции первой или второй степеней. [c.536]

Умножим их на р, д, г и сложим, чтобы интегрированием получить уравнение, которое выражает. .теорему о живой силе. Так как Т —однородная функция второй степени переменных р, д, г, то [c.64]

Закон площадей [или свойство, относящееся к вращению, которое было выражено уравнениями в частных производных (Р)], также всегда может быть выражен в относительных координатах он поможет нам раскрыть форму характеристической функции V,, показав, что эта функция включает только такие внутренние координаты (числом бл — 9), которые не меняются при любом общем вращении всех конечных и начальных точек вокруг центра тяжести или вокруг любого другого внутреннего начала, при условии, что при определении эффектов такого вращения это начало рассматривается как неподвижное, а величина Н, как постоянная. Таким образом, общая задача динамики, касающаяся движений свободной системы п точек, притягивающих или отталкивающих друг друга, сводится в конце концов при использовании метода, изложенного в данной работе, к отысканию и дифференцированию функции V,, зависящей от бл — 9 внутренних или относительных координат [ ] и от величины Н, и удовлетворяющей двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени. При интегрировании этих уравнений мы должны проследить за тем, чтобы в принятом начале движения, а именно в момент, когда t = О, конечные или переменные координаты были равны их начальным значениям, причем ду, гг [c.199]

Дифференциальное уравнение (1-11-38) было решено для полупространства, когда ядра интегральных соотношений а (6) и X (9) являются степенными или экспоненциальными функциями времени б. Наличие интегральных соотношений в уравнении теплопроводности (1-11-38) не вносит больших трудностей при его решении методом интегрального преобразования Лапласа, поскольку интегрирование в этих соотношениях производится по времени в пределах от О до со [Л. 1-50]. Особый интерес представляют температурные волны в материалах с памятью, они имеют свою особенность, скорости их распространения и коэффициенты затухания отличны от аналогичных соотношений в классической теории теплопроводности. [c.92]

Таким образом, уравнения Лагранжа представляют собой систему к дифференциальных уравнений второго порядка с к неизвестными функциями времени qi t), / = 1, к уравнения однотипны, число их равно числу степеней свободы материальной системы и из них исключены реакции связей следовательно, задача о нахождении движения всех точек несвободной материальной системы свелась к чисто математической задаче интегрирования системы дифференциальных уравнений (14.19). [c.402]

Цел,ая функция второй степени содержит у (п 1) (п + 2) коэффициентов, а между тем общее решение системы дифференциальных уравнений (4) должно содержать только у и (и + 1) произвольных констант. Появление п- - излишних констант в формулах (XIV) показывает, что после выполнения дифференцирований в (XIV) коэффициенты функции объединяются в некоторые агрегаты, которые и будут собственно независимыми константами интегрирования. Сообразно с этим целесообразно придать формулам (XIV) такой вид, при котором функции g j выразятся через их значения g j в некоторой точке М х ). С этой целью используем то обстоятельство, что функции выражаются через про- [c.41]

ПК ПА9 имеет встроенные средства вычисления других величин, получаемых путем математических преобразований значений фазовых и расчетных переменных, определяемых в моделировании. Для этого используют элементы, выполняющие основные математические операции сложение, умножение, возведение в степень, извлечение корня, вычисление алгебраических и тригонометрических функций, дифференцирование, интегрирование и др. Для математических преобразований величин на поле схемы размещают графические образы элементов соответствующих математических операций и соединяют их входы и выходы. [c.502]

Поиски эффективных путей решения уравнений радиационного теплообмена привели к созданию различных приближенных методов расчета. Все эти методы исходят из рассмотренного в гл. 3 уравнения переноса излучения с соответствующими граничными условиями к нему. Проведя то или иное интегрирование уравнения переноса излучения и граничных условий, можно получить либо дифференциальные, либо интегральные уравнения, описывающие процесс радиационного теплообмена в различных постановках. При этом в результате интегрирования уравнения переноса и граничных условий по телесному углу в получаемых дифференциальных и интегральных уравнениях в качестве неизвестного фигурирует уже не интенсивность излучения, а различные виды объемных и поверхностных плотностей излучения. Одновременно с этим в этих уравнениях появляются различные коэффициенты переноса, зависящие от распределения интенсивности излучения по различным направлениям, которое заранее неизвестно. Поэтому в отношении этих коэффициентов переноса принимаются те или иные допущения, вследствие чего такие расчетные методы и носят название приближений. Точность, с которой можно оценить неизвестные заранее коэффициенты переноса, определяет собой погрешности приближенных методов. Следует, однако, заметить, что в принципе, сочетая уравнения приближенных методов и интегральное выражение для интенсивности излучения (3-26), можно итерационным путем получить решение задачи с любой степенью точности. К тому же, как показывает анализ, неизвестные коэффициенты переноса во многих случаях являются сравнительно слабоизме-няющимися функциями и их можно оценить заранее с приемлемой точностью. Исторически первым был соз- [c.113]

Разложение в ряды Тейлора по времени нелинейных коэффициентов уравнения движения влаги. При рассмотрении одномерной задачи обсуждался вопрос о повышении точности модели. Одним из способов усовершенствования модели является отказ от квазистационарности коэффициентов уравнения для влаги и их явное интегрирование по времени. Неизвестную функцию рекомендуется раскладывать в ряд Тейлора, а для вычисления производных использовать известную информацию с предыдущих шагов по времени. Интеграл по времени от ряда Тейлора легко вычисляется, т.к. представляет собой сумму степеней. Прием также является приближенным, но по сравнению с квазистаци-онарным подходом он позволяет более чем в 3 раза увеличить шаг по времени с сохранением прежней точности. Этот вывод был сделан на основе исследования поведения численного решения одномерной задачи диффузии жидкости в грунте с простейшими граничными условиями. Отметим, что разложение в ряды коэффициентов теплопроводности не приводит к более точному результату, т.к. эти коэффициенты слабонелинейны, и квазистационарный подход вполне приемлем для решения уравнения движения тепла. [c.153]

Чтобы оправдать с математической стороны метод интегрирования уравнений (19), применяемый астрономами, необходимо сделать несколько замечаний относительно /и, и т. Там, где они встречаются неявно в функциях и ф они рассматриваются как постоянные числа там, где они являются множителями при ( >, и они рассматриваются как параметры, по степеням которых и будет разложено решение. Такое обобщение параметров допустимо, потому что если функция содержит параметр двумя различными путями, то нет причины, почему бы она не могла быть разложена по отношению к параметру, входящему одним образом, а не дру1им. Если функция вместо того, чтобы быть заданной явным образом, определяется системой диференциальнь х уравнений, то то же самое можно сказать относительно разложений решений по степеням параметра. Если притяжения тел зависят от чего-то кроме их масс (измеряемых их инерцией) и их расстояний, как, например, от скорости их вращений или температур, то /и, и т. , поскольку они входят в и неявно через л, и л., где они определяются численно из их индивидуальных взаимных притяжений с Солнцем, должны отличаться от тех значений, когда они являются множителями при и потому что в последних случаях они определяются из притяжения друг к другу. [c.329]

Другой способ заключается в том, что положения точек не задают заранее. Их определяют из условия, чтобы квадратурная формула (5.91) при фиксированном числе п имела максимально высокий порядок. Здесь в качестве неизвестных выступают не только весовые коэффициенты а , но и значения 1г, и можно потребовать, чтобы формула (5.91) давала точный результат для функций 1, I, 1 ,. .., Получающиеся отсюда 2п уравнений позволяют найти 2п неизвестных at и Формулы численного интегрирования, построенные таким способом, имеют порядок 2п — 1 и носят название квадратурных формул Гаусса. Интегрирование по Гауссу требует при одинаковой степени точности почти вдвое меньшего числа точек, чем в случае использования формул Ньютона—Котеса. Вычисление подынтегральных функций связано обычно со значительными затратами машинного времени, вследствие чего формулы Ньютона — Котеса в методе конечных элементов практически не применяются. [c.188]

Круговые полиномы Цернике. При изучении эффектов аберраций в рамках геометрической оптики (см. гл. 5) мы разлагали функцию аберраций Ф в степенной ряд. Здесь же, поскольку интегрирование производится по единичному кругу, удобнее разлагать Ф по полной системе полпномов, ортогональных внутри единичного круга ). Существует много систем полномов, обладающих таким свойством однако одна из них, введенная Цернике [23]> обладает еще и простыми свойствами инвариантности. В приложении 7 дан вывод круговых полиномов Цернике и обсуждаются некоторые их свойства здесь мы приведем лишь те формулы, которые потребуются в настоящей главе. [c.425]

Учет краевого условия второго и третьего рода осуществляется дополнительными слагаемыми непосредственно в билинейной форме и функционале (см. п. 1.1.4) и здесь не возникает вопроса о наложении дополнительных условий на базисные функции. Поэтому при использовании изопара-метрической аппроксимации области алгоритмическое отличие от главного краевого условия состоит в применении квадратурных или кубатурных формул для вычисления граничных интегралов. Участки границы Г заменяются на аппроксимирующие их многообразия из Г ,. Теоретическое обоснование точности снова з тывает изменение области, погрешность численного интегрирования и опирается на теорему 3.9. В итоге оно, в принципе, мало отличается от приводимого для первой краевой задачи и дает аналогичный результат, описывающий точность получаемого приближенного решения А именно, при изопараметрической аппроксимации области выбор на Гй квадратурных формул подходящей степени приводит к такому же порядку точности приближенного решения м , как и при точном интегрировании по Г. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...